2019年天津卷理数高考试题文档版含答案-最新版下载

数学（理工类）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3-5页。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

祝各位考生考试顺利！

第Ⅰ卷

注意事项：

1.每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

2.本卷共8小题，每小题5分，共40分。 参考公式：

·如果事件A、B互斥，那么P(AUB)P(A)P(B). ·如果事件A、B相互独立，那么P(AB)P(A)P(B).

·圆柱的体积公式VSh，其中S表示圆柱的底面面积，h表示圆柱的高. ·棱锥的体积公式V1Sh，其中S表示棱锥的底面面积，h表示棱锥的高. 3B{2,3,4},C{xR|1„x3}，则(AIC)UB

一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.设集合A{1,1,2,3,5},A.2 B.2,3 C.1,2,3 D.1,2,3,4

xy20,xy20,2.设变量x,y满足约束条件则目标函数z4xy的最大值为

x…1,y…1,A.2 B.3 C.5 D.6 3.设xR，则“x5x0”是“|x1|1”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

4.阅读右边的程序框图，运行相应的程序，输出S的值为

2A.5 B.8 C.24 D.29

x2y25.已知抛物线y4x的焦点为F，准线为l，若l与双曲线221(a0,b0)的两条渐近线分别

ab2交于点A和点B，且|AB|4|OF|（O为原点），则双曲线的离心率为 A.2 B.3 C.2 D.5 6.已知alog52，blog0.50.2，c0.50.2，则a,b,c的大小关系为

A.acb B.abc C.bca D.cab

7.已知函数f(x)Asin(x)(A0,0,||)是奇函数，将yfx的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为gx.若gx的最小正周期为2π，且

g2，则43f8 A.2 B.2 C.2 D.2

x22ax2a,x„1,0在R上恒成立，则a的8.已知aR，设函数f(x)若关于x的不等式f(x)…x1,xalnx,取值范围为

A.0,1 B.0,2 C.0,e D.1,e

第Ⅱ卷

注意事项：

1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。

2.本卷共12小题，共110分。

二.填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9.i是虚数单位，则

85i的值为 . 1i110.2x3是展开式中的常数项为 .

8x11.已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，侧棱长均为5.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为 . 12.设aR，直线axy20和圆13.设x0,x22cos,（为参数）相切，则a的值为 .

y12sin(x1)(2y1)的最小值为 .

xyAB23,AD5,A30，点E在线段CB的延长线上，

y0,x2y5，则14.在四边形ABCD中，AD∥BC,uuuruuur且AEBE，则BDAE .

三.解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（本小题满分13分）

在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知bc2a，3csinB4asinC. （Ⅰ）求cosB的值； （Ⅱ）求sin2B的值. 616.（本小题满分13分）

设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30之前到校的概率均为且任一同学每天到校情况相互独立.

（Ⅰ）用X表示甲同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数，求随机变量X的分布列和数学期望； （Ⅱ）设M为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30之前到校的天数比乙同学在7：30之前到校的天数恰好多2”，求事件M发生的概率. 17.（本小题满分13分）

如图，AE平面ABCD，CF∥AE,（Ⅰ）求证：BF∥平面ADE；

（Ⅱ）求直线CE与平面BDE所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角EBDF的余弦值为

2.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响，3AD∥BC，ADAB,ABAD1,AEBC2.

1，求线段CF的长. 3

18.（本小题满分13分）

x2y25设椭圆221(ab0)的左焦点为F，上顶点为B.已知椭圆的短轴长为4，离心率为. 5ab（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点P在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点M为直线PB与x轴的交点，点N在y轴的负半轴上.若|ON||OF|（O为原点），且OPMN，求直线PB的斜率. 19.（本小题满分14分）

b22a22,b32a34. 设an是等差数列，bn是等比数列.已知a14,b16，（Ⅰ）求an和bn的通项公式；

1,2kn2k1,*kN（Ⅱ）设数列cn满足c11,cn其中. kb,n2,k（i）求数列a2nc2n1的通项公式； （ii）求

ii*acnN.

i1x2n20.（本小题满分14分） 设函数f(x)ecosx,g(x)为fx的导函数.

（Ⅰ）求fx的单调区间； （Ⅱ）当x,时，证明f(x)g(x)x…0； 422（Ⅲ）设xn为函数u(x)f(x)1在区间2m4,2m内的零点，其中nN，证明2e2n. 2nxn2sinx0cosx0

2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）

数学（理工类）参考解答

一.选择题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分40分.

1.D 2.C 3.B 4.B 5.D 6.A 7.A 8.C

二.填空题：本题考查基本知识和基本运算.每小题5分，满分30分. 9.13 10.28 11.三.解答题

15.本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识.考查运算求解能力，满分13分. （Ⅰ）解：在△ABC中，由正弦定理

π3 12. 13.43 14.1 44bc，得bsinCcsinB，又由3csinB4asinC，得sinBsinC42a，ca.由余弦定理可得333bsinC4asinC，即3b4a.又因为bc2a，得到b416a2a2a2acb199cosB.

2242aa3222（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得sinB1cosB21515，从而sin2B2sinBcosB，487cos2Bcos2Bsin2B，故

815371357， sin2Bsin2Bcoscos2Bsin66682821616.本小题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.满分13分.

（Ⅰ）解：因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7：30之前到校的概率均为

2，故3221X~B3,，从而P(Xk)C3k333所以，随机变量X的分布列为

k3k,k0,1,2,3.

X 0 1 2 3 P 1 2722. 32 94 98 27随机变量X的数学期望E(X)3（Ⅱ）解：设乙同学上学期间的三天中7：30之前到校的天数为Y，则Y~B3,2，且3且事件X3M{X3,Y1}U{X2,Y0}.由题意知事件{X3,Y1}与{X2,Y0}互斥，与Y1，事件X2与Y0均相互独立，从而由（Ⅰ）知

P(M)P({X3,Y1}U{X2,Y0})P(X3,Y1)P(X2,Y0)

P(X3)P(Y1)P(X2)P(Y0)824120. 27992724317.本小题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.满分13分.

uuuruuuruuurAD，AE的方向为x轴，y轴，z轴正方向的空间直角坐标系依题意，可以建立以A为原点，分别以AB，（如图），可得A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,1,0)，E(0,0,2).设CFh(h>0)，则

F1,2,h.

uuuruuuruuuruuur（Ⅰ）证明：依题意，AB(1,0,0)是平面ADE的法向量，又BF(0,2,h)，可得BFAB0，又因

为直线BF平面ADE，所以BF∥平面ADE.

uuuruuuruuur（Ⅱ）解：依题意，BD(1,1,0),BE(1,0,2),CE(1,2,2).

uuurnBD0,xy0,设n(x,y,z)为平面BDE的法向量，则uuu即不妨令z1， rx2z0,nBE0,uuuruuurCEn4r可得n(2,2,1).因此有cosCE,nuuu.

9|CE||n|所以，直线CE与平面BDE所成角的正弦值为

4. 9uuurmBD0,xy0,（Ⅲ）解：设m(x,y,z)为平面BDF的法向量，则uuu即 r2yhz0,mBF0,不妨令y1，可得m1,1,2. h由题意，有cosm,n|mn||m||n|81，解得h.经检验，符合题意.

734322h42h所以，线段CF的长为

8. 7

18.本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程等基础知识。考查用代数方法研究圆锥曲面的性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力.满分13分. （Ⅰ）解：设椭圆的半焦距为c，依题意，2b4,c5222，又abc，可得a5，b2,c1. a5x2y21. 所以，椭圆的方程为54（Ⅱ）解：由题意，设PxP，yPxp0,MxM,0.设直线PB的斜率为kk0，又B0,2，则直

ykx2,22线PB的方程为ykx2，与椭圆方程联立x2y2整理得45kx20kx0，可得

1,45810k2yP45k220k，代入ykx2得yP，进而直线OP的斜率.在ykx2中，xP2245k45kxp10k令y0，得xM2k.由题意得N0,1，所以直线MN的斜率为.由OPMN，得k245k210k23024k1，化简得k2，从而k. 552230230或. 55所以，直线PB的斜率为

19.本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知识.考查化归与转化思想和

数列求和的基本方法以及运算求解能力.满分14分.

（Ⅰ）解：设等差数列an的公差为d，等比数列bn的公比为q.依题意得故an4(n1)33n1,6q62d,d3,解得26q124d,q2,bn62n132n.

所以，an的通项公式为an3n1,bn的通项公式为bn32n.

（Ⅱ）（i）解：a2nc2n1a2xbn132n132n194n1. 所以，数列a2nc2n1的通项公式为a2nc2n194n1. （ii）解：

2ni1acaac1aaciiiiiii1i1i12i2n2nn2i1

nnn221n 24394i1

i12 322n152n29414n14n

* 2722n152n1n12nN.

20.本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想和化归与转化思想.考查抽象概括能力、综合分析问题和解决问题的能力.满分14分. （Ⅰ）解：由已知，有f'(x)e(cosxsinx).因此，当x2kx4,2k5(kZ)时，有43,2k(kZ)时，得f'x0，则fx单调递减；当x2k有sinxcosx，sinxcosx，

44得f'x0，则fx单调递增.

,2k(kZ),f(x)的单调递减区间为所以，fx的单调递增区间为2k44352k,2k(kZ). 44（Ⅱ）证明：记h(x)f(x)g(x)xx.依题意及（Ⅰ），有g(x)e(cosxsinx)，从而2g'(x)2exsinx.当x,时，g'x0，故

42h'(x)f'(x)g'(x)xg(x)(1)g'(x)x0.

22因此，hx在区间所以，当x,上单调递减，进而h(x)…hf0. 4222,时，f(x)g(x)x…0. 422x（Ⅲ）证明：依题意，uxnfxn10，即encosxn1.记ynxn2n，则yn,，且42fyneyncosynexn2ncosxn2ne2nnN.

y0.由（Ⅱ）知，当x由fyne2n„1fy0及（Ⅰ），得yn…在故

,时，g'x0，所以gx42,上为减函数，因此gyn„gy0g0.又由（Ⅱ）知，fyngynyn…0，42422yn剟fyngyne2ngyne2ne2ne2n. gy0ey0siny0cosy0sinx0cosxe2n所以，2nxn.

2sinx0cosx0