电磁场习题解8（西安交通大学）

第⼋章 电磁辐射与天线

8.1 由（8.1-2）式推导(8.1-3)及(8.1-4)式。 解：略8.2 推导(8.1-8)式。 解：电流元的辐射场为j k rer

I d l jZ E E -==λθθθθ2sin ?? Z E H H /??θ==

辐射功率为 ==ππθθλθ20022*sin )2sin (d d Zr rIdl S d H E P Sr222232)(8034)2(2sin )2(2λπλπθθλππ

dl

I Idl Z d Z Idl ===?8.3如果电流元y

Il ?放在坐标原点，求远区辐射场。 解：电流元yIl ?的⽮量磁位为 j k re r

Il y A -=πµ4? 在圆球坐标系中j k ry r er

Il A A -==π?

θµ?θ4sin sin sin sin j k ry e

r Il A A -==π?

θµ?θθ4sin cos sin cosj k ry erIl A A -==π?µ??4cos cos由?θ?θ?θθθµµθA r rA A rr r rr A H r

sin ?sin ??sin 1112==

0])sin cos []cos [sin (sin 11=??-??=θ?

θθθµy y r A A r H)]cos ()sin ([1y y A r rA r H µθ??-=)1(c o s 42rrjk eIl jkr+=-?π

)]sin sin ()sin cos ([1θθ

θµ?y y A rA rr H ??-=)1(

4s i n c o s 2rrjk e Il jkr--=-πθ

对远区辐射场，结果仅取r1项，得 j k r

erIl j

H -=λ?θ2cosj k rerIl jH --=λ?θ?2sin cos

根据辐射场的性质，E r ZH ?=?1得 j k re

r Il jZ E --=λ?θθ2sin cosj k rerIl jZ

E --=λ??2cos

8.4 三副天线分别⼯作在30MHz,100MHz,300MHz,其产⽣的电磁场在多远距离之外主要是辐射场。 解：根据远区场的要求11<，取=krλλπ

6.121010==>k r

当 m r m MHz f 16,10,30>==λ 当m r m MHz f 8.4,3,100>==λ 当 m r m MHz f 6.1,1,300>==λ

8.5 求磁流强度为m I ，⾯积为S 的⼩磁流环的远区辐射场。 解：电流强度为I ，⾯积为S 的⼩电流环的远区辐射场为j k r ee rIS H --=2sin λθπθ j k r ee r

IS Z E -=2

sin λθπ? 根据对偶原理，只要将电性源的场中mI I →，µεεµ→→,，meme E HH E -→→,，

就可得到磁性源的场。因此，磁流强度为m I ，⾯积为S 的⼩磁流环的远区辐射场为j k rerIS E -=2sin λθπθ j k rerZ IS H -=2sin λθπ?

8.6 长度为2l 的短对称天线沿z 轴放置，电流分布近似为,),1(0l z l lz I I ≤≤--=λ<试求远区辐射电场。解：电流元的辐射电场为 j k rerI d l jZE -=λθθ2sin '

在短对称天线上取电流元'Idz ，其辐射场为j k Re

R I d z jZ E d -=λθθ2'sin ''? 将)1(0l

z I I -=代⼊，并积分，可得对称线天线的辐射场为'2'

s i n )/'1('?0dz eR

l z I jZE jkRll---=λθθ

对于远区辐射场取θθθθsin 'sin ,?'?≈≈，rRz r R 11,

cos '=-=θ，由于λ<λθ可以看出长度为2l ，电流分布为)1(0l

z I I -=的短天线的辐射场相当与长度为l 电流为0I 的电流元的辐射场。

8． 7 在某天线的远区中，⽮量位 j k r e kr Il z A -=θθππµ2

sin )cos 2cos(

2? 求该天线的远区辐射场。解：在圆球坐标系中θc o s

z r A A = θθs i n z A A -= 0=?A 由A H ??=µ

1得

0==θH H r )](cos )sin ([1z z A A r rrH θθθµ--=jkrerrjkkIl -??-=))]cos 2cos(sin cos (1sin )cos 2cos([22θπθθθθθππ

在远区，仅保留r /1项得jkr erIl jH -=θθππ?sin )cos 2cos(

2 利⽤辐射场的性质，Z r H E ??=得

jkr erZIl jE -=θθππθsin )cos 2cos(2

8.8 长度为l 的⾏波天线沿z 轴放置，电流分布为jkze I I -=0，l z <<0，求该⾏波天线的远区场。

解： 长度为l 的⾏波天线沿z 轴放置，在'z 处取电流元'Idz ，将⾏波天线的电流分布jkze

I I -=0代⼊，对电流元'Idz 的辐射场积分，得'2s i n 0'0dz ReeI jZE ljkRjkz ?--=λθθ

θcos ' P

将以上近似代⼊后积分得⾏波天线的辐射场--=lz jk dz erZI jE 0'

)cos 1(0'2sin θθλθj k rkl jeek kl rZI j-----=)cos 1(210)cos 1(21)]cos 1(2

1sin[4sin θθθλθ

8.9 已知位于坐标原点z=0平⾯内的矩形⼝径尺⼨为b a ?，⼝径相位为同相场，极化⽅向为y ⽅向。若⼝径内的振幅为 22),cos(

)(a x a x a x E y ≤≤-=π

求远区辐射场。

解：利⽤式（8.5-14）式，⼝径场的远区辐射场为 '')'c o s ()'c o s 1(2)(2/2/2/2/dy dx x aRe

j r E b b a a jkRy πθλ---+=可近似取rR 1/1≈

，ryy xx r R ''+-≈，θθ≈'，场点⽤球坐标，即?θcos sin r x =，θsin sin r y =，代⼊以上积分得'')'c o s (2)c o s 1()(2/2/2/2/)

c o s 's i n '(s i n dy dx x aere

jb r E b b a a y x jk jkr y πλθ??θ?--+-+-=j k ref rj -=),(2?θλ]

)/s i n s i n (1[)(

)2/s i n s i n c o s (s i n s i n 22/c o s s i n )2/c o s s i n s i n ()c o s1(),(22ak a

ka k kb kb f π?θπ?θ?θ?θ?θθ?θ-+=

8.10 分别写出第6、7题中对称天线的⽅向性因⼦。

解：第8.6题短对称天线的⽅向因⼦ θ?θs i n ),(=f 第8.7题天线的⽅向因⼦为θθπ

θsin )cos 2cos(),(=f

8.11 当8-8题⾏波天线长度2/λ=l 时，写出其⽅向性因⼦，并画出其E ⾯⽅向图。 解： 由题8.8得，⾏波天线的⽅向性因⼦为θθθ?θsin )cos 1(2)]cos 1(2sin[),(--=klkl f

当2/λ=l 时，得θθπθπ?θs i n )c o s 1(2)]cos 1(2sin[),(--=f

2/λ=l 天线长度E ⾯⽅向图

8.12 若⼆元天线阵的间距4/λ=d ，分别绘出相差为πππα,2/,4/,0=时阵因⼦的⽅向图。

解：⼆元天线阵的阵因⼦为]2c o s 21c o s [),(2αβ?θ-=kd f4/λ=d ，4/42/πλλπ==kd

（1）0=α，]cos 4cos[),(2βπθ=f

（2）4/πα=，]8/cos 4cos[),(2πβπ

θ-=f （3）2/πα=，]4/cos 4cos[),(2πβπθ-=f

（4）πα=，]cossin[),(2βπθ=f

(1) 0=α

4/=(3)

2/πα= (4) πα=

8.13 ⼆元天线阵的间距2/λ=d ，分别绘出相差为2/,0πα=时阵因⼦的⽅向图。 解：⼆元天线阵的阵因⼦为]2c o s 21c o s [),(2αβ?θ-=kd f

2/λ=d ，（1）0=α， ]c o s 2c o s [),(2βπθ=f

（2）2/πα=，]4/coscos[),(2πβπθ-=f

8.14两半波天线组成的⼆元天线阵轴沿x 轴，天线取向为z 向，间距为2/λ=d ，要使主射⽅向为0090,60==θ?，求两半波天线的电流相位。

解：两半波天线组成的⼆元天线阵如图所⽰。由于半波天线在0

90=θ⾯为最⼤，因此要使主射⽅向为090,60==θ?，要求⼆元阵的主射⽅向为0max 60==β?，根据⼆元阵主射⽅向的关系2c o s 2αβ=kd

所以，此两半波天线组成的⼆元天线阵的电流相位差为2

60cos 22cos 0πλλπβα===kd

8.15 四个半波天线组成的均匀线阵，取阵轴为z 轴，半波天线取向为x ⽅向，间距4/λ=d ，电流相位差为2π

α=，求H ⾯的主射⽅向。

解：对于半波天线组成的均匀线阵，H ⾯的主射⽅向仅由阵因⼦决定。

x

由（8.7-9）式αβ=c o s kdm a x 01a r c c o s 4

22/a r c c o s a r c c o s ====λλππαβkd由于阵轴为z 轴，因此，在H ⾯的主射⽅向为0max max 0==βθ，即z 轴为H ⾯的主射⽅向。

8.16 近似为理想导电体的地⾯上空h 处⽔平架设长度2/λ=l 的⾏波天线，⾏波天线电流分布为jkz

e I I -=0，求天线所在的垂直⾯上的辐射场及⽅向因⼦。

解：地⾯的影响可⽤⼀相位为π的镜像⾏波天线代替，因此，其⽅向性因⼦为⾏波天线的的⽅向性因⼦乘以⼆元阵的阵因⼦。取⾏波天线平⾏z 轴，在天线所在的垂直⾯上，由题8-11，θθπθπ?θs i n )c o s 1(2)]

cos 1(2sin[),(1--=f

⼆元阵的阵因⼦为)s i n 2s i n ()2)90cos(2cos()2cos 2cos(),(2θλππθλπαβ?θhhkd f =--=-=

总⽅向性因⼦为θθλπθπ

θπ?θs i n )s i n 2s i n ()c o s 1(2)]cos 1(2sin[),(hf --=

在题8-8计算的⾏波天线的辐射场中的⽅向性因⼦⽤总⽅向性因⼦替换后得辐射场为jkrehrZI E ---=)sin 2sin()

cos 1(2)]cos 1(2sin[4sin 0θλπθπθπλθθ

z

8.17 近似为理想导电体的地⾯上空⽔平架设⼀半波天线，为使其在H ⾯内仰⾓为030⽅向为主射⽅向，求天线的架设⾼度。解：地⾯的影响可⽤⼀相位为π的镜像半波天线代替，半波天线与其镜像形成⼀个⼆元阵，H ⾯的主射⽅向仅由阵因⼦决定。阵因⼦为 ]2c o s 21c o s [),(2αβ?θ-=kd f

主射⽅向满⾜ αβ=c o s kd 镜像天线的相差为 πα= 仰⾓为030⽅向对应的0603090=-=β

天线的架设⾼度为 221221c o s 212λλππβα===

=k d h 8.18近似为理想导体的⽆限⼤地平⾯上⾼度为1h 处⽔平架设⼀半波天线作为发射天线。在距离发射天线⽔平距离为D处放⼀接收天线，要使接收点的场强最⼤，求接收天线应架设的⾼度2h 。

解：接收点的场为发射天线的直达波与地⾯的发射波之和，反射波可由发射天线镜像的直达波计算，即21),(),(1211j k rj k rr

ief r C ef r C EE E ---=+=?θ?θ

式中),(1?θf 为发射天线⽅向性因⼦；1r ，2r 分别为发射天线及其镜像到接收天线的距离，可⽤D ，1h ，2h 表⽰为])(211[)(1)(22122122121Dh h D Dh h D h h D r -+=-+=-+= Dh h Dh h D 21222121-++=Dh h D

h h D h h D r 2122212212221)

(+++=++=21),(),(1211j k rj k ref r C ef r C E ---=θ?θ))(,(212122211)21(Dh h jkDh h jkDh h D jk eef erC -++--=?θ)s i n (),(211)21(2221Dh h k f erC D

h h D jk ?θ++-=

可以看出，要使接收点的场强最⼤，接收天线应架设的⾼度2h 满⾜221ππ+=n Dh h k2)21(12λh D n h +=