结构的极限荷载

第11章 结构的极限荷载

前面各章所讨论的结构计算均是以线弹性结构为基础的，即限定结构在弹性范围内工作。当结构的最大应力达到材料的极限应力n时，结构将会破坏，故强度条件为 K式中，max为结构的最大工作应力；为材料的许用应力；n为材料的极限应力，对于脆性材料为其强度极限b，对于塑性材料为其屈服极限s；K为安全系数。基于这种假定的结构分析称为弹性分析。

从结构强度角度来看，弹性分析具有一定的缺点。对于塑性材料的结构，尤其是超静定结构，在某一截面的最大应力达到屈服应力，某一局部已进入塑性阶段时，结构并不破坏，还能承受更大的荷载继续工作，因此按弹性分析设计是不够经济合理的。另外，弹性分析无法考虑材料超过屈服极限以后，结构的这一部分的承载能力。

塑性分析方法就是为了弥补弹性分析的不足而提出和发展起来的。它充分地考虑了材料的塑性性质，以结构完全丧失承载能力时的极限状态作为结构破坏的标志。此时的荷载是结构所能承受荷载的极限，称为极限荷载，记为Fu。结构的强度条件可表示为

FF≤u

K式中F为结构工作荷载，K为安全系数。显然，塑性分析的强度条件比弹性分析更切合实际。

塑性分析方法只适用于延展性较好的塑性材料的结构，对于脆性材料的结构或对变形有较大限制的结构应慎用这种方法。

对结构进行塑性分析时，平衡条件和几何条件与弹性分析时相同，如平截面假设仍然成立，所不同的是物理条件。为了简化计算，对于所用的材料，常用如图11.1所示的应力—应变曲线。当应力达到屈服极限以前，材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；当应力达到屈服极限s时，材料开始进入塑性变形阶段，应力保持不变，应变可无限增加；卸载时，材料恢复弹性但存在残余变形。凡符合这种应力—应变关系的材料，称为理想弹塑性材料。实际钢结构一般可视为理想弹塑性材料。对于钢筋混凝土受弯构件，在混凝土受拉区出现裂缝后，拉力完全由钢筋承受，故也可采用这种简化的应力—应变曲线进行塑性分析。

max≤n

图11.1

278

结构力学

11.1 极限弯矩、塑性铰和破坏机构

下面研究静定梁在弹塑性阶段的受力和变形特点，并介绍与极限荷载计算有关的一些基本概念。

理想弹塑性材料的矩形截面梁，承受纯弯曲的作用如图11.2(a)所示。随着荷载M逐渐增加，梁的变形可分为3个阶段：弹性阶段、弹塑性阶段和塑性阶段。

图11.2

(1) 弹性阶段：当荷载较小时，截面上所有正应力都小于屈服极限s，应力与应变呈线性关系，梁处于弹性阶段。这一阶段直至截面边缘处的正应力达到屈服极限s为止(图11.2(b)。这时，截面上的弯矩称为屈服极限弯矩，记为Ms，此梁屈服极限弯矩为

MssWbh2s

(2) 弹塑性阶段：当荷载继续增加时，从边缘开始有一部分材料进入塑性流动状态，它们应力都保持s的值。而截面中部的材料仍处于弹性状态(图11.2(c))。

(3) 塑性阶段：随着荷载的继续增加，塑性区域将由外向里扩展到整个截面，并且截面上所有正应力都达到屈服极限s，其应力分布如图11.2(d)所示。此时，截面上的弯矩已达到结构所能承担的极限值，称为极限弯矩，记为Mu。

在塑性阶段，截面的极限弯矩值保持不变，变形仍可继续发展，则两个无限靠近的相邻截面沿极限弯矩方向发生有限的相对转动，相当于在该截面处形成一个铰，这样的截面称为塑性铰。塑性铰与普通铰的差别在于：普通铰是双向的，铰的两侧截面可相对自由转动，而塑性铰是单向的，其两侧截面只能沿极限弯矩方向发生相对转动；普通铰不能传递弯矩，而塑性铰能传递极限弯矩；普通铰的位置是固定的，而塑性铰随卸载而消失或随荷载不同而变化。

极限弯矩是一个截面所能承受的最大弯矩，与外力无关，仅与材料的物理性质及截面的几何形状和尺寸有关。截面的极限弯矩可根据该截面处于塑性流动状态时的正应力分布图形来确定。设其受压和受拉部分的面积为A1和A2，由于梁在荷载作用时轴力为零，则

sA1sA20又即 AA1A22式中，A为梁的横截面面积。这表明受拉区和受压区的面积相等，即这时中性轴为等分截面轴。截面上受压部分上的合力A1s与受拉部分上的合力A2s数值相等，方向相反，构成一个力偶，该力偶矩就是该截面的极限弯矩，即有

MusA1a1sA2a2s(s1s2)

第11章 结构的极限荷载

279

其中a1和a2分别为面积A1和A2的形心到等分截面轴的距离；s1和s2分别为A1和A2对该轴的静矩(图11.2(e))。

若令 Wss1s2 (11-1)

Ws称为塑性截面系数，则极限弯矩为

MusWs (11-2)

对于如图11.2(a)所示矩形截面梁，由式(11-1)有

bhhbh2 Wss1s22244则极限变矩为

bh2Muswss

4M故而极限弯矩与屈服极限弯矩之比为 u1.5

Ms这表明对于矩形截面来说，按塑性计算比按弹性计算承载能力提高50%。

静定结构出现一个塑性铰或超静定结构出现几个塑性铰而成为几何可变体系或瞬变体系，称为破坏机构(简称机构)。此时结构已丧失了承载能力，即结构达到了极限状态。极限状态时的荷载就是极限荷载。

11.2 静定结构的极限荷载

静定结构无多余约束，只要出现一个塑性铰则成为破坏机构。塑性铰的位置可根据结构弹性弯矩图及各杆截面情况分析得到。对于各杆均为等截面的结构，塑性铰必出现在弯矩绝对值最大的截面，即|M|max处。对于各杆截面不同的结构，塑性铰出现在所受弯矩与

M|max处。在塑性铰的位置确定后，令塑性铰处的极限弯矩之比绝对值最大的截面，即|Mu弯矩等于极限弯矩，利用平衡条件即可求出结构的极限荷载。

【例11-1】试求如图11.3(a)所示等截面简支梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为Mu。

解：该等截面梁的塑性铰将出现在弯矩值最大的截面上，即在跨中荷载F的作用处。该处出现塑性铰时，梁将成为破坏机构(图11.3(b)，黑小圆点表示塑性铰)，此时该截面弯矩达到极限弯矩Mu。

根据静力平衡方程作出极限状态时的弯矩图，如图11.3(c)所示，由

Mu则求出极限荷载为

Ful 4Fu4Mu l

280

结构力学

图11.3

上面利用静力平衡方程求得极限荷载的方法称为静力法。此外，还可以根据虚位移原理，由虚功方程(平衡条件的另一种形式)确定极限弯矩，即为机动法。

设如图11.3(d)所示机构沿荷载正方向产生任意微小的虚位移，由虚位移原理，求出虚

l功方程为 FuMu2

2由虚位移的任意性，则有

4Mu Ful11.3 单跨超静定梁的极限荷载

单跨超静定梁由于具有多余约束，当出现一个塑性铰时，只能改变梁的工作条件，产生新的内力分布，但并不足以使其成为破坏机构。当相继出现更多的塑性铰后，单跨超静定梁才能变成几何可变体系或瞬变体系，形成破坏机构，丧失承载能力。

例如，如图11.4(a)所示的一端固定一端铰支的等截面梁，跨中承受集中荷载F的作用，由弹性分析的弯矩图(图11.4b)可知，最大弯矩发生在固定端A处，当荷载增大到一定值时，截面A首先出现塑性铰，此时，梁已成为在A端作用极限弯矩Mu，并且跨中承受荷载F的简支梁。若继续增加荷载，A端弯矩不变，而跨中截面B的弯矩达到极限值Mu，在该截面形成塑性铰。此时，梁已出现两个塑性铰，即梁丧失了承载能力(图11.4(e))。

对于单跨超静定梁，如果能根据其受力情况和杆件截面特征，直接确定破坏机构的形式，就无需考虑结构的弹塑性变形的发展过程，而可直接采用11.3节所述的静力法或机动法求出梁的极限荷载。

第11章 结构的极限荷载

281

图11.4

如图11.4(a)所示超静定梁的极限荷载计算如下： 1) 用静力法求解

根据此梁的受力状况可直接确定其实际破坏机构。显然，机构中两个塑性铰必发生在正负弯矩最大的截面，即截面A和B处。此时令各塑性铰处的弯矩均等于极限弯矩Mu，按静力平衡条件绘出极限状态下的弯矩图，如图11.4d所示。

由弯矩叠加法，则有

FulMuMu 42故

6Mu Ful2) 用机动法求解

设机构沿荷载F正方向产生任意微小虚位移(图11.4(e))，由虚功方程，有

lFuMuMu2

2由虚位移的任意性，则有

6Mu Ful

282

结构力学

【例11-2】试求如图11.5(a)所示两端固端等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为Mu。

解：此梁必须出现3个塑性铰才能成为瞬变体系而进入极限状态。由于最大正弯矩发生在截面C，而最大的负弯矩发生在支座固端截面A、B，故极限状态下3个塑性铰必出现在这3个截面。

1) 用静力法求解

作出极限状态下的弯矩图，如图11.5(b)所示，由弯矩叠加法，则有

FuabMuMu l因此得

2lFuMu

ab

图11.5

2) 用机动法求解

设机构沿荷载F正方向产生任意微小虚位移(图11.5(c))，列虚功方程如下

alFuaMuMuMu

bb仍可解得

2lFuMu

ab【例11-3】试求如图11.6(a)所示等截面梁的极限荷载。已知梁的极限弯矩为Mu。 解：此梁出现两个塑性铰即为破坏机构。根据弹性弯矩图(图11.6b)，可知，一个塑性铰在A截面处，另一个塑性铰在正弯矩最大即剪力等于零截面C处，截面C位置待定。现用静力法求解。设截面C到右支座的距离为x(图11.6(c))。由机构的平衡条件，有

1lMA0FBy(qulMu) (a)

l2

第11章 结构的极限荷载

283

MC01MCFByxqux22 (b)

qulMu1()xqux22l2

图11.6

令

dMC0 则有 dxqulMuqux0 2l即

qu2Mu (c)

l(l2x)将式(c)代入式(b)，并令MCMu，得

x22lxl20

解方程，得

x(12)l

舍去负根，得塑性铰位置为

x(21)l0.4142l

将x值代入式(c)，得极限荷载为

qu11.66Mu l211.4 比例加载时关于极限荷载的几个定理

比例加载是指作用在结构上的所有荷载增加时，始终保持它们之间原有的固定比例关系，全部荷载可用一个参数F来表示，且不出现卸载现象。本章只考虑比例加载的情况。

1. 结构处于极限状态时，应同时满足下列3个条件。

(1) 机构条件：在极限状态中，结构必须出现足够数目的塑性铰而成为机构(几何可变体系或瞬变体系)，并且可沿荷载方向发生单向运动。

284

结构力学

(2) 屈服条件：在极限状态中，结构上任一截面的弯矩的绝对值都不超过其极限弯矩值，即|M|≤Mu。

(3) 平衡条件：在结构的极限受力状况中，结构的整体或任一局部能维持瞬间的平衡状态。

由前面的算例可知，确定极限荷载的关键在于找出结构的破坏机构。但在结构和荷载较复杂时，真实的破坏机构形式却不容易直接确定，为此，其极限荷载的计算将涉及有关极限荷载的几个定理。

为了便于讨论，下面把满足机构条件和平衡条件的荷载(不一定满足屈服条件) 称为可破坏荷载，用F表示；而把满足平衡条件和屈服条件(不一定满足机构条件)的荷载称为可接受的荷载，用F表示。例如，对于任何一个可能破坏机构，用平衡条件求得的荷载就是可破坏荷载。与结构内力状态相平衡，且各截面的内力都不超过其极限值的荷载就是可接受荷载。

2. 比例加载时有关极限荷载的几个定理。 (1) 极小值定理(上限定理)

极限荷载是所有可破坏荷载中的最小值，即

Fu≤F

这表明，可破坏荷载的最小值就是极限荷载的上限值。 (2) 极大定理(下限定理)

极限荷载是所有可接受荷载中的最大值，即

FU≥F

这表明，可接受荷载的最大值就是极限荷载的下限值 (3) 惟一性定理(单值定理)

极限荷载只有一个确定值，如果荷载既是可破坏荷载，又是可接受荷载，则此荷载也是极限荷载。这表明，同时满足平衡条件、屈服条件和机构条件的荷载即为极限荷载。

上述各定理的证明，可参阅有关结构力学书籍，在此从略。

3. 当结构极限状态的破坏机构难于确定时，根据上述各定理，通常可采用比较法和试算法求得极限荷载。

(1) 比较法：列出所有各种可能的破坏机构，由平衡条件求出相应的破坏荷载并作比较，取其中的z最小值为极限荷载。比较法的理论依据是极小定理。

(2) 试算法：任取一种可能破坏机构，并求出相应的可破坏荷载，然后验算在该荷载下的弯矩分布是否满足屈服条件。若能满足，则该荷载即为极限荷载；若不能满足，则另选一机构再进行试算，直到满足屈服条件为止。试算法的特点是，不必考虑所有可能破坏机构，只需取几个破坏情况，求出其可破坏荷载，检查它是否为可接受荷载，由此来确定极限荷载。

【例11-4】试求如图11.7(a)所示变截面梁的极限荷载。

解 ：先确定可能形成塑性铰的截面。最大正弯矩和最大负弯矩所在截面A和C及截面突变处D均为可能出现塑性铰的地方。由于如图11.7(a)所示梁出现两个塑性铰成为破坏机构，故有3种可能的破坏机构，分别如图11.7(b)、(c)、(d)所示。

(1) 用比较法求解

第11章 结构的极限荷载

285

利用机动法求各可能破坏机构的可破坏荷载。 机构1：由虚功方程，有

lF12Mu2Mu3 3则

21Mu F1l

图11.7

机构2：由虚功方程，有

2F2l2MuMu3

3则

F2机构3：由虚功方程，有

7.5Mu llF3MuMu2

3则

F3由于F2F3F1，故极限荷载为

9Mu l7.5Mu lFuF2(2) 用试算法求解

286

结构力学

21Mu。作出与此l破坏机构相应的弯矩图，如图11.7(e)所示。由于截面C的弯矩为4Mu，所以F1为不可接

首先选取如图11.7b所示的机构1，求出相应的可能破坏荷载为F1受的荷载。

7.5Mu，且作出其弯l矩图，如图11.7f所示。可知梁任一截面的弯矩均未超过极限弯矩，根据惟一性定理，则

7.5Mu极限荷载为Fu。

l另选机构2(图11.7(c))试算。先求出相应的可能破坏荷载为F211.5 连续梁的极限荷载

先讨论连续梁的可能破坏机构形式。如图11.8(a)所示连续梁可能由于某一跨出现3个塑性铰或铰支端边跨出现两个塑性铰而成为破坏机构(图11.8(b)、(c)、(d))，也可能由相邻各跨联合形成破坏机构(图11.8(e)、(f))。若各跨分别为等截面，各跨荷载方向均相同时，实际的破坏机构只能是某一跨单独破坏的机构。事实上，由于各跨荷载方向相同，各跨的最大负弯矩只能发生在两端支座处而不会在跨间，因在各跨联合构成的破坏机构中至少会有一跨的跨间会出现负弯矩的塑性铰，这是不可能的。根据这一特点，只需对每一个单跨破坏机构分别求出相应的可能破坏荷载，然后取最小值，便得到连续梁的极限荷载。

图11.8

【例11-5】试求如图11.9(a)所示连续梁的极限荷载。各跨分别是等截面的，AB、BC跨的极限弯矩为Mu，CD跨的极限弯矩为3Mu。

解：各跨单独破坏的机构如图11.9(b)、(c)、(d)、(e)所示。 利用机动法分别求出各跨单独破坏时的可能破坏荷载。

第11章 结构的极限荷载

287

机构1(图11.9(b))：对于图示虚位移情况，列虚功方程

0.8FaMu2Mu 则

F13.75Mu a

图11.9

机构2(图11.9(c))：对于图示虚位移情况，列虚功方程

F1(2aa)MuMu2Mu a2则

4Mu F2a机构3(图11.9(d))：支座C处截面有突变，极限弯矩应取较小者，列虚功方程

FaF(2a)Mu3Mu3 则

F33.33Mu a机构4(图11.9(e))：列虚功方程

F2aFaMu23Mu3 则

3.67Mu a比较以上求出的可能破坏荷载，可知机构3为极限状态，极限荷载为

3.33Mu FuaF4

288

结构力学

11.6 刚架的极限荷载

确定刚架的极限荷载比梁较为复杂，除了可能破坏机构形式较多之外，还有刚架的轴力对塑性铰的形成是有影响的。但当轴力很小时，它对极限弯矩的影响很小，可以忽略，本节只讨论不考虑轴力影响时刚架的极限荷载计算，所采用的仍是前面介绍的比较法和试算法。

首先讨论一种简单的情况。如图11.10(a)所示的3次超静定刚架，设所有杆均为等截面杆。

图11.10

由于无节间荷载作用，各杆弯矩图均为直线，因此塑性铰只能出现在结点和支座。对于3次超静定的刚架出现4个塑性铰即形成破坏机构，则此刚架的破坏机构只有一种，如图11.10(b)所示，列虚功方程

Ful4Mu

得极限荷载为

4Mu l对于一般刚架，可能的破坏机构有多种。能否正确列出所有可能的破坏机构，是求极限荷截的关键。刚架的可能破坏机构分为基本机构和组合机构。常见的基本结构有梁机构，侧移机构、结点机构、山墙机构，如图11.11所示。将两种或两种以上的基本机构组合，可以得到组合机构。

Fu

图11.11

通常在确定可能破坏机构时，根据弹性分析的弯矩图轮廓判断峰值弯矩所在截面，即可找出可能出现的塑性铰截面。然后列出由此能组成的基本机构及组合机构。

【例11-6】试求如图11.12(a)所示刚架结构的极限荷载。已知梁CD的极限弯矩为2Mu，柱AC和BD的极限弯矩为Mu。

解：

第11章 结构的极限荷载

289

(1) 确定可能破坏机构。

根据刚架受力情况，峰值弯矩所在截面即可能出现塑性铰，为A、B、C、D、E、F处。由此只能组合成3个基本机构，如图11.11(b)、(c)、(d)所示。

然后由上述3个基本机构分别组成三个联合机构：

把梁机构1和侧移机构组合在一起，去掉C处塑性铰可得组合机构1，如图11.12(e)所示。

把梁机构1和侧移机构组合在一起，去掉D处塑性铰可得组合机构2，如图11.12(f)所示。

把梁机构1、2和侧移机构组合在一起，去掉C，D处塑性铰可得组合机构3，如图11.12(h)所示。

图11.12

(2) 用比较法求解。

梁机构1：列出虚功方程为

2FaMu2Mu2Mu 则

F3Mu a梁机构2：列出虚功方程为

FaMu2Mu2Mu 则

F4Mu a侧移机构：列出虚功方程为

F2aFa4(Mu)

290

结构力学

则

F4Mu 3a组合机构2：列出虚功方程为

F2a2FaFaMuMu22MuMu2 则

F8Mu a组合机构3：列出虚功方程为

F2a2FaF3aMu2Mu2Mu2Mu3Mu3Mu 则

F12Mu 7a4Mu。实际3a从上述计算得到的6个可能破坏荷载中选出最小的，即为极限荷载Fu的破坏机构为侧移机构。

用比较法和试算法求简单刚架的极限荷载还是比较方便的。但对于较复杂刚架来说，由于可能破坏机构形式过多，容易漏掉一些破坏机构，这样所求出的最小可破坏荷载不一定是极限荷载。对于复杂刚架的极限荷载计算可采用变刚度法，用计算机进行求解。解算方法可参阅其他的结构力学教材。