2021年全国高中数学联赛(福建赛区)预赛暨2021年福建省高中数学竞赛试题

一、填空题（共10小题，每小题6分，满分60分.请直接将答案写在题中的横线上）1．若x11，x21i，x31i（i为虚数单位）为方程x3ax2bxc0的三个解，则abc

.

2．已知f(x)

11

，若f(a2)f(2a1)成立，则a的取值范围为24xx

.3．如图，在四边形ABCD中，已知cosBAD

uuuruuuruuur

，则ACBD14.若ACABAD（，R）

3

BACDAC，ADAB，，且AB5，4.

（第3题图）

14．如图，在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知ABBC6，AA12，点M、N分别在棱DA、DC上，二面角D1MND的大小为45.若三棱锥D1DMN的体积为棱锥D1DMN外接球的表面积为

.

163，则三9（第4题图）

2

5．已知f(x)和g(x)是两个二次项系数均为1的二次函数.若g(6)35，

f(1)f(1)21

，则f(6)

g(1)g(1)20.

6．若关于x的不等式(x2)exax1有且仅有三个不同的整数解，则整数a的最小值为

.

37．若正实数x，y满足x(x2y)9，则x5y的最大值为.x2y268．已知离心率为的双曲线C：221（a0，b0）的左、右焦点分别为F1、

ab2F2，P为双曲线上一点，R、r分别为△PF1F2的外接圆、内切圆半径.若F1PF260，则R

r.

49．若5是函数f(x)cosnxsin

80

x的一个周期，则正整数n的所有可能取值为2.

n10．若整数a、b、c满足：0a10，0b10，足条件的有序数组(a，

b，c)共有组.

50c10，10abc20，则满

二、解答题（共5小题，每小题20分，满分100分.要求写出解题过程）11．已知数列an、bn满足a13，an12an2n11，bn（1）求数列bn的通项公式；

2(1)n

.（2）设cn，Tn是数列cn的前n项的和，求证：T2n2bn

an1*

nN（）.n26

x2y22

12．已知椭圆C：221(ab0)的离心率为，A1、A2分别为椭圆C的左、

ab3右顶点，B为椭圆C的上顶点，F1为椭圆C的左焦点，且△A1F1B的面积为

（1）求椭圆C的方程；

5.20)的动直线l交椭圆C于E、F两点（点E在x轴上方）（2）设过点D(1，，M、N分别

为直线A1E、A2F与y轴的交点，求

OMON的值.

713．如图，△ABC的内切圆I与三边分别相切于点D，E，F，连接AD与内切圆I的

Q，AB的平行线，△DPQ另一个交点为P，过点P分别作AC，与圆I的另一个交点分别为R，

和I2，求证：I1I2∥EF.

8（第13题图）和△DPR和的内心分别为I114．已知f(x)exxa，x0，aR.（1）若f(x)0恒成立，求a的最大值；

（2）若x1，x2是f(x)的两个零点，且x1x2，求证：x1x22a.

9an)，n1，2，3，….15．设数列an是正整数数列，满足：a1a，an1an(n1，

（1）证明：当a3时，存在唯一一个正整数k，使得ak2k；

（2）若a3，试探究满足ak2k的正整数k的存在性及其个数，并证明你的结论．

y)表示正整数x，y的最大公约数.注：这里(x，

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