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数值传热学作业-第四章

2021-09-25 来源:钮旅网
4-1解:

T178.8采用区域离散方法A时;内点采用中心差分T277

T3269.9d2TTi+12Ti+Ti1T=0 有 Ti0 22dxx将2点,3点带入 T2T2+T11 3 即T0T2T20 232x9T2T3+T2T42T3+T211 4 即T0T0T2T3T20 334x2x29边界点4

dT1 (1)一阶截差 由x=1 1,得 T4T3

dx3qxxVx (2)二阶截差 TM1TM1SB

111.1. 所以 T4T336T43

1112 即 2T42T3

93采用区域离散方法B

d2TT=0 由控制容积法 dx2dTdTTx0 dTdTwe 所以代入2点4点有

TTTT19 3221T20 即 T2T30

1128336TTTT3199 544T3T4 T50 T40 即

112828363 对3点采用中心差分有

T42T3+T2132T30 即

99T2T3T40 1919dT11,得 T5T4 dx6(1)精确解求左端点的热流密度

e由 T2exex

e1 对于点5 由x=1

所以有 qdTdxx0e2exxee0.648069 22e1e1x0(2)由A的一阶截差公式

q dTdxx0T2T10.247730.7431 13(3)由B的一阶截差公式

q dTdxx00.216400.6492 13(4)由区域离散方法B中的一阶截差公式:

T2T1dT0.108460.6504 dxB(x)B通过对上述计算结果进行比较可得:区域离散B有控制容积平衡法建立的离散方程与区域离散方程A中具有二阶精度的格式精确度相当!

4-3

解: 对平板最如下处理:

1 2 3 4

由左向右点分别表述为1、2、3、4点,x的正方向为由左向右; 控制方程为

λ𝑑𝑥2+𝑆=0 (1)

边界条件为

𝑑2𝑡

X=0,T=75℃;X=0.1,λ𝑑𝑥+ℎ(T−Tf)=0;

则2、3点采用二阶截差格式,有 则有以下两式:

𝑑𝑇

λλ𝑇3−2𝑇2+𝑇1∆𝑥2𝑇4−2𝑇3+𝑇2

∆𝑥2T4−T3∆x

+𝑆=0 (2) +𝑆=0 (3)

𝑑𝑇𝑑𝑥

一阶截差公式可由λλ(

+ℎ(T−Tf)=0变形得到

)=h(T4−Tf)再变形得到

h×∆xλ

T4=[T3+Tf]/(1+

∆𝑥2h×∆xλ

) (4)

T5−T32∆x

二阶截差公式可以联立λTf),可得以下公式

𝑇5−2𝑇4+𝑇3

+𝑆=0和λ(

)=h(T4−

T4=[T3+

∆𝑥2𝑆2λ

+

h×∆xλ

]/(1+

h×∆xλ

) (5)

分别联立2、3、4式与2、3、5式,把S=50×103W/m3,λ=10W/m∙℃,h=50 W/m∙℃,Tf=25℃,𝑇1=75℃,∆x=1/30带入到式子中,则有 联立2、3、4式的解为:

𝑇2=78.58℃,𝑇3=76.59℃,𝑇4=69.03℃ 联立3、4、5式的解为:

𝑇2=80.42℃,𝑇3=80.28℃,𝑇4=74.58℃

对控制方程进行积分,并将边界条件带入,则有关于T的方程 𝑇=−2500𝑥2+250𝑥+75 (6) 把x2=

130

,x3=

230

,x3=0.1代入上述6式则有:

𝑇2=80.56℃,𝑇3=80.56℃,𝑇4=75.1℃

相比之下,对右端点采用二阶截差的离散更接近真实值

4-4

解:对平板作如下分析:

1 2 3 4 5 由左向右分别对点编号为1、2、3、4、5 控制方程与4-3相同,为

λ𝑑𝑥2+𝑆=0 (1)

边界条件为

𝑑2𝑡

X=0,T=75℃;X=0.1,λ𝑑𝑥+ℎ(T−Tf)=0;

设1点和2点的距离为∆x,另1点对2点进行泰勒展开,有

𝑑2𝑡𝑑𝑥2𝑑𝑇

=(𝑇1−𝑇2+𝑑𝑥∆x)∆x2

𝑑𝑇𝑑𝑥

𝑑𝑇2

其中

=

𝑇3−𝑇22∆x

,则有

λλ2𝑇1−3𝑇2+𝑇3

∆x2+𝑆=0 (2)

对3点进行离散有

𝑇4−2𝑇3+𝑇2

∆𝑥2+𝑆=0 (3)

𝐴𝑇𝑓+(𝛿𝑥)5对右端点有: [𝑎𝑝+1𝐴+

(𝛿𝑥)5ℎλ]𝑇4=𝑎𝑤𝑇3+[𝑆/∆𝑥+1]

ℎλ代入数据有

𝑇3−3𝑇2+155.56=0 𝑇4−2𝑇3+𝑇2=−5.56

342.85𝑇4-300𝑇3=1681

解得:𝑇2=78.1℃,𝑇3=78.7℃,𝑇4=73.8℃ 由导热定律有

𝑇4−𝑇3𝑇5−𝑇4

=2 ∆𝑥∆𝑥则有𝑇5=71.35℃

4—12 编写程序:

M=rand(10,3)

A=M(:,1);B=M(:,2);C=M(:,3); B(10)=0;C(1)=0;T=12:21; D(1)=A(1)*T(1)-B(1)*T(2) for i=2:9;

D(i)= A(i)*T(i)-B(i)*T(i+1)-C(i)*T(i-1) end

D(10)= A(10)*T(10)-C(10)*T(9); P(1)=B(1)/A(1);Q(1)= D(1)/A(1); for i=2:10;

P(i)=B(i)/(A(i)-C(i)*P(i-1));

Q(i)=(D(i)+C(i)*Q(i-1))/(A(i)-C(i)*P(i-1)); end

for i=10:-1:2; t(10)=Q(10);

t(i-1)=P(i-1)*t(i)+Q(i-1); end

disp(D(1:10)) disp(T(1:10)) disp(t(1:10))

运行结果:

由运行结果可知:无论系数怎样变化,T与t都是一致的。

编程题:

具体编程如下:

n=input('请输入网格数:n=');

dt=input('请输入时间步长: dt ='); % 设定区域的长宽

L=input('请输入边界长度:L ='); a=input('请输入材质热扩散率:a ='); S=input('请输时间层数:S ='); N=n+1 ; % 节点数 dx=L/n; % 空间步长 F=a*dt/(dx^2); % 傅里叶数

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始条件%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for t=1:1:S for i=1:1:N if t==1

T(i,t)=100; else if i==1||i==N T(1,t)=0; T(N,t)=10; end end end end

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%初始条件%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% A=2*F+1;B=F;C=F; for t=2:1:S

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算各个时层的P、Q%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for i=1:1:N-1

D(i,2)=T(i,1); if i==1

P(1,t)=0;Q(1,t)=T(1,t); else

P(i,t)=B/(A-C*P((i-1),t));

Q(i,t)=(D(i,t)+C*Q((i-1),t))/(A-C*P((i-1),t)); end end

% %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算各个时层的P、Q%%%%%%%%%%%%%%%%% % %%%%%%%%%%%%%%%%%%%计算各个时层的温度%%%%%%%%%%%%%%%%%%% for i=N-1:-1:2

T(i,t)=P(i,t)*T((i+1),t)+Q(i,t); D(i,(t+1))=T(i,t); end end

x=0:0.01:1;

% 生成其中几个时层图像

plot(x,T(1:101,1),':bo',x,T(1:101,2),':ro',x,T(1:101,3),':bo',x,T(1:101,4),':ro',x,T(1:101,5),':bo',x,T(1:101,6),':ro') xlabel('x'); ylabel('T');

title('一维非稳态热传导方程的数值解')

输入节点数为100,时间步长为0.1,边界长度为1,热扩散率为1,时间层数为50

输入节点数为100,时间步长为1,边界长度为1,热扩散率为1,时间层数为50

与显式比较

输入节点数为100,时间步长为0.1

例题:

温度为Tf =90 80 ℃的水进入一管径为0.1 0.12m的长圆管作层流流动,

he=8w/(m2 ℃)。 平均速度为0.6m/s。管外受到温度为T=30 ℃的流体的冷却,

设换热已进入充分发展阶段:1、试确定管内对流换热系数he;2、给出x=1m截面上水温沿半径方向的分布;3、平均水温沿x方向的分布。要求:确定网格独

立解的节点数。

由题意可列出方程:

T1Tcpu(r)xrrr

Tr0,0r边界条件:TrR,he(TT)r

无量纲化:TT2Rumurx22(1) ,X,,P,eTbTumRaRPedd2()(1)0ddd0,0dd)1Biwd11/(4(12)d)0

对控制方程积分,写成追赶法的形式:

2r1rr1Ti()Ti1()Ti1*(12)r r2rr2T1T2边界条件:

(1Br)TTiL1L117查得90 80 ℃水的导热系数λ=0.68,导温系数1.6210,um=0.6,

R=0.05,

*设初始的Φ*=1,代入求解得到Φ,直到103

dTb(TbT)Tb30CeX dX

x0.37105由边界条件X=0时,Tb=90 C=60

Tb3060e

编程为:

取x=1时,解得Tb T(Tb30)30

%phi为φ,eta为η,phi1为φ*

L1=input('输入节点个数:'); R=0.05;

%外节点法划分网格 n=R/(L1-1); i=2:L1; X(i)=(i-1)*n;

X(1)=0; X(L1)=R; eta=X/R; eta(1)=0;

%迭代部分

phi1=ones(1,L1); for i=2:L1-1 A=2*X/n; B=0.5+X/n; C=X/n-0.5;

Lambda=1/(4*sum(phi1.*eta.*(1-eta.^2)*(n/R))); S=Lambda.*eta.*(1-eta.^2).*phi1; D=S.*n; end A(1)=1; B(1)=1; C(1)=0; D(1)=0;

P(1)=B(1)/A(1); Q(1)=D(1)/A(1); A(L1)=1+8*n/0.68; B(L1)=0; C(L1)=1; D(L1)=0; %追赶法解方程组 for i=2:L1

P(i)=B(i)/(A(i)-C(i)*P(i-1));

Q(i)=(D(i)+C(i)*Q(i-1))/(A(i)-C(i)*P(i-1)); end

phi(L1)=Q(L1); for i=L1:-1:2

phi(i-1)=P(i-1)*phi(i)+Q(i-1); end

while abs((phi-phi1)./phi)>=10e-3 phi1=phi;

Lambda=1/(4*sum(phi1.*eta.*(1-eta.^2).*(n/R))); S=Lambda.*eta.*(1-eta.^2).*phi1; D=S.*n; for i=2:L1

P(i)=B(i)/(A(i)-C(i)*P(i-1));

Q(i)=(D(i)+C(i)*Q(i-1))/(A(i)-C(i)*P(i-1)); end

phi(L1)=Q(L1); for i=L1:-1:2

phi(i-1)=P(i-1)*phi(i)+Q(i-1); end end

Tb=30+60*exp(-Lambda/3.7037e+5); T=phi*Lambda*(Tb-30)+30;

h=-0.68*(T(L1-1)-T(L1))/n/(T(L1)-Tb) figure(1); plot(T,X)

title('1m处水温延半径的分布'); xlabel('温度'); ylabel('半径'); %平均水温

x=linspace(0,10);

Tb=30+60*exp(-Lambda.*x/3.7037e+5); figure(2); plot(x,Tb)

title('平均水温延x的分布'); xlabel('圆管长度'); ylabel('平均水温'); 输入节点个数:100 可得:h =29.8341

x=1m截面上水温沿半径方向的分布图如下:

平均水温沿x方向的分布

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