解不等式知识点总结

（一）、不等式

1、定义：用不等号表示不等式关系的式子叫做不等式,

比如:a100、x2.9、y3.1a21、5等. 、x248、例：判断下列哪些式子是不等式，哪些不是不等式。

①32；②2x1；③2x1；④sv⑤2m⑥8x3；t；

1m1⑦3x8；24x；

x⑧5x22x3；⑨x240；⑩

2x30。

解：①②⑤⑦⑨⑩是不等式，其余不是；③是多项式，④⑧是等式，⑥是分式 补充：列不等式是数学化与符号化的过程，它与列方程类似，列不等式注意找到问题中不等关系的词，如：

“正数(＞0)”， “负数（＜0）”， “非正数（≤0）”， “非负数（≥0）”， “超过(＞0)”， “不足（＜0）”， “至少（≥0）”， “至多（≤0）”， “不大于（≤0）”， “不小于（≥0）” 练习：1、用不等式表示： ⑪a是正数： ； ⑫x的平方是非负数： ； ⑬a不大于b： ；

⑭x的3倍与－2的差是负数： ；

⑮长方形的长为x cm，宽为10cm，其面积不小于200cm： 。

2、试判断a23a7与3a2的大小。

3、如果ab0，b0，则a, b, a, 的b从打到小的排序是： 。

（二）、能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解，比如:3是不等式2X＜8的解，4和9不是不等式2X＜8的解。一个含有未知数的不等式的解的全体叫做这个不等式的解集. 求不等式解集的过程叫做解不等式。如X＜4就是不等式2X＜8的解集 练习：1、不等式2-X＞1的解集是（） A X＞1 B X＞-1 C X＜1 D X＜-1 2．x取什么值时，代数式3x+7的值

2

（1）小于1？（2）不小于1？

2．求不等式3（x+1）≥5x－9的正整数解.

（三）．不等式的解集

1．定义：一般的，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集. 2．解与解集的联系

解集和解那个的范围大.（解是指个体，解集是指群体） 3．不等式解集的表示方法. x1 ①用不等式表示。如x1或x-1等。 x-1

②用数轴表示.（注意实心圈与空心圈的区别）

4.解一元不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，注意是否需要变号。

（四）不等式的基本性质：

有时，为了更好的理解新旧知识之间的异同，便以表格形式将二者进行比较。 等式的基本性质 两边同时加上（或减去）同一不等式的基本性质 性质1：两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变。 性质2：两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 性质3：两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 一般形式 若ab，则-1 0 1 -1 0 1 个代数式所得结果仍是等式。 两边同时乘以同一个数（或除以同一个不为0的数）所得结果 仍是等式。 acbc 若ab，c0则acbc 若ab，c0则 ac＜bc 比如：不等式axb的解集是xb，一定会有a0。 a练习： ⑪用最确切的不等号填空：

①若3＜x，则x 3；②若-2＜x，则0 x+2； ③若－2a≥8，则a 4；④若x＞y，则m x m y。

⑫关于x的一元一次方程4x-2m+1=5x-8的解是负数，则m的取值范围是 。

⑬如果mn0，那么下列结论中错误的是（ ）

A．m9n9

B. mn C.

2

2

11m D.1 nmn（四）一元一次不等式的定义和解法：

⑪不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫一元一次不等式。其标准形式：ax+b＜0或ax+b≤0，ax+b＞0或ax+b≥0(a≠0)．

⑫解一元一次不等式的一般步骤： 例：解不等式：x13x11 23 解：去分母，得 （3x1)2(3x1)6 （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 3x36x26 （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 3x6x632 （移项要变号） 合并同类项，得 3x7 （计算要正确） 系数化为1， 得 x了）

⑬根据实际问题列不等式并求解，主要有以下环节：

①审题，找出不等关系；②设未知数；③列出不等式；④求出不等式的解集； ⑤找出符合题意的值；⑥作答。

练习：⑪解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来。

①32x53x12； ②2x3x152x

34237 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒3

【例题】

例1．用不等式表示：

（1）a的2倍与4的差是正数

（3）a的绝对值是非负数

（5）x的绝对值与1的和不小于1 （6）a是大于-1且不大于2的数

２.不等式基本性质：①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等符号的方向不变，即：如果ab,那么acbc,acbc；②不等式的两边都乘以（或除以）同一个正整，不等号的方向不变，即：如果ab,并且c0,那么acbc,（4）y与4的差不大于3 （2）b的

1与c的和是负数 2ab；③cc不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即：如果

ab,并且c0,那么acbc,例2．用“>”或“<”填空.

（1）ab. cc11  44

(2)（1） （1） （4）ab,要使acbc

32（3）若a0,则a 0

（5）若a2,b2，则(a2)(b2) 0. （6）33a5 a2 55 （7）7x4 7y4，其中xy

例3．根据不等式的性质，将下列不等式化为xa或xa的形式. （1）x32

（2）

1x1 3

（3）7x6x4

3.不等式的解集：一般地说，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式解的集合，称为这个不等式的解集.

例4．下列说法对不对？如果不对，请说明原因： （1）x5是不等式3x16的一个解 （2）x5是不等式3x16的解集 （3）不等式3x16的解集是x5 （4）不等式3x16的解集是x

（4）3x25

16 3例5．将数轴上x的范围用不等式表示（如下图所示） （1） （2） -2 -1 0 1 2 -2 -1 0 ·1 2

（3） （4） · -2 -1 0 1 2 0 1 2 3 4

（5） （6） · -3 -2 -1 0 1 2 ·3 -2 -1 0 1 2 ·3

例6．将下列不等式的解集在数轴上表示出来：

（1）x

2 3

（2）x3

（3）1x2

（4）2x3

例7．解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来：

（1）2x14x13 （2）2(5x3)x3(12x)

例8．解下列不等式 （1）

4x37x2x13(x1) 1 （2）15232【课堂练习】

1．用不等式表示（5分钟） （1）x与-3的差是正数

（3）b的2倍与

（5）x与4和的一半不小于3 （6）x的2倍，是大于-2且不大于-2且不大于4的数.

（2）x与5的和小于8

3的各是负数 （4）a的4倍与8的差不大于2 4

2．用“<”,“=”，“>”号填空

（1）如果b0,则ab a； （2）如果b0，则ab a； （3）如果b0，则ab a； （4）如果a>b,那么a2 b2

（5）如果ab,那么ab3 3 （9）如果a4．将数轴上x的范围用不等式表示： （1） -3 -2 -1 ·0 1 2 3 （ 3） -4 ·-3 -2 -1 0 1 2 3 4 ·5

5．解下列不等式并在数轴上表示出来

（1）3x14(x1) （3）x13x1

（6）如果a>b,那么4a 4b

（8）如果ab,那么z112a22b,则a

（2） -3 -2 -1 0 1 2 3 （4） ·-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 ·5 （2）5(x2)4(2x1) （4）2(1x)3(1x)6(3x2)

（5）2

3(x1)x112x43x （6） 38436