a (a≠0 b≠0) ③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c? 当b=1时，c=a （四）分数四则混合运算 1、运算顺序：①连除：属同级运算，按照从左往右的顺序进行计算；或者先把所有除法转化成乘法再计算；或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。
②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。
注：（a±b）÷c=a÷c±b÷c （五）解决问题
（1）“已知一个熟的几分之几是多少，求这个数”的问题的解法。 ①设单位“1”的量为x，列方程解答。
②已知量已知量占单位“1”的几分之几=单位“1”的量
（2）“已知比一个数多（或少）几分之几的数是多少，求这个数” 的问题的解法。
①根据数量关系“单位‘1’的量‘1’的量
单位‘1’的量
”或“单位
” ，设单位“1”的量为x，
列方程解答。
②确定单位‘1’的量，计算出已知量占单位“1”的几分之几，再根据分数除法的意义列式解答。
（3）“已知两个数的和或差及这两个数的倍数关系，求这两个数” 的问题的解法。
先找出单位“1”的量并设为x，用含有x的式子表示另一个量，再根据两个数的和或差列方程解答。 （4）工程问题
数量关系式：工作总量=工作效率×工作时间；工作效率=工作总量÷工作时间；工作时间=工作总量÷工作效率 题型
1、10的倒数是（?? ），（??? ）没有倒数。
2、把9米长的铁丝平均分成4段，每段是全长的 ，每段长 米。 3、用你喜欢的方法计算下面各题。
78 18÷14＝ 9÷24＝
135÷26＝ 1912÷35＝
84、看谁算得又对又快。
2＋3×4 4×3÷2 （6＋8）÷9 6×（3－12） 10－÷4 10÷5÷32 5、请用简便方法计算。
8÷4＋8×4 （12＋18）÷36 6、列式计算。
312 1. 一个数的4是21，这个数是多少
53517115525371621113321122. 一个数的5是20，这个数的25是多少 7、走进生活，解决问题。
3① 小岩买了一瓶橙汁，喝了5，正好是300毫升，这瓶橙汁总量是多少毫升
2②实验小学参加艺术班的学生有1080人，占全校学生总数的5，全校共有学生
48多少人
第四单元 比
（一）比：两个数相除也叫两个数的比
1、比式中，比号（∶）前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。 注：连比如：3：4：5读作：3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。 例：12∶20＝12÷20=???? 12∶20读作：12比20
注：区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。 比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。 3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数（0除外），比值不变。
4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。 （1）用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
（2）两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。
（3）两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。
5、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数（或分数），相当于商，不是比。
6、比和除法、分数的区别：
除法 被除数 除号（÷） 除数（不能为0） 商不变性质 除法是一种运算 分数 分子 分数线（—） 分母（不能为0） 分数的基本性质 分数是一个数 比 前项 比号（∶） 后项（不能为0） 比的基本性质 比表示两个数的关系 附：商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0除外），商不变。
分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 7、比的应用
按比分配问题的解决方法：
①先求出总份数，再求出各部分量占总量的几分之几，最后求出各部分量。 ②先求出每份是多少，再用每份量乘各部分量所占的份数，求出各部分量。 题型：
2（ ）
1. 10:（ ）＝（ ）÷10＝ ＝18÷( )＝
5152. 5克盐溶解在100克水中，盐与盐水重量比是（ ）。
3.桃树和梨树棵数比是9∶8，梨树比桃树少（ ）。
119
A. B. C.
9884. 3:4的前项加上6，要使比值不变，后项应加上（ ）。 A. 6 B. 12 C. 8 5.化简比并求比值。
7
∶ 100千克∶吨 8
6.长方体的棱长总和是120厘米，长、宽、高的比是3∶2∶1 ，这个长方体的体积是多少
第五单元? 圆
（一）圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，. 2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心o：圆中心的点叫做圆心．圆心一般用字母O表示．圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d: 通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。 同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或?r=d÷2= ?
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。 ?? 同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。 有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角 有二条对称轴的图形：长方形 有三条对称轴的图形：等边三角形 有四条对称轴的图形：正方形 有无条对称轴的图形：圆，圆环 6、画圆
（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。
（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。 （二）圆的周长：
1、围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。 ?? 即：圆周率π= =周长÷直径≈
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π) ——周长公式： C=πd, C=2πr 注：圆周率π是一个无限不循环小数，是近似值。
3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径= ×2πr=πr+d （三）圆的面积S
1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积，一般用字母S表示。 2、圆的面积计算公式：S=3、圆环的面积计算公式：S=
?（R为外圆半径，r为内圆半径）
4、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。 周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。
5、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。 如果:? r1∶r2∶r3=d1∶d2∶d3=c1∶c2∶c3=2∶3∶4 则：S1∶S2∶S3=4∶9∶16 （四）扇形
1、弧：圆上任意两点之间的部分叫做弧。
2、扇形：一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。 3、圆心角：由两条半径组成，顶点在圆心的角叫做圆心角。 4、在同一个圆中，扇形的大小与这个扇形的圆心角的大小有关。 题型：
1、当圆规两脚间的距离为4厘米时,画出圆的周长是（ ）厘米。
2、在一张长8厘米，宽12厘米的长方形纸上画一个最大的圆，这个圆的直径是（ ），面积是（ ），周长是（ ）。
3、一个环形的外圆直径是10cm,内圆直径是8cm,它的面积（ ） cm2。 4、一个圆的半径扩大2倍,它的周长扩大（ ）倍,面积扩大（ ）倍。 5、周长相等的正方形、长方形和圆，（ ）的面积最大。 A、正方形 B、长方形 C、圆
6、一个花坛，直径5米，在它的周围有一条宽1米的环形小路，小路的面积是多少平方米
第六单元 百分数
（一）百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。
注：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。?? （二）百分数和分数的区别和联系：
（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。
（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。
注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是百分数，所以“分母是100的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个0要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到100%，出米率、
出油率达不到100%，完成率、增长了百分之几等可以超过100%。一般出粉率在70、80%，出油率在30、40%。
（3）小数、分数、百分数之间的互化
（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。 （2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。
（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100的分数，然后再化简成最简分数。
（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。
（5）小数 化 分数：把小数成分母是10、100、1000等的分数再化简。 （6）分数 化 小数：分子除以分母。 （三）百分数应用题
1、 求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几
2、 求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。 求甲比乙多百分之几?? （甲-乙）÷乙 求乙比甲少百分之几?? （甲-乙）÷甲
3、 求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“1”） ×百分率
4、 已知一个数的百分之几是多少，求这个数?? 部分量÷百分率=一个数（单位“1”）
5、百分数应用题型分类
（1）求甲是乙的百分之几——（甲÷乙）×100%? =? ×100% = 百分之几 （2）求甲比乙多(少)百分之几—— ×100% =? ×100% 例
① 甲是50，乙是40，甲是乙的百分之几（50是40的百分之几）50÷40=125% ② 甲是50，乙是40，乙是甲的百分之几（40是50的百分之几）40÷50=80% ③ 乙是40，甲是乙的125%，甲数是多少（40的125%是多少）40×125%=50 ④ 甲是50，乙是甲的80%，乙数是多少（50的80%是多少）50×80%=40
⑤ 乙是40，乙是甲的80%，甲数是多少（一个数的80%是40，这个数是多少）40÷80%=50
⑥ 甲是50，甲是乙的125%，乙数是多少（一个数的125%是50，这个数是多少）50÷125%=40
⑦ 甲是50，乙是40，甲比乙多百分之几（50比40多百分之几）(50-40)÷40×100%=25%
⑧ 甲是50，乙是40，乙比甲少百分之几（40比50少百分之几）(50-40)÷50×100%=20%
⑨ 甲比乙多25%，多10，乙是多少10÷25%=40 ⑩ 甲比乙多25%，多10，甲是多少10÷25%+10=50 ? 乙比甲少20%，少10，甲是多少10÷20%=50 ? 乙比甲少20%，少10，乙是多少10÷20%-10=40
? 乙是40，甲比乙多25%，甲数是多少（什么数比40多25%）40×（1+25%）=50
? 甲是50，乙比甲少20%，乙数是多少（什么数比50多25%）50×（1-20%）=40 ? 乙是40，比甲少20%，甲数是多少（40比什么数少20%）40÷（1-20%）=50 ? 甲是50，比乙多25%，乙数是多少（50比什么数多25%）40÷（1+25%）=40 题型：
1、某班有学生50人，病假1人，出勤率为（ ）%。
2、进行玉米发芽实验，有46粒发芽，有4粒没有发芽，发芽率为（ ）%。 3、栽800棵树，有40棵没有成活，成活率为（ ）%。 4、应用题。
①现在买一台收音机用160元，比过去少用85元，收音机售价降低了百分之几 ②加工一批零件，计划8天完成任务，实际只用了5天就完成了任务，工作效率提高了百分之几
③机床厂生产一批零件，合格品有385个，不合格品有17个，这批零件的合格率是多少
第七单元 扇形统计图
1、 扇形统计图的意义：用整个圆的面积表示总数，用圆内各个扇形面积表示各部分数量同总数之间关系，也就是各部分数量占总数的百分比，因此也叫百分比图。
2、 常用统计图的优点：
（1）条形统计图直观显示每个数量的多少。
（2）折线统计图不仅直观显示数量的增减变化，还可清晰看出各个数量的多少。 （3）扇形统计图直观显示部分和总量的关系。 题型:
一、选择题。(把正确答案的序号填在括号里)
1．气象员记录一天的气温变化,比较适合的统计图是( )。
A.条形统计图 B.扇形统计图 C.折线统计图
D.复式条形统计图
2．如下图, 面积最大的是( )。
A.大洋洲 B.北美洲 C.亚洲 D.非洲
二、下图是正常大气中主要成分所占的比率，请根据统计图回答问题。
1．正常大气中，哪种成分占的比率最大是多少 2．哪种气体是人和动物所必需的占的比率是多少 3．其他气体占的比率是多少
三、下图是夏日超市某日卖出各种蔬菜情况统计图，请你看图回答问题。
1．图中表示黄瓜的量是总数的_________%。
2．若卖出茄子80千克，则卖出黄瓜__________千克，青菜________千克。 3．有些同学喜欢吃肉，不喜欢吃蔬菜，这样饮食合理吗为什么
第八单元、数学广角
一、研究中国古代的鸡兔同笼问题。
1、 用表格方式解决有局限性，数目必须小，例： 头数 鸡（只）兔（只） 腿数
35??? 1????? 34 35??? 2????? 33 35??? 3????? 32 ……
（逐一列表法、腿数少，小幅度跳跃；腿数多，大幅度跳跃。跳跃逐一相结合、取中列表） 2、 用假设法解决 （1） 假如都是兔 （2） 假如都是鸡
（3） 假如它们各抬起一条腿 （4） 假如兔子抬起两条前腿 3、 用代数方法解（一般规律）
注释：这个问题，是我国古代着名趣题之一。大约在1500年前，《》中就记载了这个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔? 二、和尚分馒头
100个和尚吃100个馒头，大和尚一人吃3个，小和尚三人吃一个。大小和尚各多少人
方法一，用方程解：
解：设大和尚有x人，则小和尚有(100－x)人，根据题意列得方程： ? 3x +(100－x)=100 ?? x＝25 100－25＝75人 方法二，鸡兔同笼法：
(1)假设100人全是大和尚，应吃馒头多少个？ ?? 3×100=300(个)． (2)这样多吃了几个呢？ ? 300－100=200(个)．
(3)为什么多吃了200个呢这是因为把小和尚当成大和尚。那么把小和尚当成大和尚时，每个小和尚多算了几个馒头？ ? 3－ = （个）
(4)每个小和尚多算了8/3个馒头，一共多算了200个，所以小和尚有： ? 小和尚：200÷ ＝75（人） ? 大和尚：100－75＝25（人） 方法三，分组法：
由于大和尚一人分3只馒头，小和尚3人分一只馒头。我们可以把3个小和尚与1个大和尚编为一组，这样每组4个和尚刚好分4个馒头，那么100个和尚总共分为100÷（3+1）=25组，因为每组有1个大和尚，所以有25个大和尚；又因为每组有3个小和尚，所以有25×3＝75个小和尚。
? 这是《直指算法统宗》里的解法，原话是：\"置僧一百为实，以三一并得四为法除之，得大僧二十五个。\"所谓\"实\"便是\"被除数\"，\"法\"便是\"除数\"。列式就是：
??????? 100÷（3+1）=25（组） 大和尚：25×1=25（人）
小和尚：100-25=75（人）或25×3=75（人） 我国古代劳动人民的智慧由此可见一斑。 三、整数、分数、百分数应用题结构类型
（一）求甲是乙的几倍（或几分之几或百分之几）的应用题。 解法：甲数除以乙数
例：校园里有杨树40棵，柳树有50棵，杨树的棵树占柳树的百分之几（或几分之几）
（二）求甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少的应用题。
解答分数应用题，首先要确定单位“1”，在单位“1”确定以后，一个具体数量总与一个具体分数（分率）相对应，这种关系叫“量率对应”，这是解答分数应用题的关键。
求一个数的几倍（几分之几或百分之几）是多少用乘法，单位“1”×分率=对应数量
例：六年级有学生180人，五年级的学生人数是六年级人数的56 。五年级有学生多少人？ 180×56 =150
（三）已知甲数的几倍（或几分之几或百分之几）是多少，求甲数（即求标准量或单位“1”）的应用题。
解法：对应数量÷对应分率=单位“1”
例：育红小学六年级男生有120人，占参加兴趣活动小组人数的35 . 六年级参加兴趣活动小组人数共有学生多少人？ 120÷35 =200（人） 题型:
1、鸡兔同笼，鸡兔共35个头，94条腿，问鸡兔各多少只
2、小华买了2元和5元纪念邮票一共34张，用去98元钱。求小华买了2元和5元的纪念邮票各多少张
3、在一个停车场上，停了汽车和摩托车一共32辆。其中汽车有4个轮子，摩托车有3个轮子，这些车一共有108个轮子。求汽车和摩托车各有多少辆 4．龟、鹤共有100个头，鹤腿比龟腿多20只。问：龟、鹤各几只
5．小蕾花40元钱买了14张贺年卡与明信片。贺年卡每张3元5角，明信片每张2元5角。问：贺年卡、明信片各买了几张
6．一个工人植树，晴天每天植树20棵，雨天每天植树12棵，他接连几天共植树112棵，平均每天植树14棵。问：这几天中共有几个雨天
7．振兴小学六年级举行数学竞赛，共有20道。做对一题得5分，没做或做错一题都要扣3分。小建得了60分，那么他做对了几道题