【高等数学基础】形考作业3参考答案

【高等数学基础】形考作业3答案：

第4章 导数的应用

（一）单项选择题

⒈若函数f(x)满足条件（D），则存在(a,b)，使得f() A. 在(a,b)内连续 B. 在(a,b)内可导

C. 在(a,b)内连续且可导 D. 在[a,b]上连续，在(a,b)内可导 ⒉函数f(x)x4x1的单调增加区间是（D ）． A. (,2) B. (1,1) C. (2,) D. (2,) ⒊函数yx4x5在区间(6,6)内满足（A ）． A. 先单调下降再单调上升 B. 单调下降 C. 先单调上升再单调下降 D. 单调上升

⒋函数f(x)满足f(x)0的点，一定是f(x)的（C ）．

A. 间断点 B. 极值点 C. 驻点 D. 拐点

⒌设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，x0(a,b)，若f(x)满足（ C ），则f(x)在x0取到极小值． A. f(x0)0,f(x0)0 B. f(x0)0,f(x0)0 C. f(x0)0,f(x0)0 D. f(x0)0,f(x0)0

⒍设f(x)在(a,b)内有连续的二阶导数，且f(x)0,f(x)0，则f(x)在此区间内是（ A ）． A. 单调减少且是凸的 B. 单调减少且是凹的 C. 单调增加且是凸的 D. 单调增加且是凹的

22f(b)f(a)．

ba（二）填空题

⒈设f(x)在(a,b)内可导，x0(a,b)，且当xx0时f(x)0，当xx0时f(x)0，则x0是f(x)的 极小值 点．

⒉若函数f(x)在点x0可导，且x0是f(x)的极值点，则f(x0) 0 ． ⒊函数yln(1x)的单调减少区间是(,0)．

⒋函数f(x)ex的单调增加区间是(0,)

⒌若函数f(x)在[a,b]内恒有f(x)0，则f(x)在[a,b]上的最大值是f(a)． ⒍函数f(x)25x3x的拐点是 (0,2) ．

322（三）计算题

2 ⒈求函数y(x1)(x5)的单调区间和极值．

2 解:y(x5)2(x1)(x5)(x5)[(x5)2(x1)]3(x5)(x1) 驻点x1,x5

列表：

X (,1) + 上升 1 0 极大27 (1,5) - 下降 5 0 极小0 (5,) + 上升 y y

极大值：f(1)27 极小值：f(5)0

⒉求函数yx2x3在区间[0,3]内的极值点，并求最大值和最小值． 解：y2x20,x1(唯一驻点) MaxMax{f(0),f(1),f(3)}f(3)6

2MinMin{f(0),f(1),f(3)}f(1)2

23.求曲线y2x上的点，使其到点A(2,0)的距离最短．

解：设p(x,y)是y2x上的点，d为p到A点的距离，则：

2d(x2)2y2(x2)22x

2(x2)2x1令d0222(x2)2x(x2)2xy22x上点(1,2)到点A(2,0)的距离最短。

x1

4.圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为L，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解:设园柱体半径为R，高为h，则体积

VR2h(L2h2)h

令：V[h(2h)L2h2][L23h2]0,L3h,h3L3R23L,当h,R332L时其体积最大 35.一体积为V的圆柱体，问底半径与高各为多少时表面积最小？ 解:设园柱体半径为R，高为h，则体积

VR2h,S表面积2Rh2R22令：S2VR24R0答：当R3V2R2 R4VVVR3R3,h3 22V4V h3时表面积最大. 26.欲做一个底为正方形，容积为62.5立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？

解：设底连长为x，高为h.则： 62.5xh,h 令S2x225062.522，侧面积为： Sx4xhxxx225030,x125x5 2x答：当底连长为5米，高为2.5米时用料最省.

（四）证明题

⒈当x0时，证明不等式xln(1x)．

ln(1x)ln(1x)ln111(0) 证：由中值定理得：

x(1x)11ln(1x)1,xln(1x),(x0)

xx⒉当x0时，证明不等式ex1． 设f(x)ex(x1)

f(x)ex10(x0),当x0时f(x)单调上升且f(0)0 f(x)0,即ex(x1)证毕