2018年全国卷2(文科数学)含答案

2018年普通高等学校招生全国统一考试

文科数学（全国II卷）

注意事项：

1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．作答时，务必将答案写在答题卡上.写在本试卷及草稿纸上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的. 1．i23i【D】 A．32i

B．32i

C．32i

B【C】

D．32i

2．已知集合A1,3,5,7，B2,3,4,5，则AA．3

B．5

C．3,5

D．1,2,3,4,5,7

exex3．函数fx的图象大致为【B】

x2

4．已知向量a，b满足|a|1，ab1，则a(2ab)【B】 A．4

B．3

C．2

D．0

5．从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为【D】 A．0.6

B．0.5

C．0.4

D．0.3

x2y26．双曲线221(a0,b0)的离心率为3，则其渐近线方程为【A】

abA．y2x

B．y3x

C．y2x 2D．y3x 2历年高考真题 1

7．在△ABC中，cosA．42 C5，BC1，AC5，则AB【A】 25B．30

C．29 D．25

1118．为计算S123411，设计了如图的程序框图，则在空白框中应填入【B】 99100开始N0,T0i1是1ii100否NNTTSNT输出S结束1i1 A．ii1 C．ii3

B．ii2 D．ii4

9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E为棱CC1的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为【C】 A．2 2 B．3 2 C．5 2 D．7 210．若f(x)cosxsinx在[0,a]是减函数，则a的最大值是【C】

A．

π 4B．

π 2C．

3π 4 D．π

11．已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若PF1PF2，且PF2F160，

则C的离心率为【D】 A．13 2B．23 C．31 2 D．31

12．已知f(x)是定义域为(,)的奇函数，满足f(1x)f(1x)．若f(1)2，则

f(1)f(2)f(3)f(50)【C】

A．50 B．0 C．2 D．50

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.、

13．曲线y2lnx在点(1,0)处的切线方程为 y=2x–2 ．

2

x2y5≥0,14．若x,y满足约束条件x2y3≥0, 则zxy的最大值为 9 ．

x5≤0,35π115．已知tan(α)，则tanα2 ．

4516．已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若△SAB的面积为8，则该圆锥的体积为 8π .

三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，

每个试题考生都必须作答.第22、23为选考题.考生根据要求作答. （一）必考题：共60分.

17．（本小题满分12分）记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a17，S315．

（1）求{an}的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值．

解：

（1）设{an}的公差为d，由题意得3a1+3d=–15． 由a1=–7得d=2．

所以{an}的通项公式为an=2n–9． （2）由（1）得Sn=n2–8n=（n–4）2–16． 所以当n=4时，Sn取得最小值，最小值为–16．

18．（本小题满分12分） 下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图．

为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回

历年高考真题 3

归模型．根据2000年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,,17）建立模型

,7）

ˆ30.413.5t；①：y根据2010年至2016年的数据（时间变量t的值依次为1,2,ˆ9917.5t． 建立模型②：y

（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值； （2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由．

解：

（1）利用模型①，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y=–30.4+13.5×19=226.1（亿元）．

利用模型②，该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为 y=99+17.5×9=256.5（亿元）．

（2）利用模型②得到的预测值更可靠． 理由如下：

（i）从折线图可以看出，2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=–30.4+13.5t上下，这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势．2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加，2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近，这说明从2010年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势，利用2010年至2016年的数据建立的线性模型y=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势，因此利用模型②得到的预测值更可靠．

（ii）从计算结果看，相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元，由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低，而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得到的预测值更可靠．

以上给出了2种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．

ABBC22，PAPBPCAC4，19．（本小题满分12分）如图，在三棱锥PABC中，

O为AC的中点．

4

（1）证明：PO平面ABC；

（2）若点M在棱BC上，且MC2MB，求点C到平面POM的距离．

解：

（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=23． 连结OB．因为AB=BC==2．

由OP2OB2PB2知，OP⊥OB． 由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．

12OB=AC所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，AC，

22

（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM． 故CH的长为点C到平面POM的距离．

1242由题设可知OC=AC=2，CM=BC=，∠ACB=45°．

233OCMCsinACB4525=所以OM=，CH=．

OM3545． 5220．（本小题满分12分）设抛物线C：y4x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与

所以点C到平面POM的距离为C交于A，B两点，|AB|8．

（1）求l的方程；

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历年高考真题 （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．

解：

（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）． 设A（x1，y1），B（x2，y2）．

由yk(x1)222224x得kx(2k4)xk0． y16k2160，故x2k241x2k2． ABAFBF(x4k2所以411)(x21)k2．

由题设知4k24k28，解得k=–1（舍去），k=1． 因此l的方程为y=x–1．

（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5．

设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则

y0x05，x03，x0(x01)2(yx2001)解得216.y02或11，y06. 因此所求圆的方程为

(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144．

21．（本小题满分12分）已知函数fx13x3ax2x1．

（1）若a3，求f(x)的单调区间；

（2）证明：f(x)只有一个零点．

解：

（1）当a=3时，f（x）=13x33x23x3，f ′（x）=x26x3．

令f ′（x）=0解得x=323或x=323．

当x∈（–∞，323）∪（323，+∞）时，f ′（x）>0； 当x∈（323，323）时，f ′（x）<0．

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故f（x）在（–∞，323），（323，+∞）单调递增，在（323，323）单调递减．

x33a0． （2）由于xx10，所以f(x)0等价于2xx12x2(x22x3)x33a，则g ′（x）=≥0，仅当x=0时g ′（x）=0， 设g(x)=2(x2x1)2xx1所以g（x）在（–∞，+∞）单调递增．故g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点．

112112又f（3a–1）=6a2a6(a)0，f（3a+1）=0，

3663故f（x）有一个零点． 综上，f（x）只有一个零点．

（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一

题计分.

22．【选修4－4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）

x2cosθ,在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方

y4sinθx1tcosα,程为（t为参数）．

y2tsinα

（1）求C和l的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率．

解：

x2y21． （1）曲线C的直角坐标方程为416当cos0时，l的直角坐标方程为ytanx2tan， 当cos0时，l的直角坐标方程为x1．

（2）将l的参数方程代入C的直角坐标方程，整理得关于t的方程 (13cos2)t24(2cossin)t80．①

因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内，所以①有两个解，设为t1，t2，则t1t20．

又由①得t1t24(2cossin)，故2cossin0，于是直线l的斜率

13cos27

ktan2．

23．【选修4－5：不等式选讲】（本小题满分10分） 设函数f(x)5|xa||x2|．

（1）当a1时，求不等式f(x)≥0的解集；

（2）若f(x)≤1，求a的取值范围．

解：

（1）当a1时，

2x4,x1,f(x)2,1x2,

2x6,x2.可得f(x)0的解集为{x|2x3}． （2）f(x)1等价于|xa||x2|4．

而|xa||x2||a2|，且当x2时等号成立．故f(x)1等价于|a2|4．由|a2|4可得a6或a2，所以a的取值范围是(,6][2,)．

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