数学试卷
一、选择题（共12小题）. 1．已知向量A．
，B．
且
，则C．
的值为（ ）
D．
2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（ ） A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（ ）
A． B． C． D．
4．已知等比数列{an}中，a5a11＝3a8，数列{bn}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（ ） A．3
B．6
C．9
D．12
，a＝1，
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则c＝（ ） A．
B．1
C．
D．
6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A．20%，12800元 C．20%，10240元
B．10%，12800元 D．10%，10240元
7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ）
A．1：2 B．1： C．1：
，若
D．：2
，则λ
8．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且＝（ ） A．
B．﹣
+
C．﹣
D．﹣
9．若正数a，b满足a+b＝2，则A．1
B．
的最小值是（ ）
C．9
D．16
，
10．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{an}满足n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（ ） A．135
B．141
C．149
D．155
11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC上一点，满足
＝
+λ（
+
）（λ＞0），
，
，
则A．2
的值为（ ）
B．3
C．4
D．5
12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1+an＝2n+3（n∈N*）且Sn＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（ ） A．49
B．50
C．51
D．52
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是 ．（仅填写正确不等式的序号） ①
；②ac2＜bc2；③
；④
；⑤
14．已知向量在基底
是平面内的一组基底，若，则称有序实数对（x，y）为向量
下的坐标为（1，2），
下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底
，
下的坐标为 ． （e是自然对数的底数），设
那么在基底15．已知函数
，
n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，则S4039的值是 ．
16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．） 17．已知向量
和
，其中
，
，k∈R．
（1）当k为何值时，有、平行；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围．
18．在数列{an}，{bn}中，a1＝b1＝1，an+1＝4bn﹣an+2n﹣1，
．等差数列{cn}的前两项依次为a2，b3．
（1）求{cn}的通项公式；
（2）求数列{（an+bn）cn}的前n项和Sn．
19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶
后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．
20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）＝1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2． （1）求tanC的值；
（2）求△ABC的面积S的最大值．
21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°． （1）求|
|；
＝λ
，点E是边CB上一点，满足
＝λ
．
（2）已知点D是AB上一点，满足①当λ＝时，求
•
；
⊥
②是否存在非零实数λ，使得 ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
22．已知数列{an}满足，n∈N*，a1＝1．
（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围； （2）若{an}是公比为q的等比数列，Sn＝a1+a2+…+an，的取值范围；
（3）若a1，a2，…，ak成等差数列，且a1+a2+…+ak＝2020，求正整数k的最大值．
≤3Sn，n∈N*，求q
参考答案
一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1．已知向量A．解：∵∴∴x＝3，∴故选：D．
2．设M＝2a（a﹣2），N＝（a+1）（a﹣3），则有（ ） A．M＞N
B．M≥N
C．M＜N
D．M≤N
， ，
，．
，
，B．
且
，则C．
的值为（ ）
D．
解：∵M﹣N═2a（a﹣2）﹣（a+1）（a﹣3） ＝（a﹣1）2+2＞0， ∴M＞N． 故选：A．
3．如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A'B'O'，若O'A'＝1，那么原三角形ABO面积是（ ）
A． B． C． D．
解：由斜二测直观图还原原图形如图所示，
因为边O′B′在x′轴上，所以在原图形中对应的边应在x轴上，且长度不变； O′A′在y′轴上，所以在原图形中对应的边应在y轴上，且长度增大到2倍； 因为O′A′＝1，所以O′B′＝所以OA＝2，OB＝
；
×2＝
．
，
所以△AOB的面积为S△ABC＝×OB×OA＝×故选：B．
4．已知等比数列{an}中，a5a11＝3a8，数列{bn}是等差数列，且b6＝a8，则b4+b8＝（ ） A．3
B．6
C．9
，
D．12
解：在等比数列{an}中，由等比数列的性质可得a5a11＝又a5a11＝3a8，∴∵a8≠0，∴a8＝3．
又数列{bn}是等差数列，∴b4+b8＝2b6＝2a8＝6． 故选：B．
5．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
，则c＝（ ） A．解：∵
B．1
，
，
C．
，
，a＝1，
D．
∴由正弦定理得：sinA•cosB+sinB•cosA＝∴sin（A+B）＝sinC＝
，
∵A+B+C＝π，A、B、C∈（0，π）， ∴sin（A+B）＝sinC＞0，
∴2cosC＝∵a＝1，b＝
，即cosC＝，
，
∴由余弦定理可得：c＝故选：B．
＝＝1．
6．《九章算术》第三章“衰分”介绍了比例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知A，B，C三人分配奖金的衰分比为10%，若A分得奖金1000元，则B，C所分得奖金分别为900元和810元．某科研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得奖金59040元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金32800元，则“衰分比”与丙所获得的奖金分别为（ ） A．20%，12800元 C．20%，10240元
B．10%，12800元 D．10%，10240元
解：由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列， 设此等比数列为{an}，且公比为q，
设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为x，则x＝1﹣q． 依题意，a1+a2+a3+a4＝59040， a1+a3＝32800，
则a2+a4＝59040﹣32800＝26240， ∴q＝
＝
＝0.8，
∴“衰分比”的值x＝1﹣0.8＝0.2＝20%，
∵a1+a3＝a1+a1q2＝a1（1+q2）＝a1（1+0.82）＝1.64a1＝32800， ∴a1＝
＝20000，
∴a3＝a1q2＝20000×0.82＝12800， ∴丙所获得的奖金为12800元． 故选：A．
7．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为（ ） A．1：2
B．1：
C．1：
D．
：2
解：若圆锥的高等于底面直径，
则h＝2r， 则母线l＝
＝
r，
而圆锥的底面面积为πr2， 圆锥的侧面积为πrl＝
πr2，
，
故圆锥的底面积与侧面积之比为1：故选：C．
8．在△ABC中，D，E分别为BC，AC边上的点，且＝（ ） A．
B．﹣
C．﹣
，若，则λ
D．﹣
解：如图， 设
，且
＝＝＝＝＝∵
， ，
，则：
∴，解得．
故选：A．
9．若正数a，b满足a+b＝2，则A．1
B．
+的最小值是（ ）
C．9
D．16
解：∵正数a，b满足a+b＝2， ∴（a+1）+（b+1）＝4 ∴
+
＝（+＝
+
）[（a+1）+（b+1）]
）＝
＝[5+当且仅当故选：B．
]≥（5+2
即a＝且b＝时取等号．
10．对于实数x，[x]表示不超过x的最大整数．已知正项数列{an}满足n∈N*，其中Sn为数列{an}的前n项和，则[S1]+[S2]+…+[S40]＝（ ） A．135 解：由
∵an＞0，得a1＝1． 当n≥2时，Sn＝（an+即Sn2﹣Sn﹣12＝1，
因此，数列{Sn2}是首项为1，公差为1的等差数列， ∴Sn2＝n，即Sn＝
，
）＝（Sn﹣Sn﹣1+
），
B．141
C．149
），
D．155
，
，令n＝1，得a1＝S1＝（a1+
[S1]＝1，[S2]＝1，[S3]＝1，[S4]＝…＝[S8]＝2，[S9]＝…＝[S15]＝3， …，[S36]＝…＝[S40]＝6，
则[S1]+[S2]+…+[S40]＝1×3+2×5+3×7+4×9+5×11+6×5＝155． 故选：D．
11．已知点C为线段AB上一点，P为直线AB外一点，PC是∠APB角的平分线，I为PC上一点，满足
＝
+λ（
+
）（λ＞0），
，
，
则A．2
的值为（ ）
B．3
C．4
D．5
解：∵又满足
＝
+λ（
+
，PC是∠APB角的平分线，
）（λ＞0），即
＝λ
，
所以I在∠BAP的角平分线上，由此得I是△ABP的内心，过I作IH⊥AB于H，I为圆心，IH为半径，作△PAB的内切圆，如图，分别切PA，PB于E、F， ∵
，
＝3，
，
＝
＝
＝
在直角三角形BIH中，cos∠IBH＝，
所以故选：B．
＝cos∠IBH＝＝3．
12．设数列{an}的前n项和为Sn，已知an+1+an＝2n+3（n∈N*）且Sn＝1300，若a2＜3，则n的最大值为（ ） A．49
B．50
C．51
D．52
解：an+1+an＝2n+3（n∈N*），
可得数列{an}中，每隔两项求和是首项为5，公差为4的等差数列， 则S48＝5×24+×24×23×4＝1224＜1300， 又S50＝5×25+×25×24×4＝1325＞1300， 则n的最大值可能为49．
由an+1+an＝2n+3（n∈N*），可得an+2+an+1＝2n+5， 两式相减可得an+2﹣an＝2，
可得数列{an}中的奇数项和偶数项均为公差为2的等差数列， 若S49＝1300，可得a49＝1300﹣1224＝76，
由a2＜3，可得a1＞2，则a49＝a1+2×24＞50，故n的最大值为49． 故选：A．
二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请将答案写在答题纸上的相应位置．）13．设a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列不等式正确的是 ④⑤ ．（仅填写正确不等式的序号） ①解：
（1）由于a＜b＜0，所以b﹣a＞0，ab＞0，所以
，整理得
，故
，
；②ac2＜bc2；③
；④
；⑤
，所以①错误．
（2）当c＝0时，ac2＝bc2，故②错误． （3）由（1）知：故③错误④正确． （4）由（1）知：正确．
故答案为：④⑤ 14．已知向量在基底
是平面内的一组基底，若
，则称有序实数对（x，y）为向量
下的坐标为（1，2），
，且a＜b＜0，所以
，所以
，故⑤
，且a＜b＜0，所以
，﹣a＞﹣b＞0，则
，
下的坐标．给定一个平面向量，已知在基底
，
下的坐标为 （
，
，
，
，
下的坐标为（）．
）． ． ） ．
那么在基底解：由已知：＝∵∴
所以在基底故答案为：（
15．已知函数（e是自然对数的底数），设，
n∈N*，数列{an}的前n项和为Sn，则S4039的值是 ．
解：根据题意，函数，则f（）＝＝，且f（1）＝＝
，
则有f（x）+f（）＝+＝1，
又由
则S4039＝f（1）+f（2）+……+f（2020+f（）+f（）+……+f（）
）
＝f（1）+[f（2）+f（）]+[f（3）+f（）]+……+f（2020）+f（＝+2019＝故答案为：
． ．
16．如图，在平面四边形ABCD中，∠A＝135°，∠B＝∠C＝75°，BC＝2，则CD的取值范围是 （
） ．
解：根据题意延长BA，CD交于点E， 如图所示：
则：在△ADE中，∠ADE＝105°，∠DAE＝45°，∠E＝30°， 所以：设AD＝由于BC＝2， 所以（整理得：所以0＜x＜4， 由于CD＝
x+m﹣
＝
）．
）
）sin15°＝1，
，
，DE＝
，AE＝
，AB＝m，
所以：CD的取值范围是（故答案为：（
三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸上的相应位置．） 17．已知向量
和
，其中
，
，k∈R．
（1）当k为何值时，有、平行；
（2）若向量与的夹角为钝角，求实数k的取值范围． 解：（1）所以：
，
，
＝（﹣k，3k）﹣（12，6）＝（﹣k﹣12，3k﹣6）．
＝（﹣1，3）+（4，2）＝（3，5）．
由于共线，
所以5（﹣k﹣12）﹣3（3k﹣6）＝0，解得k＝﹣3．
（2）向量与的夹角为钝角所以解得
．
，即：3×（﹣k﹣12）+5×（3k﹣6）＜0，
由于方向相反时，即：cos＜，＞＝，解得，
即当k＝时，方向相反，此时不合题意．
）．
故实数k的取值范围（﹣
18．在数列{an}，{bn}中，a1＝b1＝1，an+1＝4bn﹣an+2n﹣1，
．等差数列{cn}的前两项依次为a2，b3．
（1）求{cn}的通项公式；
（2）求数列{（an+bn）cn}的前n项和Sn． 解：（1）由题意，可知：
a2＝4b1﹣a1+2×1﹣1＝4﹣1+2﹣1＝4， b2＝4a1﹣b1﹣2×1+1＝4﹣1﹣2+1＝2， 则b3＝4a2﹣b2﹣2×2+1＝4×4﹣2﹣4+1＝11， 设等差数列{cn}的公差为d，则： c1＝a2＝4，d＝b3﹣a2＝11﹣4＝7， 故cn＝4+7（n﹣1）＝7n﹣3，n∈N*．
（2）由题意，将an+1＝4bn﹣an+2n﹣1与bn+1＝4an﹣bn﹣2n+1相加，可得： an+1+bn+1＝4bn﹣an+2n﹣1+4an﹣bn﹣2n+1＝3（an+bn）， ∵a1+b1＝1+1＝2，
∴数列{an+bn}是以2为首项，3为公比的等比数列， ∴an+bn＝2•3n﹣1，
∴（an+bn）cn＝2（7n﹣3）•3n﹣1，
∴Sn＝（a1+b1）c1+（a2+b2）c2+（a3+b3）c3+…+（an﹣1+bn﹣1）cn﹣1+（an+bn）cn ＝2•4•1+2•11•31+2•18•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣2+2•（7n﹣3）•3n﹣1， 则3Sn＝2•4•31+2•11•32+…+2•（7n﹣10）•3n﹣1+2•（7n﹣3）•3n， 两式相减，可得：
﹣2Sn＝2•4•1+2•7•31+2•7•32+…+2•7•3n﹣1﹣2•（7n﹣3）•3n
﹣
＝8+14•（31+32+…+3n1）﹣2•（7n﹣3）•3n
＝8+14•﹣2•（7n﹣3）•3n
＝8+7（3n﹣3）﹣2•（7n﹣3）•3n ＝﹣（14n﹣13）•3n﹣13 ∴Sn＝
•3n+
．
19．如图，已知在东西走向上有甲、乙两座小山，一辆测量车在甲山山底M的正南方向的P点处测得山顶A的仰角为30°，该测量车在水平面上向北偏西60°方向行驶
后到达点Q，在点Q处测得乙山山顶B的仰角为θ，且∠BQA＝θ，经计算，tanθ＝2，若甲、乙山高分别为100m、200m，求两山山顶之间的距离．
解：在Rt△AMP中，∠APM＝30°，AM＝100， 所以PM＝100
；
连接QM，在△PQM中，∠QPM＝60°， 又PQ＝100
，
所以△PQM为等边三角形， 所以QM＝100
；
在Rt△AMQ中，由AQ2＝AM2+QM2得AQ＝200 又在Rt△BNQ中，tanθ＝2，BN＝200， 所以BQ＝100
；
×200×
在△BQA中，BA2＝BQ2+AQ2﹣2BQ•AQcosθ＝50000+40000﹣2×100
＝50000；
解得BA＝100
．
m．
所以A，B两山顶间的距离是100
20．已知△ABC的内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，R（sinA+sinB）＝1（其中R为△ABC的外接圆的半径）且△ABC的面积S＝c2﹣（a﹣b）2． （1）求tanC的值；
（2）求△ABC的面积S的最大值． 解：（1）∵
，∴a＝2RsinA，b＝2RsinB．
代入R（sinA+sinB）＝1整理后得a+b＝2． 由面积S＝c2﹣（a﹣b）2＝两边同除以2ab得：
得
，代入sin2C+cos2C＝1得
．
，
，因为sinC≠0，所以
∴
，∴
．
（2）由（1）得∴
所以面积的最大值为
．
，当且仅当a＝b＝1时取等号． ．
21．如图，在△ABC中，已知CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°． （1）求|
|；
＝λ
，点E是边CB上一点，满足
＝λ
．
（2）已知点D是AB上一点，满足①当λ＝时，求
•
；
⊥
②是否存在非零实数λ，使得 ？若存在，求出的λ值；若不存在，请说明理由．
解：（1）△ABC中，CA＝1，CB＝2，∠ACB＝60°， 由余弦定理得，
AB2＝CA2+CB2﹣2CA•CB•cos∠ACB ＝12+22﹣2×1×2×cos60° ＝3， ∴AB＝
，即|
|＝＝
；
，
＝
，
（2）①λ＝时，
∴D、E分别是BC，AB的中点， ∴
＝＝（∴＝
••++＝（+＝
+
，
）， +•
）•+
（•
++
）
＝﹣×12+×1×2×cos120°+×2×1×cos60°+×22 ＝；
②假设存在非零实数λ，使得由∴又∴∴
＝λ＝＝λ＝•
，得+， +
＝（
﹣
）+λ（﹣﹣λ
•
）＝（1﹣λ）+（1﹣λ）2
•﹣
；
＝
＝λ（+λ（
﹣﹣
⊥
，
）， ）＝λ
+（1﹣λ）
；
＝λ（1﹣λ）
﹣（1﹣λ）
＝4λ（1﹣λ）﹣λ+（1﹣λ）2﹣（1﹣λ） ＝﹣3λ2+2λ＝0，
解得λ＝或λ＝0（不合题意，舍去）； 即存在非零实数λ＝，使得22．已知数列{an}满足
⊥
．
，n∈N*，a1＝1．
（1）若a2＝3，a3＝x，a4＝6，求x的取值范围； （2）若{an}是公比为q的等比数列，Sn＝a1+a2+…+an，的取值范围；
（3）若a1，a2，…，ak成等差数列，且a1+a2+…+ak＝2020，求正整数k的最大值． 解：（1）由题意可得a2≤a3≤3a2，a3≤a4≤3a3， 又a2＝3，a3＝x，a4＝6，
即有1≤x≤9，x≤6≤3x，即2≤x≤18， 可得2≤x≤9；
﹣
（2）an＝qn1，由a1≤a2≤3a1，可得≤q≤3，
≤3Sn，n∈N*，求q
当q＝1时，Sn＝n，≤3Sn，即n≤n+1≤3n，成立；
当1＜q≤3时，Sn＝，≤3Sn，即
•≤≤3•，即≤≤3，
可得，由q＞1可得3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＞2qn﹣2＞0，
对于不等式qn+1﹣3qn+2≤0，令n＝1，可得q2﹣3q+2≤0，解得1≤q≤2，
又当1≤q≤2，q﹣3＜0，所以qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≤q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）≤0成立，所以1＜q≤2； 当≤q＜1时，Sn＝
，
≤3Sn，即•
≤
≤3•
，
可得≤≤3，所以，
因为3q﹣1＞0，q﹣3＜0，所以3qn+1﹣qn﹣2＝qn（3q﹣1）﹣2＜2qn﹣2＜0，
qn+1﹣3qn+2＝qn（q﹣3）+2≥q（q﹣3）+2＝（q﹣1）（q﹣2）＞0成立，所以当≤q＜1时，不等式恒成立，
综上所述，q的取值范围是[，2]；
（3）设a1，a2，…，ak成公差为d的等差数列，由an≤an+1≤3an，且a1＝1， 可得[1+（n﹣1）d]≤1+nd≤3[1+（n﹣1）d]，n＝1，2，…，k﹣1， 即
，n＝1，2，…，k﹣1，
当n＝1时，﹣≤d≤2， 当n＝2，3，…，k﹣1时，由所以2020＝ka1+即k2﹣4040k+2020≤0， 解得k≤4039，
所以k的最大值为4039．
•
＞≥k+
，可得d≥•
，
，所以d≥
≥﹣，
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