20世纪60年代 新数运动
起因：1957年苏联人造卫星早于美国上天，美国朝野震惊． 1958年，美国国会通过国防教育法．
以布尔巴基学派为代表的数学家发起“新数学”教育改革，又称为“新数运动”．
当时的思潮是，数学教材内容太陈旧，基本上没有反映20世纪的数学成就，一大批新的数学教材在西方各国涌现，用“新数学”代替“旧数学”的改革运动席卷全球．
新数运动的指导思想是：
1.增加现代数学内容，如集合、逻辑、群、环、域、向量和矩阵、微积分、概率论、二进制数系等等；
2.强调公理化方法，提倡“布尔巴基”的结构主义；
3.废弃欧几里德几何；
4.消减基本运算，用计算器代替基本的运算技能；
5.提倡发现教学法，要求学生像数学家发现定理那样去学习数学．
经历了20世纪60年代和70年代，新数运动最终以失败告终．
原因：向学生提出了不切实际的要求，教学内容过深过难，学生无法真正理解和接受；同时，基本知识和基本技能未能得到足够的重视，学生的数学基本功不扎实，而高深的数学知识又难以学懂．（接着，国际数学教育界提出了“回到基础”）
2、如何理解“基础”与“创新”的关系。
万丈高楼平地起。做任何事情，基础总是重要的。我国的数学教育，一向注重“双基”的教学，即关注学生的“数学基础知识”和“数学基本技能”的培养。那么，打好基础又是为了什么呢？当然是为了发展和创造。缺乏基础的创新是空中阁楼，没有创新指导的打基础是傻练。因此，优质的数学教育，必须是给学生打下扎实的基础，并且能够培养学生的创新精神，才能获得完美的个性发展。（基础=四基：基本知识，基本技能，基本思想，基本活动经验。创新=技巧）
3、教学设计的三要素。
教案三要素——完成数学教学设计需要考虑三方面的问题
➢ 明确教学目标 【教学目标】
➢ 形成设计意图
➢ 制定教学过程
4、教学过程的基本环节有哪些？
教学模式（一堂公开课）
（1）创设情境，引入课题；
（2）合作探究，发现定理；
（3）解决问题，应用定理；
（4）动手练习，自主探究；
（5）梳理知识，形成系统；
（6）分层作业，因材施教。
5、如何确定课题的重点、难点、关键点。
（1）教学重点：
一般地，在学习中那些贯穿全局、带动全面、应用广泛、对学生认知结构起核心作用、在进一步学习中起基础作用和纽带作用的内容。
通常教材中的定义、定理、公式、法则、数学思想方法、基本技能的训练，知识体系所蕴含的思想方法，解题的基本思路和要领等，都是教学的重点。
教学的重点就是在教材中贯穿全局，在学习中对学生的认知结构起决定作用，并在进一步学习中起基础作用和纽带作用的教学内容。
例如，“勾股定理”是平面几何的一个重点，在讲解这一部分内容时，又以勾股
定理的得来和推导过程为重点。
（2）教学难点：
学生接受起来比较困难的知识点（因人而异）.
往往是由于学生的认知能力、接受水平与新老知识之间的矛盾造成的，也可能是学新知识时，所用到的旧知识不牢固造成的。
一般地，知识过于抽象，知识的内在结构过于复杂，概念的本质属性比较隐蔽，知识由旧到新要求用新的观点和方法去研究，以及各种逆运算都是产生难点的因素。
教学的难点主要是指学生理解、掌握或运用上会产生困难的部分，难点内容也是造成学习成绩差距的分化点。
例如，从高中数学教材的整个知识结构来看，函数概念的理解，不等式的证明，排列与组合的应用题，与空间图形有关的证明，数学归纳法的理解与应用等都属于难点内容。要克服难点，应注意充分利用已有的知识，通过新旧知识之间的联系，利用对比或类比，在已有知识的基础上充分酝酿，逐步渡过难关。
（3）教学关键点
对掌握某一部分知识或解决某一个问题能起决定作用的知识或思想方法，它往往也是突出重点、克服难点的突破口。 掌握了这部分内容，其余内容就容易掌握，或者整个问题就迎刃而解。
例如，数学归纳法的理解，关键是在“奠基步”的基础上，理解为什么可以假设以n=k成立，从而推出n=k+1成立的道理。
6、课题选择的原则
课题的选择（说明本节课名称，并指明属第几课时，必要时可指明它的特点和地位）；
选择课题的原则：
1、选择难度适当；
2、概念课、公式、定理、性质的讲解
3、不选起始课、复习课、方法应用可
4、不选基础概念课（集合、数列、函数、复数、有理数、角、三角函数起始课）
7、教学目标中的三维目标是什么?
新课标三维目标：知识技能目标；方法能力(过程与方法)目标；情感态度目标（情感态度价值观）
8、教学方法的类型有哪些？
确定了相应的课型之后，就要根据课型的特点考虑选择切实可行的教学方法和手段。数学课常用的教学方法主要有：
1．讲授教学法 2．发现教学法
3．探究教学法 4．自学辅导教学法
5．讨论教学法 6．启发式教学法
7 ．生成性教学法 8．问题教学法
9． 数学阅读教学法 10．学案导学教学法
11．数学实验教学法 12．数学变式教学法
13．“读读、讲讲、议议、练练”八字教学法
14．“尝试指导，效果回授”教学法
9、创设情境的方法、类型有哪些？
（1）问题情境
所谓数学课堂的问题情境，就是通过具体数学问题引起的悬念或探索活动激起学生的求知欲望，进而形成的一种教学情境。
问题情境教学的模式为：
问题情境——假设推测——探究验证——做出结论
（2）创设操作活动情境
所谓操作活动情境，就是根据所要学习的数学知识或所要解决的数学问题的特点设计成需要学生自己主动参与的操作性活动，构建成生动活泼的现实活动场景，使学生在活动中掌握知识、探索问题的答案。主动操作活动，可为学生架起由感性认识到理性人认识的桥梁，激发学习的兴趣，变“要我学”为“我要学”的局面。
数学课堂教学中的操作活动情境，需要教师的创造性设计。教师要热情投入，细心挖掘，才能在现实生活中找到活动的生长点，进而创设出有针对性、有价值的操作活动情境。
（3）创设游戏情境
所谓游戏情境，就是结合教学内容创设游戏活动或模拟游戏活动情境，让学生在以不容角色参与游戏活动时学习新知识，运用新知识，并从游戏活动中得到启发，提出一些与教学内容有关的数学问题。
数学游戏是对学生进行活动课教学的一种好形式。好的数学游戏应能充分激发学生的好奇心理，凝聚学生的注意力，发挥学生的想象力。应是在轻松愉快的气氛中，学习兴趣与数学知识自然而然地同步增长。为此，设计数学游戏的思路，应当考虑以下几个方面：
①游戏内容要通过丰富而新颖的形象来包装。
②游戏展开要通过生动活泼的戏剧性活动来实现。
③游戏结构要是美的结构形式。数学游戏美的结构，是指美的语言、美的教学态度、美的板书设计及教具运用。
（4）创设现实数学情境
所谓现实数学情境，就是现实生活密切相关的数学学习情境。
例如有关利息、利润知识的教学。可以借助现实生活的素材创设出适合学生学习的现实数学情境。
又如有关概率、随机现象的教学，可以创设商场摸奖、摸彩等现实数学情境，让学生通过亲身实践，感受概率学习的趣味性。
（5）创设悬念情境
所谓悬念情境，就是在教学过程中设置一种引起学生对数学知识，学习任务关注的情境，以启发学生想象，产生解决数学问题的兴趣和动力。通常的悬念情境主要是由疑问构成的，它是将教学引向高潮的重要手段。
（6）创设猜想情境
所谓数学课堂教学中的猜想情境，就是为学生设计环境条件、创造机会，引导学生在熟悉的旧知识中尝试探索、猜测、发现新知识的情境。
（7）创设动态情境
所谓数学课堂教学中的动态情境，就是利用电影、录像、幻灯、图片等多媒体教学手段创设特定的情境，给学生以生动直观的感性认知。如：创设愉悦情境，引发学生主动思维；创设疑问情境，激发学生积极思维；创设议论情境，启发学生深刻思维；创设激励情
境，促进学生敏捷思维；创设应用情境，培养学生创造性思维，明确数学来源于生活。
10、课堂教学导入的方式有哪些？
1. 生活情境导入
2. 知识迁移导入
3. 知识类比导入
4. 数学实验探究导入
5. 故事情境导入
6. 数学史料导入
7. 游戏情境导入
8. 设置悬念（制造认知冲突）导入
11、概念教学的基本环节有哪些？
• 概念的引入——借助具体事例，从数学概念体系的发展过程或解决实际问题的需要引入概念；
• 概念属性的概括——提供典型丰富的具体例证，进行属性的分析、比较、综合，概
括不同例证的共同特征；
• 概念的明确与表示——下定义，给出准确的数学语言描述（文字的、符号的）；
• 概念的辨析——以实例为载体分析关键词的含义（恰当使用反例）；
• 概念的巩固应用——用概念作判断的具体事例，形成用概念作判断的具体步骤；
• 概念的“精致”——纳入概念系统，建立与相关概念的联系。
12、概念的内涵和外延是什么？
内涵：是说明一个概念所反映的实物的本质属性。（特有性质）
外延：指适合这个概念的一切对象范围，即符合这一概念所有对象的集合，是这个概念的延用范围。
概念的内涵和外延是一对矛盾，共处于统一体的概念之中，它们相互依存，相互制约。
13、同一概念、同一关系的理解？
同一关系：两个或多个概念之间外延完全相同的关系。如：“等边三角形”和“等角三角形”。特点：外延相等，内涵略有差异，前者强调边相等，后者强调角相等，但它们所指相同。
同一概念：具有同一关系的概念。如：“妈妈”和“母亲”。
14、费赖登塔尔的数学教育理论是什么？如何理解。
弗赖登塔尔的数学教育观：
——情境问题是教学的平台
——数学化是数学教育的目标
——学生通过自己努力得到的结论和创造是教育内容的一部分
——“互动”是主要的学习方式
——学科交织是数学教育内容的呈现方式
概括为：现实、数学化、再创造
（1）何谓数学教育中的“现实”？
数学教育中的现实——数学来源于现实，存在于现实，应用于现实，而且每个学生有各自不同的“数学现实”.
弗赖登塔尔坚持主张：数学教育体系的内容应该是与现实密切联系的数学，能够在实际中得到应用的数学，即“现实的数学”。
如果过于强调了数学的抽象形式，忽视了生动的具体模型，过于集中于内在的逻辑联系，割断了与外部现实的密切关系，那必然会给数学教育带来极大的损害。“新数”运动的
失败就是个明证。
数学教学的本质就是培养学生从已有的“数学现实”发展到更高层次的“数学现实”
(2) 什么是“数学化”？
人们运用数学的方法观察现实世界，分析研究各种具体现象，并加以整理组织，这个过程就是数学化。简单地说，数学地组织现实世界的过程就是数学化。
数学化，是一个由浅入深，具有不同层次、不断发展的过程。
数学化的对象：
水平数学化——生活数学的数学化
垂直数学化——数学问题的进一步抽象
水平数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及为解决实际问题而构造的数学模型；垂直数学化，形成数学概念、运算法则、规律、定理，以及不同层次的公理体系和形式体系。
(3) 什么是“再创造”？
弗赖登塔尔认为存在两种数学，一种是现成的或已完成的数学，另一种是活动的或者创新的数学。
完成的数学在人们面前以形式演绎的面目出现，它完全颠倒了数学的思维过程和实际创造过程，给予人们的是思维的结果；活动的数学则是数学家发现和创造数学的过程的真实体现，它表明了数学是一种艰难曲折又生动有趣的活动过程。
• 弗赖登塔尔所说的“再创造”，其核心是数学过程再现。
• 学生“再创造”学习数学的过程实际上就是一个“做数学”的过程。
• 教师的任务是引导和帮助学生去进行这种再创造的工作。
也就是说，学生通过自己的实践活动学会了怎样定义一个数学的概念，对于定义的必要性与作用都会有更深的体会，通过这样的“再创造”方式进行的概念教学，显然比将一个现成的定义强加给学生要有效得多.
弗赖登塔尔将这一思想进一步发展成为“学一个活动的最好方法是实践”，这样提法的目的是将强调的重点从教转向学，从教师的行为转到学生的活动，并且从感觉的效应转为运动的效应。
15、波利亚的数学教育的观点是什么？如何利用解题理论解题。
（1）数学教育的根本目的：
• 教会学生思考——不只是传授知识，更应努力发展学生运用所学知识的能力，应该强调技能、技巧、有益的思考方式和理想的思维习惯。
（2）学习过程的三原则：
• 主动学习——尽量让学生在现有条件下亲自发现尽可能多的东西。
• 最佳动机——激发学生在学习中的好奇心，并寻求欢乐。
• 循序渐进——从行动与感知开始，发展到词语与概念，养成合理的思维习惯。
学习过程：
探索——在直觉和启发的水平上发展
阐明——引进术语、定义、证明等，提升到概念水平
吸收——吸纳到已有知识系统中，扩大智力范围
（3）一名好的数学教师必须具备两方面的知识
• 数学内容的知识
一般中学数学教师最大的缺陷在于，他没有主动完成数学工作的经验.
• 数学教学法的知识
（4） 给数学教师的“十条建议”
1）对数学有兴趣；
2）熟知数学；
3）懂得学习的途径——亲自独立地发现所学东西的奥妙；
4）努力观察学生的面部表情；
5）传授知识、技能技巧，培养思维方式、科学的工作习惯；
6）让学生学会猜想；
7）让学生学会证明问题；
8）揭示存在于具体情况的一般模式；
9）让学生独立地找出尽可能多的东西；
10）启发问题。
怎样解题表：弄清（了解）问题（表征）、拟定计划（模式识别、引入辅助问题）、实现计划、回顾（反思、优化、拓展）
这四个阶段中“实现计划”虽为主体工作，但较为容易，是思路打通之后具体实施信息资源的逻辑配置，“我们所需要的只是耐心”；
“了解问题”是认识、并对问题进行表征的过程，是成功解决问题的一个必要前提；
与前两者相比，“回顾”是最容易被忽视的阶段，波利亚将其作为解题的必要环节而固定下来，是一个有远见的做法。
在整个解题表中“拟定计划”是关键环节和核心内容。
“拟定计划”的过程是探索解题思路的过程，波利亚建议分两步走：
第一，努力在已知与未知之间找出直接的联系（模式识别等）；
第二，如果找不出直接的联系，就对原来的问题作出某些必要的变更或修改，引进辅助问题。
为此，波利亚又进一步建议：看着未知数，回到定义去，重新表述问题，考虑相关问题，分解或重新组合，特殊化、一般化、类比等，积极激发思维，努力变化问题。
16、建构主义理论的基本观点有哪些？
一、知识观
（1）知识不是对现实的准确表征，只是一种解释、一种假设。
（2）知识并不能精确地概括世界的法则，需要针对具体情境进行再创造
（3）知识不可能以实体的形式存在于具体个体之外，学习者不会会对命题有同样的理解。
二、学习观
(l) 学习不是由教师把知识简单地传递给学生，而是由学生自己建构知识的过程。
(2) 学习不是被动接收信息刺激，而是主动地建构意义，是根据自己的经验背景，对外部信息进行主动地选择、加工和处理，从而获得自己的意义。
(3) 学习意义的获得，是每个学习者以自己原有的知识经验为基础，对新信息重新认识和编码，建构自己的理解。
(4) 同化和顺应，是学习者认知结构发生变化的两种途径或方式。
三、学生观
(1) 建构主义强调，学习者并不是空着脑袋
进入学习情境中的。
(2) 教师与学生，学生与学生之间需要共同针对某些问题进行探索
(3) 教学不能无视学习者的已有知识经验，应当把学习者原有的知识经验作为新知识的生长点，引导学习者从原有的知识经验中，生长新的知识经验。
四、师生角色
学生是学习信息加工的主体，是意义建构的主动者，而不是知识的被动接收者和被填灌的对象。
教师的角色是学生建构知识的忠实支持者。
教师要成为学生建构知识的积极帮助者和引导者。
五、学习环境
学习环境中的四大要素：情境、协作、会话、意义建构
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