二〇一三年福州市初中毕业会考、高级中等学校招生考试
数 学 试 卷
（全卷共4页，三大题，共22小题；满分150分；考试时间120分钟）
一、选择题（共10小题，每题4分，满分40分；每小题只有一个正确的选项，请在答题卡的相应
位置填涂）
1．（2013福建福州，1，4分） 2的倒数是（ ）．
A．
1 2 B．2 C．－
1 2 D．－2
【答案】A
2．（2013福建福州，2，4分）如图，OA⊥OB，若∠1＝40°，则∠2的度数是（ ）．
A．20° A
C
B．40°
C．50°
D．60°
2 O 1 B
【答案】C
3．（2013福建福州，3，4分）2012年12月13日，嫦娥二号成功飞抵距地球约700万公里远的深
空．7 000 000用科学记数法表示为（ ）．
A．7×105 【答案】 B.
4．（2013福建福州，4，4分）下列立体图形中，俯视图是正方形的是（ ）．
B．7×106
C．70×106
D．7×107
A
B
【答案】D．
C
D
5．（2013福建福州，5，4分）下列一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）．
A．x2＋3＝0
B．x2＋2x＝0
C．(x＋1) 2＝0
D．(x＋3)(x－1)＝0
【答案】C.
6．（2013福建福州，6，4分）不等式1＋x＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
-2 -1 0 1
-1 0 1 2
-2 -1 0 1
0 1 2 3
A B C D
【答案】A.
7．（2013福建福州，7，4分）下列运算正确的是（ ）．
A．a·a＝a 【答案】A．
8．（2013福建福州，8，4分）如图，已知△ABC，以点B为圆心，AC长为半径画弧；以点C为圆
心，AB长为半径画弧，两弧交于点D，且点A、点D在BC异侧，连接AD，量一量线段AD的长，约为（ ）．
A．2.5 cm
A
B．3.0 cm
C．3.5 cm
D．4.0 cm
2
3
B．(a)＝a
235
a2a2C．()=
bb D．a3÷a3＝a
B 【答案】A.
C
9．（2013福建福州，9，4分）袋中有红球4个，白球若干个，它们只有颜色上的区别．从袋中随机
地取出一个球，如果取到白球的可能性较大，那么袋中白球的个数可能是（ ）．
A．3个 【答案】D.
10．（2013福建福州，10，4分）A、B两点在一次函数图象上的位置如图所示，两点的坐标分别为
A(x＋a，y＋b)，B(x，y)，下列结论正确的是（ ）．
A．a＞0
y A O x B B．不足3个 C．4个 D．5个或5个以上
B．a＜0 C．b＝0 D．ab＜0
【答案】B.
二、填空题（共5小题，每题4分，满分20分；请将正确答案填在答题卡相应位置） 11．（2013福建福州，11，4分）计算：
【答案】
21−＝_________． aa1； a12．（2013福建福州，12，4分）矩形的外角和等于_______度．
【答案】360；
13．（2013福建福州，13，4分）某校女子排球队队员的年龄分布如下表：
年龄 人数
13 4 14 7 15 4 则该校女子排球队队员的平均年龄是_______岁． 【答案】14；
14．（2013福建福州，14，4分）已知实数a、b满足：a＋b＝2，a－b＝5，则(a＋b)3·(a－b)3的值是___________．
【答案】1000；
15．（2013福建福州，15，4分）如图，由7个形状、大小完全相同的正六边形组成网格，正六边形
的顶点成为格点．已知每个正六边形的边长为1，△ABC的顶点都在格点上，则△ABC的面积是____________．
ABC
【答案】23；
三、解答题（满分90分；请将正确答案及解答过程填在答题卡相应位置．作图或添辅助线用铅笔画
完，再用黑色签字笔描黑） 16．（每小题7分，共14分）
（1）（2013福建福州，16（1），7分）计算：(−1)0+−4−12； 【答案】 解：(−1)0+−4−12 ＝1＋4－23 ＝5－23．
（2）（2013福建福州，16（2），7分）化简：(a+3)2+a(4−a)． 【答案】解：(a+3)2+a(4−a) ＝a2＋6a＋9＋4a－a2 ＝10a＋9.
17．（每小题8分，共16分）
（1）（2013福建福州，17（1），8分）如图，AB平分∠CAD，AC＝AD．求证：BC＝BD．
C
A
D
【答案】证明一：∵AB平分∠CAD，∴∠BAC＝∠BAD， 在△ABC和△ABD中
B
AB=AB,BAC=BAD, AC=AD,∴△ABC≌△ABD． ∴BC＝BD． 证明二：连接CD
∵AC＝AD，AB平分∠CAD， ∴AB垂直平分CD，∴BC＝BD． （2）列方程解应用题
（2013福建福州，17（2），8分）把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本；如果每人分4本则还缺25本．这个班有多少学生？ 【答案】解法一：设这个班有x名学生，根据题意，得： 3x＋20＝4x－25 解得：x＝45
答：这个班共有45名学生．
解法二：设这个班有x名学生，图书一共有y本．
y=3x+20x=45, ，解得 y=4x−25y=155.答：这个班共有45名学生．
18．（10分）（2013福建福州，18，10分）为了解某校学生的身高情况，随机抽取该校男生、女生
进行抽样调查．已知抽取的样本中，男生、女生人数相同，利用所得数据绘制如下统计图表：
身高情况分组表（单位:cm） 男生身高情况直方图 女生身高情况扇形统计图
组别 A B C D 身高 x＜155 155≤x＜160 160≤x＜165 165≤x＜170
E
x≥170 根据图表提供的信息，回答下列问题：
（1）样本中，男生身高的众数在_______组，中位数在_______组； （2）样本中，女生身高在E组的人数有_______人；
（3）已知该校共有男生400人、女生380人，请估计身高在160≤x＜170之间的学生约有多少人？
【答案】（1）众数在B组；中位数在C组． （2）样本女生人数＝样本男生人数＝40； E组女生百分比＝5%
E组女生人数＝40×5%＝2（人） （3）男生：400×
18＝180（人）． 40女生：380×40%＝152（人）．
19．（2013福建福州，19，12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为(－2，0)，等边
三角形AOC经过平移或轴对称或旋转都可以得到△OBD．
（1）△AOC沿x轴向右平移得到△OBD，则平移的距离是_______个单位长度；
△AOC与△BOD关于直线对称，则对称轴是_______；
△AOC绕原点O顺时针旋转得到△DOB，则旋转角可以是_______度；
（2）连接AD，交OC于点E，求∠AEO的度数．
C y D A 【答案】（1）平移的距离是2个单位；对称轴是y轴；旋转角等于120°． （2）∵△ACO、△BOD是等边三角形，∴∠CAO＝60°，OA＝OD， ∵∠AOD＝120°，OA＝OD，∴∠DAO＝30°，
∴AE平分∠CAO，∴AD垂直平分CO，∴∠AEO＝90°．
O B x
20．（12分）如图，在△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点M，弦MN∥BC交AB于点E，且
ME＝1，AM＝2，AE＝3． （1）求证：BC是⊙O的切线；
º的长． （2）求BN
AMC【答案】（1）证明：∵ME＝1，AM＝2，AE＝3，
OEB第20题图N
∴AE2＋ME2＝AM2，∴∠AEM＝90°，∵MN∥BC，∴∠B＝∠AEM＝90°， ∵AB为⊙O的直径，∴BC是⊙O的切线． （2）连接OM，BM，
∵∠AEM＝90°，AB为⊙O的直径，
º＝BM»，∠AMB＝90°，∵∠AEM＝90°∴BN，ME＝1，AM＝2，∴∠CAB＝30°，
∴∠BOM＝60°，∵∠CAB＝30°，AM＝2，∴AB＝43． 3»＝∴BM23602． 3＝9180323． 9º的长为∴BN
21．（12分）如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝45°，P是BC上一点，△PAD的面积为
设AB＝x，AD＝y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）若∠APD＝45°，当y＝1时，求PB·PC的值； （3）若∠APD＝90°，求y的最小值．
1，2ADADB
第21题图ECB备用图C
【答案】（1）如图2，过点A作AH⊥BC，垂足为H． 在Rt△ABH中，∠B＝45°，AB＝x，所以AH＝
2x． 2
由S△APD＝
11122． ADAH，可得=yx．整理，得y=2222x（2）当y＝1时，x=2．
如图3，如图4，由于∠APC＝∠B＋∠1，∠APC＝∠APD＋∠2， 当∠APD＝∠B＝∠C＝45°时，∠1＝∠2．
所以△ABP∽△PCD．因此所以PC·PD＝AB·CD＝2．
ABPC． =BPCD
图2 图3 图4
（3）如图5，当∠APD＝90°时，点P在以AD为直径的圆上．
如图6，当AD最小时，圆与BC相切于点P．此时△APD是等腰直角三角形． 所以AD＝2AH，即y=22x． 2由（1）知，y=2．于是可以解得此时y=2． x
图5 图6
22．（14分）我们知道，经过原点的抛物线解析式可以是y＝ax2＋bx（a≠0）
（1）对于这样的抛物线；
当顶点坐标为(1，0)时，a＝ ；
当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是 ；
（2）继续探究，如果b≠0，且过原点的抛物线顶点在直线y＝kx（k≠0）上，请用含k的代数式表示b；
（3）现有一组过原点的抛物线，顶点A1，A2，…，An在直线y＝x，横坐标依次为1，2，…，n(n 为正整数，且n 为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向右作正方形AnBnCnDn．若这组抛物线中有一条经过点Dn，求所有满足
条件的正方形边长．
【答案】（1）当顶点坐标为(1，1)时，a＝－1；
当顶点坐标为(m，m)，m≠0时，a与m之间的关系式是a=−（2）设抛物线的顶点的坐标为(m，km)， 那么y=a(x−m)2+km=ax2−2amx+am2+km．
对照
y＝ax2＋bx，可得
1． mam2+km=0, 由此得到b＝2k． b=−2am.（3）正方形的顶点D1，D2，…，Dn的坐标分别为(2，1)、(4，2)、(6，3)、(8，4)、(10，5)、(12，6)、(14，7)、(16，8)、(18，9)、(20，10)、(22，11)、(24，12)，这些点在直线y=由（1）知，当抛物线的顶点(m，m)在直线y＝x上时，a=−1x上． 21． m根据抛物线的对称性，抛物线与x轴的交点为原点O和(2m，0)． 所以顶点为(m，m)的抛物线的解析式为y=−联立y=1x(x−2m)． m1133x和y=−x(x−2m)，可得点D的坐标为(m,m)． 2m24当m分别取正整数4、8、12时，对应的点D为D3(6，3)、D6(12，6)、D9(18，9)，它们所对应的正方形的边长分别为3、6、9（如图1所示）．
图1
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