云南省2021届高三数学第二次高中毕业生复习统一检测试题 理（含
解析）
注意事项：
1.答卷前，考生务必用黑色碳素笔将自己的学校、姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并认真核准条形码上的学校、准考证号、姓名、考场号、座位号，在规定的位置贴好条形码及填涂准考证号。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合A. C.
，
，则
（ ） B. D.
【答案】D 【解析】 【分析】
由题求得集合T，再利用交集的定义求得结果. 【详解】由题，求得集合故选D
【点睛】本题主要考查了交集的概念，属于基础题.
2.已知为虚数单位，设A. 第一象限 C. 第三象限 【答案】D 【解析】 【分析】
直接对复数进行化简，求得
，所以
，则复数在复平面内对应的点位于（ ）
B. 第二象限 D. 第四象限
，得出结果.
1
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
【详解】复数，在复平面中对应的点为（2，-2）
在第四象限 故选D
【点睛】本题主要考查了复数的四则运算，属于基础题. 3.已知是角的终边上的点，则
（ ） A. B. C.
D.
【答案】C 【解析】 【分析】
利用三角函数的定义可求得cosα，结合诱导公式可得结果. 【详解】解：∵角α的终边上一点P（3，4）， ∴|OP|5，
∴cosα，
∴
故选：C．
【点睛】本题考查三角函数的定义，诱导公式，考查计算能力，属于基础题．
4.在等比数列中，若，，成等差数列，则数列的公比为（ ）
A. 0或1或-2 B. 1或2 C. 1或-2 D. -2
【答案】C 【解析】 【分析】 由题意，可得
，再利用等比的通项，可得
，解出答案即可.
【详解】由题，，，成等差数列，所以
又因为等比数列
，即，解得
或
2
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
【点睛】本题考查了等差等比的性质，解题的关键是不要把性质弄混淆了，属于基础题型.
5.执行如图所示的程序框图，则输出的的值是（ ）
A. 3 【答案】B 【解析】 【分析】
B. 4 C. 5 D. 6
由题，根据程序框图的定义，结合对数的运算，求得满足题意的结果即可. 【详解】输入n=1,S=0，可得S=S=S=
故输出n=4 故选B
【点睛】本题主要考查了程序框图的算法以及对数的运算，属于基础题.
6.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）
，n=3, ,n=4
，n=2,S<3，
3
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
A. B. C. D. 10
【答案】A 【解析】 【分析】
由题，得知几何体是三棱锥，再求出表面积即可.
【详解】由题，该几何体是一个侧面垂直底面，且底面和侧面都是等腰直角三角形的三棱锥，如图，面SAC垂直面ABC的三棱锥；
所以故选A
【点睛】本题考查了空间几何体的三视图，还原几何体是解题的关键，属于基础题.
7.已知直线：条切线，切点为，则A. 2 C.
是圆：（ ）
B. 6 D.
的对称轴，过点
作圆的一
【答案】B 【解析】 【分析】
由题，求得圆的圆心和半径，易知直线：
过圆心，求得a=-1，再利用切线的
4
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
性质求得，得出答案.
，直线：
是圆：
【详解】由题，可得圆C的标准方程：
的对称轴，故过圆心，即2+a-1=0，可得a=-1，
所以所以故选B
【点睛】本题考查了直线与圆的的定义，性质以及位置关系，属于中档题型. 8.已知点A. C. 【答案】A 【解析】 【分析】
利用坐标表示平面向量的运算，又因为点P在y轴上，即横坐标为0，可得结果. 【详解】由题，可得所以
点在轴上，即故选A
【点睛】本题主要考查了向量的坐标表示以及运算，属于基础题.
9.若、、、、五位同学随机站成一排照相，则站正中间且与相邻的概率为（ ） A. C.
B. D.
，
，
，
.若点在轴上，则实数的值为（ ） B. D.
，半径r=2
【答案】B 【解析】 【分析】 基本事件总数n
120，站正中间且与相邻包含的基本事件个数m，由此能求
5
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
出站正中间且与相邻的概率．
【详解】解：A，B，C，D，E五位同学站成一排照相， 基本事件总数n120，
， ．
站正中间且与相邻包含的基本事件个数m∴站正中间且与相邻的概率为p故选：B．
【点睛】本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
10.已知直三棱柱表面积为A. 16 C.
的顶点都在球的球面上，
，
，若球的
，则这个直三棱柱的体积是（ ）
B. 15 D.
【答案】A 【解析】 【分析】
由题，棱柱为直棱柱，底面为直角三角形，利用球的表面积求得球半径，再利用外接球求得棱柱的高，最后求得体积即可. 【详解】由题，因为故三棱柱的高故体积故选A
【点睛】本题考查了棱柱的外接球的问题，解题的关键是找球心的位置，求出棱柱的高，属于中档题型.
11.若椭圆：
的上、下焦点分别为、，双曲线
的一条
，
，
，易知三角形ABC为等腰直角三角形，
6
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
渐近线与椭圆在第一象限交于点，线段（ ） A. C. 【答案】C 【解析】 【分析】 先由题，得出得P点的坐标
和渐近线方程
的中点的纵坐标为0，则椭圆的离心率等于
B. D.
，再利用线段的中点的纵坐标为0，求，得出离心率即可.
，再带入椭圆方程求得
【详解】由题，易知椭圆E的交点双曲线的一条渐近线方程为：因为
的中点纵坐标为0，故点P的纵坐标为
可得点
点P在双曲线的一条渐近线上，带入
再将点P代入椭圆方程：
解得
所以离心率故选C
【点睛】本题主要考查了圆锥曲线综合，性质，渐近线，离心率，本题的计算量较大，这是本题的易错点，属于中档偏上的题型. 12.已知A. C. 【答案】D 【解析】
7
，
，，则，，的大小关系为（ ）
B. D.
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
【分析】 先由题，易知
，而
，再将b，c作商，利用对数的
运算以及基本不等式，求得比值与1作比较即可得出答案. 【详解】因为
，故
所以故选D
【点睛】本题考查了对数的运算以及基本不等式的综合，解题的关键是在于运算的技巧以及性质，属于中档偏上题型.
二、填空题。 13.在【答案】280 【解析】 【分析】
（1+2x）的展开式的通项为【详解】（1+2x）7的展开式的通项为
7
，即
的二项展开式中，第4项的系数为______．
，从而可得结论．
∴（1+2x）7的展开式中第4项的系数是•23＝280， 故答案为：280．
【点睛】本题考查展开式的通项公式，考查学生的计算能力，属于基础题．
14.若实数，满足约束条件【答案】 【解析】
分析：首先根据题中所给的约束条件画出相应的可行域，可知是一个封闭的三角区，结合目标函数的类型，可知其为截距型的，分析找到动直线过哪个点时使得目标函数取得最大值，
，则目标函数
的最大值为_______．
8
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
联立方程组，求得对应点的坐标，代入目标函数解析式，最后求得最大值. 详解：画出可行域可知，当目标函数
.
点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，解决该题的关键是根据题中的约束条件画出相应的可行域，之后根据目标函数的类型，确定其几何意义，结合图形，判断出目标函数在哪个点处取得最大值，即最优解是哪个点，代入求值即可.
15.已知数列【答案】5 【解析】 【分析】 先由数列
，然后可求得
【详解】因为两式相减可得：即所以数列当n=1时，求得所以所以所以故答案为5
【点睛】本题考查了数列的通项公式的求法，用到了求出通项是解题的关键，属于中档题.
16.已知平面向量则
，
，若函数
在
上是单调递增函数，以及待定系数法，
即
是以
即解得
为首项，公比为2的等比数列 可得：
化简可得：求得
，再代入
，再构造等比数列求得求得n的取值即可.
的前项和为，若
，则使
成立的的最大值是_____．
经过点
时取到最大值，最大值为
成立的的最大值是5
的取值范围为______．
【答案】
9
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
【解析】 【分析】 由题意得
，求出函数
的一个增区间为
，利用子集关系得到m
的范围，进而求函数的值域即可. 【详解】由题意可得令当又函数
时，函数
在
的一个增区间为
，即
，
上是单调递增函数，
∴∴
，
∴故答案为：
，
【点睛】本题考查正弦型函数的图像与性质，涉及到函数的单调性、函数的值域、数量积的坐标运算等知识，属于中档题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.在
中，内角，，所对的边分别为，，，且
.
（1）求； （2）若
，当
的面积最大时，求，. （2）
【答案】（1）【解析】 分析】
（1）由正弦定理进行化简可得（2）由案即可.
，
，结合余弦定理求得
，求得；
，求得答
，再由面积公式
10
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
详解】解：（1）∵∴化简得∴∵∴
.
.
，
【的. ， .
（2）∵∴∵∴∴即
，
，
.
， .
.∵当
时，
，
时，
.
∴的最大值为
，此时，
.
础题.
18.在某市创建全国文明城市
、的教师和学生的测评成绩（单位：分）：
学校 教师测评成绩 90 87 92 89 93 89 94 92 96 93 学生测评成绩
（1）建立关于的回归方程
；
学校中学生的测评成绩大于90分的学校数，求随机变量的分布列及数学期望
.
【点睛】本题主要考查了用正余弦定理解三角形，合理熟练运用公式是解题的关键，属于基
过程中，创文专家组对该市的中小学进行了抽检，其中抽检
的一个环节是对学校的教师和学生分别进行问卷测评.下表是被抽检到的5所学校、、、
（2）现从、、、、这5所学校中随机选2所派代表参加座谈，用表示选出的2所
11
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
附：，.
【答案】（1）（2）见解析
【解析】 【分析】
（1）求出回归系数，可得回归方程；
（2）X的取值为0，1，2，求出相应的概率，即可求X的分布列和数学期望． 【详解】解：（1）依据题意计算得：
，
，
，
，
，.
∴所求回归方程为.
（2）由题设得随机变量的可能取值为0，1，2. 由已知得
，
，
.
∴的分布列为：
12
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
0 1 2 .
【点睛】本题考查回归直线方程，考查求X的分布列和数学期望，正确计算是解题的关键．
19.如图，在斜三棱柱
中，
，四边形
是菱形，
.
（1）求证：（2）若平面
； 平面
，
，
，求二面角
的正弦值.
【答案】（1）见证明（2）【解析】 【分析】 （1）要证（2）以射线
，
转证，
平面即证
，计算
为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系
两个半平面的法向量，代入公式，即可得到结果. 【详解】（1）证明：取∵∴∵∴
， . 是菱形，，
.
， 的中点，连接
，
，
.
13
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
∴∴∵∴∵∴
是正三角形. . 平面平面平面.
，
，
，. ，
平面
，
，
（2）解：∵∴∵∴∴∵平面
平面∴∵∴
平面平面
，
，，平面，. ，
是以，
为底的等腰直角三角形.
.
.
，平面，
平面
，
平面. ，，，，
，
再由（1）得分别以射线
，
∴设平面取
，得
两两互相垂直.
为轴，轴，轴的非负半轴，建立空间直角坐标系
，
，则是平面
的一个法向量. .
.
，
，可得
的一个法向量为
，所以的一个法向量
.
的正弦值为
同理可得平面∴∴二面角
.
14
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
【点睛】本题主要考查直线与平面之间垂直位置关系，空间向量、二面角的概念、求法等知识，以及空间想象能力和逻辑推理能力．
20.已知是坐标原点，抛物线：两点，为抛物线的准线上一点，且（1）求点的坐标；
（2）设与直线垂直的直线与抛物线交于、两点，过点、分别作抛物线的切线、，设直线与交于点，若【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由题易知直线的方程为：
，设
，联立
，可得
（2）
，求
外接圆的标准方程.
的焦点为，过且斜率为1的直线交抛物线于、
.
，又因为，可得建立方程求得，可得结果；
（2）设出直线求得点为
：，即可已知得：
，利用向量数量积为0，解得
，：，联立方程
，代入可得OM垂直ON，即
外接圆的直径，最后求得答案即可.
，设
.
【详解】解：（1）由已知得直线的方程为：
由得，.∴.
15
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
由∴
得
，解得
. ，
，直线，：
：
，
. .
∴点的坐标为（2）设由已知得：
，
解得.∴.
由∴∵∴又∵
得，，∴
.由题意得.
，解得.∴
，
.∴
.∴为
，即.
，
外接圆的直径.
，
，半径为
.
.
∴∴
外接圆的圆心为外接圆的标准方程为
【点睛】本题考查了直线与圆锥曲线的综合知识，理解题意，分析转化是解题的关键，属于难题.
直线与圆锥曲线解题步骤：
(1)设出点和直线的方程（考虑斜率的存在）；
（2）联立方程，化简为一元二次方程（考虑判别式），利用韦达定理； （3）转化，由题已知转化为数学公式； （4）计算，细心计算.
21.已知函数（1）证明：当
时，
.
；
16
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
（2）若（3）若
有极大值，求的取值范围； 在处取极大值，证明：
（3）见证明
.
【答案】（1）见证明 （2）【解析】 【分析】 （1）当
时，
，.由
，研究函数的单调性与最值即可证明不等式；
有极大值得
有解，且
.利用极大值定义即
（2）由题设得
可建立a的不等关系； （3）由（2）知：当故
时，
有唯一的极大值点, 且，
，结合函数的单调性即可证明.
时，
. ，
单调递减；当
.
，
在
，即.由.由，
上单调递增.
.
有解，且. 时，
，
单调递增. .
时，
，
单调递增.
，
，
【详解】（1）证明：当令∴当∴当∴当∴当
，则时，时，时，时，
（2）解：由题设得令∴当∴当无极值； 当∴
由（1）知：∴存在∴当即
有极大值得得
，则时，
单调递减；当.
，即时，，即，此时，在上单调递增，
，即，
时，
.
，即
，
，使，即时，
单调递增；当
，即
. .
时，
单调递增.
17
时，
单调递减；当
，
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
∴是唯一的极大值点.
. 时，， .
，由（2）知：，即
在. .
.
上单调递增.
有唯一的极大值点
,
综上所述，所求的取值范围为（3）证明：由（2）知：当且
由（2）知：当∴当∴当
时，时，时，
，故
综上所述，
【点睛】本题考查导数的运算及利用导数研究函数的单调性最值等基础知识，考查综合分析问题解决问题的能力、转化能力和计算能力．
22.[选修4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系
中，点
在曲线：
（为参数）上，对应参数为
.
.
以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为（1）直接写出点的直角坐标和曲线的极坐标方程； （2）设，是曲线上的两个动点，且【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）由极坐标公式可得的直角坐标为线方程（2）设
，
，求得极坐标方程
，易知
，将点
； ，
，
（2）
，求
的最小值.
代入求得k=1，m=2，则曲
，所以
，
【详解】解：（1）点的直角坐标为
时，，
的最小值为.
18
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
曲线的极坐标方程为（2）由（1）知曲线：
由，是曲线上的两个动点，且不妨设
，
，且
. . ，
，
.
∴
.
当∴
时，
的最小值为
.
.
【点睛】本题考查了参数方程与极坐标方程的综合知识，熟悉方程之间的转化以及极坐标方程的定义是解题的关键，属于中档题.
23.[选修4-5：不等式选讲] 已知函数
.
；
的解集非空，求的取值范围.
（2）
（1）解关于的不等式（2）设
，若关于的不等式
【答案】（1）【解析】 【分析】 （1）由题，可得（2）
况讨论求解即可. 【详解】解：（1）由解
，解得答案解集为
的解集非空，即
有解，分
，
；
，
三种情
得.
，即或.
得或
19
重点中学试卷 可修改 欢迎下载
由∴
得，不成立.
无实数解.
.
的解集非空，即得
，无解.
化为
上为单调递减函数，
的最小值为
.
.
，
有解，
∴原不等式的解集为（2）∵当∴当①当∵函数∴当∴②当而即∴
. 时，由
（
的最小值为4. .
. 得
时，时，由时，
时，不等式
在
，
时，等号成立）
综上所述，的取值范围是
【点睛】本题考查了不等式的选讲，绝对值不等式的解法以及不等式恒成立的问题，属于中档题.
20
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容