专题8 形如f(x)ex＋g(x)型的函数问题
用导数的方法研究形如f(x)ex＋g(x)的函数问题研究历来是高考的热点和难点，解决此类问题的难点是转化目标的有效选择，本专题主要研究与函数f(x)ex＋g(x)有关的恒成立、存在性以及零点等问题，并在解决问题的过程中感悟数学思想方法的灵活运用.
已知ex≥1＋ax对任意x∈[0，＋∞)成立，求实数a的取值范围．
本题考查的是结构为exf(x)＋g(x)，且含参数a的恒成立问题，由于题目中含有参
数a，故解决过程中，先对参数a分类讨论，第一种情况a≤1，证明恒成立，而第二种情况a>1，则利用单调性导入反例，否定结论.
x＋ex
已知≥t对一切正实数x恒成立，则实数t的最大值为________．
2x＋1
已知函数f(x)＝ex－1－x－ax2，当x≥0时，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围．
若不等式ex(x－a)＋(x＋a)＞0对任意x∈(0，＋∞)成立，求正实数a的取值范围． 若f(x)＝ex－ax2在(0，＋∞)只有一个零点，求实数a的值． .
(2019·福建卷)已知定义在R上的函数f(x)＝ex1－ex＋x2＋2m(x－1)(m＞0)，当x1
＋x2＝1时，不等式f(x1)≥f(x2)恒成立，则实数x1的取值范围为________．
＋
(本小题满分14分)已知a∈R，x轴与函数f(x)＝ex1－ax的图像相切． (1)求f(x)的单调区间；
(2)当x>1时，f(x)>m(x－1)lnx，求实数m的取值范围．
－
(1)f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞)；
1(2)－∞，. 2
(1)f′(x)＝e
ex0－1－ax0＝0，
ex0－1－a＝0，
x0＝1，
解得2分(求出x0与a的值)
a＝1，
x－1
－a，设切点为(x0，0)，依题意，
f（x0）＝0，
f′（x0）＝0，
即
所以f′(x)＝e－1，当x<1时，f′(x)<0；当x>1时，f′(x)>0， 4分(解出不等式f′(x)>0和f′(x)<0的解)
故f(x)的单调递减区间为(－∞，1)，单调递增区间为(1，＋∞).6分(写出f(x)的增减区间)
(2)令g(x)＝f(x)－m(x－1)lnx，x>0，则g′(x)＝e令h(x)＝g′(x)，则h′(x)＝e
x－1
x－1
x－1
－m(lnx＋
x－1
)－1， x11
－m(＋2)，8分(求出g(x)的二次导函数h′(x))
xx111x－1
①若m≤，因为当x>1时，e>1，m(＋2)<1，所以h′(x)>0，所以
2xxh(x)即g′(x)在(1，＋∞)上单调递增．又因为g′(1)＝0，所以当x>1时，g′(x)>0，
从而
g(x)在[1，＋∞)上单调递增，而g(1)＝0，所以g(x)>0，即f(x)>m(x－1)lnx成立；
1
10分(推出m≤时，f(x)>m(x－1)lnx成立)
2
111x－1
②若m>，可得h′(x)＝e－m(＋2)在(0，＋∞)上单调递增，又因为
2xxh′(1)＝1－2m<0，h′(1＋ln(2m))＝2m－m
11＋2>0，
1＋ln（2m）[1＋ln（2m）]
所以存在x1∈(1，1＋ln(2m))，使得h′(x1)＝0，且当x∈(1，x1)时，h′(x)<0，所以h(x)
即g′(x)在(1，x1)上单调递减，又因为g′(1)＝0，所以当x∈(1，x1)时，g′(x)<0，从而g(x)在(1，x1)上单调递减，而g(1)＝0，所以当x∈(1，x1)时，g(x)<0， 1
即f(x)>m(x－1)lnx不成立；综上所述，m的取值范围是(－∞，]．
21
14分(推出m>时，f(x)>m(x－1)lnx不恒成立，并写出结论)
2 第一步：由条件求出切点横坐标x0和a；
第二步：解不等式f′(x)>0和f′(x)<0； 第三步：写出f(x)的增减区间；
第四步：求出g(x)的二次导函数，g″(x)＝h′(x)； 1
第五步：推证：m≤时，f(x)＞m(x－1)lnx恒成立；
2
1
第六步：推证m>时，f(x)>m(x－1)lnx不恒成立，并得出结论.
2
作业评价
若函数f(x)＝ex－ax在(1，＋∞)上有最小值，则实数a的取值范围是________． 已知函数f(x)＝(ax＋1)ex的单调增区间为(－2，＋∞)，则实数a的值为________． 方程|ex－1|＋ax＋1＝0有两个不同的解，则实数a的取值范围是________． 若x＝－3是函数f(x)＝[x2＋(a＋2)x＋a]ex的极值点，则f(x)的极小值为________． 已知函数f(x)＝ex＋ax－1(a∈R，a为常数)，若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，则a
的取值范围是________．
如果函数y＝f(x)在其定义域内总存在三个不同实数x1，x2，x3，满足|xi－2|f(xi)＝1(i
＝1，2，3)，则称函数f(x)具有性质Ω.已知函数f(x)＝aex具有性质Ω，则实数a的取值范围为________．
已知函数f(x)＝(x2－ax＋a＋1)ex(a为常数，e是自然对数的底数)有两个极值点x1，
x2(x1＜x2)．
(1)求实数a的取值范围；
(2)若a＞0且mx1ex2－f(x2)＞0恒成立，求实数m的取值范围．
a
已知函数f(x)＝(x－1)ex－x2，其中a∈R.
2(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)函数f(x)的图象能否与x轴相切？若能，求出实数a的值，若不能，请说明理由； (3)若对于任意x1∈R，x2∈(0，＋∞)，不等式 f(x1＋x2)－f(x1－x2)＞－2x2恒成立，求最大的整数a.
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