2016届高三级理数选择题、填空题的解题策略
在“限时”的高考考试中，解答选择题不但要“准”，更要“快”，只有“快”，才能为后面的解答题留下充足的时间．而要做到“快”，必然要追求“巧”，“巧”即“不择手段、多快好省”．由于数学选择题是四选一的形式，因而在解答时应突出一个“选”字，要充分利用题干和选项两方面提供的信息，尽量减少书写解题过程，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速解答．一般来说，能定性判断的，就不再使用复杂的定量计算；能使用特殊值判断的，就不必采用常规解法；能使用间接法的，就不必采用直接法；对于明显可以否定的选项应及早排除，以缩小选择的范围；初选后要认真检验，确保准确．
涉及数学定理、定义、法则、公式应用的问题，通常通过直接演算出结果，与选项比较作出选择．
适用范围：涉及概念、性质的辨析或运算较简单的题目常用直接法．
[典例1] (1)(2015·重庆高考)已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为( )
ππ2π5π
A. B. C. D. 3236
解析：选C ∵a⊥(2a＋b)，∴a·(2a＋b)＝0， ∴2|a|2＋a·b＝0，
即2|a|2＋|a||b|cos〈a，b〉＝0.
∵|b|＝4|a|，∴2|a|2＋4|a|2cos〈a，b〉＝0， 12π∴cos〈a，b〉＝－，∴〈a，b〉＝. 23
3x－b，x<1，5＝4，则b＝( ) (2)(2015·山东高考)设函数f(x)＝x若ff62，x≥1.
731
A.1 B. C. D.
842
555535－b－b＝15－4b＝4，解析：选D f＝3×－b＝－b，若－b<1，即b>，则3×626222275351
解得b＝，不符合题意，舍去；若－b≥1，即b≤，则2－b＝4，解得b＝.
82222
[方法点津] 直接法是解答选择题最常用的基本方法．直接法适用的范围很广，只要运
1
算正确必能得出正确的答案．平时练习中应不断提高用直接法解选择题的能力，准确把握题目的特点．用简便的方法巧解选择题，是建立在扎实掌握“三基”的基础上的，否则一味求快则会快中出错．
[对点演练]
1．(2015·洛阳模拟)若直线l：ax＋by＋1＝0(a≥0，b≥0)始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，则a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为( )
499
A. B. C.2 D. 554
解析：选B 因为直线ax＋by＋1＝0始终平分圆x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周长，所以圆心(－2，－1)在直线ax＋by＋1＝0上，从而2a＋b－1＝0.a2＋b2－2a－2b＋3＝(a－1)2＋(b－1)2＋1，而(a－1)2＋(b－1)2表示点(1，1)与直线2a＋b－1＝0上任一点距离的平方，其最小值
d2min＝
49|2×1＋1×1－1|24
＝5，所以a2＋b2－2a－2b＋3的最小值为5＋1＝5. 222＋1
2．(2015·宝鸡模拟)已知直线l：x－y－m＝0经过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点，l与C交于A、B两点．若|AB|＝6，则p的值为( )
13
A. B. C.1 D.2 22
px－y－2＝0，2pp2解析：选B 因为直线l过抛物线的焦点，所以m＝.联立得x－3px＋242y＝2px，3
＝0.设A(x1，y1)、B(x2，y2)，则x1＋x2＝3p，故|AB|＝x1＋x2＋p＝4p＝6，p＝.
2
排除法也叫筛选法或淘汰法，使用排除法的前提条件是答案唯一，具体的做法是采用简捷有效的手段对各个备选答案进行“筛选”，将其中与题干相矛盾的干扰项逐一排除，从而获得正确结论．
适用范围：这种方法适用于直接法解决问题很困难或者计算较繁琐的情况． [典例2] (1)(2015·福建高考)下列函数为奇函数的是( ) A．y＝x B．y＝ex C．y＝cos x D．y＝ex－ex
－
解析：选D 对于A，定义域不关于原点对称，故不符合要求；对于B，f(－x)≠－f(x)，故不符合要求；对于C，满足f(－x)＝f(x)，故不符合要求；对于D，∵f(－x)＝ex－ex＝－
－
(ex－ex)＝－f(x)，∴y＝ex－ex为奇函数．
－
－
(2)函数f(x)＝(1－cos x)sin x在[－π，π]的图象大致为( )
2
解析：选C 由函数f(x)为奇函数，排除B；当0≤x≤π时，f(x)≥0，排除A；又f′(x)＝ 1
－2cos2x＋cos x＋1，f′(x)＝0，则cos x＝1或cos x＝－，结合x∈[－π，π]，求得f(x)在(0，
22π
π]上的极大值点为，靠近π，排除D.
3
[方法点津] 排除法适用于定性型或不易直接求解的选择题．当题目中的条件多于一个时，先根据某些条件在选项中找出明显与之矛盾的，予以否定，再根据另一些条件在缩小选项的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得到正确的答案．它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法．
[对点演练]
1．(2015·贵阳模拟)设m，n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，下列命题正确的是( )
A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n C．m⊥α，m⊥n，n⊂β，则α⊥β D．m⊂α，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥β
解析：选B A：m与n的位置关系为平行，异面或相交，∴A错误；B：根据面面垂直的性质可知正确；C：由题中的条件无法推出α⊥β，∴C错误；D：只有当m与n相交时，结论才成立，∴D错误．
2．(2014·浙江高考)在同一直角坐标系中，函数f(x)＝xa(x>0)，g(x)＝logax的图象可能是( )
解析：选D 根据对数函数的图象特点知函数图象一定过点(1，0)，确定四个图象中的对数函数曲线，从图象上知只有C中对数函数单调递增，由此判断a>1，不妨取a＝2，此时幂函数为f(x)＝x2，其图象为开口向上的抛物线，在[0，＋∞)上的曲线不是C中的图象，1
排除C.由于A，B，D中对数函数单调递减，所以0 3 ＝x，其图象形状为D中形状，排除A，B，选择D. 从题干(或选项)出发，通过选取特殊情况代入，将问题特殊化或构造满足题设条件的特殊函数或图形位置，进行判断．特殊化法是“小题小做”的重要策略，要注意在怎样的情况下才可使用，特殊情况可能是：特殊函数、特殊数列、特殊值、特殊点、特殊位置、特殊图形等． 适用范围：适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题． [典例3] (1)设[x]表示不大于x的最大整数，则对任意实数x，有( ) 1 x＋＝[x] A. [－x]＝－[x] B.21 x＋＝[2x] C. [2x]＝2[x] D. [x]＋21 解析：选D 当x＝时，可排除A，B，C. 2 12 (2)如图，在棱柱的侧棱A1A和B1B上各有一动点P，Q满足A1P＝BQ，过P，Q，C三点的截面把棱柱分成两部分，则其体积之比为( ) A．3∶1 B．2∶1 C．4∶1 D.3∶1 解析：选B 将P，Q置于特殊位置：P→A1，Q→B，此时仍满足条件A1P＝BQ(＝0)，则有VC-AA1B＝VA1-ABC＝ VABC-A1B1C1. 3 [方法点津] 特例法具有简化运算和推理的功效，比较适用于题目中含有字母或具有一般性结论的选择题，但用特例法解选择题时，要注意以下两点： 第一，取特例尽可能简单，有利于计算和推理； 第二，若在不同的特殊情况下有两个或两个以上的结论相符，则应选另一特例情况再检验，或改用其他方法求解． [对点演练] 1．(2015·南昌模拟)已知等比数列{an}满足an>0，n＝1，2，3，…，且a5·a2n－5＝22n(n≥3)，当n≥1时，log2a1＋log2a3＋…＋log2a2n－1＝( ) A．n(2n－1) B．(n＋1)2 4 C．n2 D．(n－1)2 解析：选C 因为a5·a2n－5＝22n(n≥3)，所以令n＝3，代入得a5·a1＝26，再令数列为常数列，得每一项为8，则log2a1＋log2a3＋log2a5＝9＝32. x2y2 2．如图，点P为椭圆＋＝1上第一象限内的任意一点，过椭圆的右顶点A、上顶点 259B分别作y轴、x轴的平行线，它们相交于点C，过点P引BC，AC的平行线交AC于点N，交BC于点M，交AB于D、E两点，记矩形PMCN的面积为S1，三角形PDE的面积为S2，则S1∶S2＝( ) 11 A.1 B.2 C. D. 23 913－9×(5－4)＝6，9－34，，解析：选A 不妨取点P则可计算S＝S＝×(4－2)×12 5555526 ＝，所以S1∶S2＝1. 5 根据题设条件作出所研究问题的曲线或有关图形，利用函数图象或数学结果的几何意义，将数的问题(如解方程、解不等式、求最值、求取值范围等)与某些图形结合起来，利用直观性，再辅以简单计算，从而确定正确答案． 适用范围：适用于求解问题中含有几何意义命题的题目． [典例4] (1)(2015·北京高考)如图，函数f(x)的图象为折线ACB，则不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集是( ) A．{x|－1 解析：选C 令g(x)＝y＝log2(x＋1)，作出函数g(x)图象如图． x＋y＝2，x＝1，由得 y＝log2（x＋1），y＝1. ∴结合图象知不等式f(x)≥log2(x＋1)的解集为{x|－1 （x－2），x>2， ＝f(x)－g(x)的零点个数为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A 当x>2时，g(x)＝x－1，f(x)＝(x－2)2； 当0≤x≤2时，g(x)＝3－x，f(x)＝2－x； 当x<0时，g(x)＝3－x2，f(x)＝2＋x. 由于函数y＝f(x)－g(x)的零点个数就是方程f(x)－g(x)＝0的根的个数． 5＋55－5 x>2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2－5x＋5＝0，其根为x＝或x＝(舍去)； 22当0≤x≤2时，方程f(x)－g(x)＝0可化为2－x＝3－x，无解； －1－5－1＋5 当x<0时，方程f(x)－g(x)＝0可化为x2＋x－1＝0，其根为x＝或x＝(舍 22去)． 所以函数y＝f(x)－g(x)的零点个数为2. [方法点津] 严格地说，图解法并非属于选择题解题思路范畴，但它在解有关选择题时非常简便有效．运用图解法解题一定要对有关函数的图象、方程曲线、几何图形较熟悉，否则错误的图象反而会导致错误的选择，图解法实际上是一种数形结合的解题策略． [对点演练] 1．函数y＝|log1x|的定义域为[a，b]，值域为[0，2]，则区间[a，b]的长度b－a的最小 2 值是( ) 33 A.2 B. C.3 D. 24 6 解析：选D 作出函数y＝|log1x|的图象，如图所示，由y＝0，解得x＝1，由y＝2，解 2 113 得x＝4或x＝.所以区间[a，b]的长度b－a的最小值为1－＝. 444 2．(2015·长春模拟)已知定义在R上的函数f(x)，当x∈[0，2]时，f(x)＝8(1－|x－1|)，1x＋ －1，若函数g(x)且对于任意的实数x∈[2n－2，2n1－2](n∈N*，且n≥2)，都有f(x)＝f22＝f(x)－logax有且只有三个零点，则a的取值范围为( ) A．[2，10] B．[2，10] C．(2，10) D．(2，10) loga4<4， 解析：选D f(x)的图象如图所示，易得a>1，依题意得∴2 由于选择题提供了唯一正确的选项，解答又无需过程，因此，有些题目不必进行准确的计算，只需对其数值特点和取值界限作出适当的估计，便能作出正确的判断，这就是估算法．估算法往往可以减少运算量，节省答题时间． 适用范围：当题目从正面解析比较麻烦，特值法又无法确定正确的选项时，如难度稍大的函数的最值或取值范围、函数图象的变化等问题，常用此种方法确定选项． x≤0， [典例5] 若M为不等式组y≥0，表示的平面区域，则当a从－2连续变化到1时，动 y－x≤2直线x＋y＝a扫过M中的那部分区域的面积为( ) 37 A. B．1 C. D．2 44解析：选C 如图知区域的面积是△OAB去掉一个小直角三角形． 7 1 阴影部分面积比1大，比S△OAB＝×2×2＝2小． 2 [方法点津] “估算法”的关键是确定结果所在的大致范围，否则“估算”就没有意义．本题的关键在于所求值应该比△AOB的面积小且大于其面积的一半． [对点演练] 1．设a＝log32，b＝ln 2，c＝5A．a 解析：选C a＝log32＝>＝，且a＝log32＝ ln 3ln 32ln 2 51 <，所以c 2．已知过球面上A，B，C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB＝BC＝CA＝2，则球面面积是( ) 16864A.π B.π C.4π D.π 939 2316解析：选D 球的半径R不小于△ABC的外接圆半径r＝，则S球＝4πR2≥4πr2＝ 33π>5π. 1.解选择题的基本方法有直接法、排除法、特例法、估算法、验证法和数形结合法，但大部分选择题的解法是直接法，在解选择题时要根据题干和选项两方面的特点灵活运用上述一种或几种方法“巧解”，在“小题小做”、小题巧做“上做文章，切忌盲目采用直接法. 2.由于选择题供选答案多、信息量大、正误混杂、迷惑性强，稍不留心就会误入“陷阱”，应该从正反两个方向肯定、否定、筛选、验证，既谨慎选择，又大胆跳跃. 3.作为平时训练，解完一道题后，还应考虑一下能不能用其他方法进行“巧算”，并注意及时总结，这样才能有效地提高解选择题的能力. 数学填空题只要求写出结果，不要求写出计算和推理过程，其结果必须是数值准确、形式规范、表达式(数)最简．填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题．解题时，要有合理地分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求． 8 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数形结合法、等价转化法等． 直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质等，通过变形、推理、运算等过程，直接得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法． 适用范围：对于计算型的试题，多通过计算求结果． [典例1] (1)(2015·重庆高考)设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝2，1 cos C＝－，3sin A＝2sin B，则c＝________． 4 解析：∵3sin A＝2sin B，∴3a＝2b. 又a＝2，∴b＝3. 由余弦定理可知c2＝a2＋b2－2abcos C， －1＝16， ∴c2＝22＋32－2×2×3×4∴c＝4. 答案：4 x2y2 (2)已知F1，F2是椭圆C：2＋2＝1(a>b>0)的左、右焦点，若点P在C上，且PF1⊥F1F2， ab|PF2|＝2|PF1|，则C的离心率为________． b22b2 解析：因为PF1⊥F1F2，|PF2|＝2|PF1|，所以|PF1|＝，|PF2|＝，由椭圆定义可得|PF1| aa3b2c3 ＋|PF2|＝＝2a，即2a2＝3(a2－c2)，化简得a＝3c，故离心率e＝＝. aa3 答案： 3 3 [方法点津] 直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键． [对点演练] ππ 1．(2015·兰州模拟)若函数f(x)＝2sin(x＋)(－2 ＋ )·＝________． 解析：∵－2 ＋)·＝2·＝2| |2＝2×36＝72. 答案：72 2．(2015·长春模拟)若三棱锥P-ABC的三条侧棱PA，PB，PC两两互相垂直且长都相等，其外接球半径为2，则三棱锥的表面积为________． 4383解析：由三棱锥的外接球半径为2，可知PA＝，从而三棱锥的表面积为8＋. 3383 答案：8＋ 3 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例． 适用范围：求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解． [典例2] 设坐标原点为O，抛物线y2＝2x与过焦点的直线交于A、B两点，则________． 解析：由题意知， ·的值不受位置的限制，所以分别设通径的两个端点为A、B， 113 ·＝×＋1×(－1)＝－. 224 ·＝ 11 ，1，B，－1，∴则A22 3答案：－ 4 [方法点津] 填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件． [对点演练] π 1．若函数f(x)＝sin 2x＋acos 2x的图象关于直线x＝－对称，则a＝________． 8πππ －＋x＝f－－x，取f(0)＝f－得a＝－1. 解析：由题意，对任意的x∈R，有f884答案：－1 a1＋a3＋a9 2．已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a9成等比数列，则的值是________． a2＋a4＋a10a1＋a3＋a913 解析：取特殊数列an＝n满足题意．∴＝. a2＋a4＋a101613答案： 16 10 对于一些含有几何背景的填空题，若能以数辅形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，如Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线、函数的零点等． 适用范围：图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算． [典例3] (1)(2015·安徽高考)在平面直角坐标系xOy中，若直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一个交点，则a的值为________． 解析： 函数y＝|x－a|－1的图象如图所示，因为直线y＝2a与函数y＝|x－a|－1的图象只有一1个交点，故2a＝－1，解得a＝－. 2 1 答案：－ 2 (2)设函数f(x)的定义域为D，如果存在正实数k，使对任意x∈D，都有x＋k∈D，且f(x＋k)>f(x)恒成立，则称函数f(x)为D上的“k型增函数”．已知f(x)是定义在R上的奇函数，且在x>0时，f(x)＝|x－a|－2a，若f(x)为R上的“2 015型增函数”，则实数a的取值范围是________． x－3a（x≥a）， 解析：由题意得，当x>0时，f(x)＝ －x－a（x 2 015 所以只需满足5a－(－a)＝6a<2 015，即0≤a<. 6 ②当a<0时，函数f(x)的图象如图(2)所示，且f(x)为增函数，因为x＋2 015>x，所以满足f(x＋2 015)>f(x)． 2 015－∞，综上可知，实数a的取值范围是6. 11 2 015－∞，答案：6 [方法点津] 图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果． [对点演练] 1．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t)b，若b·c＝0，则t＝________． 解析：|a|＝|b|＝1，a，b＝60°. ∵c＝ta＋(1－t)b， 1tt ∴b·c＝ta·b＋(1－t)b2＝t×1×1×＋(1－t)×1＝＋1－t＝1－. 222t ∵b·c＝0，∴1－＝0，∴t＝2. 2答案：2 |2x＋1|，x<1， 2．(2015·太原模拟)已知函数f(x)＝若f(x1)＝f(x2)＝f(x3)(x1，x2， log（x－m），x>1，2 x3互不相等)，且x1＋x2＋x3的取值范围为(1，8)，则实数m的值为________． 解析： 作出f(x)的图象，如图所示，可令x1 答案：1 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决． 12 [典例4] (1)如图，已知球O的面上有四点A，B，C，D，DA⊥平面ABC，AB⊥BC，DA＝AB＝BC＝2，则球O的体积等于________． 解析： 如图，以DA，AB，BC为棱长构造正方体，设正方体的外接球球O的半径为R，则正方体的体对角线长即为球O的直径，所以 CD＝（2）2＋（2）2＋（2）2＝2R， 64πR3 所以R＝，故球O的体积V＝＝6π. 23答案：6π 111111 (2)a＝ln－，b＝ln－，c＝ln－，则a，b，c的大小关系 2 0122 0122 0132 0132 0142 014为______________． 1－x1 解析：令f(x)＝ln x－x，则f′(x)＝－1＝. xx 当0 111 >>>0，∴a>b>c. 2 0122 0132 014 答案：a>b>c [方法点津] 构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决． [对点演练] 1．设a，b，c均为实数，且cos 2x＝acos2x＋bcos x＋c恒成立，则a2＋b2＋c2＝________． 解析：题设为恒成立，所以可取x的特值代入． a＋b＋c＝1，π 令x＝0，，π，得c＝－1，解得a＝2，b＝0，c＝－1.故a2＋b2＋c2＝5. 2 a－b＋c＝1， 13 答案：5 2．若锐角α，β，γ满足cos2 α＋cos2 β＋cos2 γ＝1，那么tan α·tan β·tan γ的最小值为________． 解析： 如图，构造长方体ABCD-A1B1C1D1.设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，∠C1AB＝α，∠C1AD＝β，∠C1AA1＝γ，则cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. b2＋c2a2＋c2a2＋b22bc·2ac·2ab从而有tan α·tan β·tan γ＝··≥＝22.当且仅当a abcabc＝b＝c时，tan α·tan β·tan γ有最小值22. 答案：22 选择题、填空题专项练(一) 一、选择题 1．设集合A＝{x|1 ＝1－bi，其中a，b是实数，i是虚数单位，则|a－bi|＝( ) 1＋i A．3 B．2 C．5 D.5 a＝1＋b，a 解析：选D ＝1－bi，可得a＝1＋b＋(1－b)i，因为a，b是实数，所以 1＋i1－b＝0， 解得a＝2，b＝1. 所以|a－bi|＝|2－i|＝22＋（－1）2＝5. 3．(2015·雅安模拟)已知向量a＝(1，2)，b＝(x，－4)，若a∥b，则x＝( ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 解析：选D ∵a∥b，∴－4－2x＝0，解得x＝－2. 4．设a，b∈R，则“a≥1且b≥1”是“a＋b≥2”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 14 解析：选A 若a≥1且b≥1，则a＋b≥2成立，当a＝0，b＝3时，满足a＋b≥2，但a≥1且b≥1不成立，即“a≥1且b≥1”是“a＋b≥2”的充分不必要条件． 2x，x≤0， 5．已知函数f(x)＝则使f(x)＝2的x的集合是( ) |logx|，x＞0，2 111 A.4，4 B．{1，4} C.1，4 D.1，4，4 x2，x≤0， 解析：选A 函数f(x)＝ |log2x|，x>0， 当x≤0时，2x＝2，可得x＝1(舍去)． 11 当x＞0时，|log2x|＝2，即log2x＝±2，解得x＝4或x＝，故使f(x)＝2的x的集合是4，4. 46．(2015·郑州模拟)已知程序框图如图，则输出的i为( ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C 由程序框图可得 S＝1，i＝3不满足条件S≥100，执行循环体； S＝1×3＝3，i＝3＋2＝5，不满足条件S≥100，执行循环体； S＝3×5＝15，i＝5＋2＝7，不满足条件S≥100，执行循环体； S＝15×7＝105，i＝7＋2＝9，满足条件S≥100，退出循环体，此时i＝9. ππ 2x＋的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数( ) 7．将函数y＝3sin32π7π A．在区间12，12上单调递减 π7πB．在区间12，12上单调递增 ππ －，上单调递减 C．在区间63ππ －，上单调递增 D．在区间63 ππ 2x＋的图象向右平移个单位长度得到函数y解析：选B 由题可知，将函数y＝3sin32 15 2ππ2πππ7π 2x－的图象，令－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，即＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z时，＝3sin32321212π7π2π ＋kπ，＋kπ，k∈Z，可知当函数单调递增，即函数y＝3sin(2x－)的单调递增区间为12123π7π k＝0时，函数在区间12，12上单调递增． 8．在区间[0，2π]上任取一个数x，则使得2sin x＞1的概率为( ) 1112 A. B. C. D. 6433 5ππ －661π5π ，，∴P＝解析：选C ∵2sin x＞1，x∈[0，2π]，∴x∈＝. 662π3 x2y2 9．已知双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲 ab线的离心率等于( ) 23A.6 B. C.10 D.3 3 x2y2 解析：选C ∵双曲线2－2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直， ab∴双曲线的渐近线方程为y＝±3x， b ∴＝3，得b2＝9a2，c2－a2＝9a2， ac 此时，离心率e＝＝10. a ππ －，上的图象大致是( ) 10．函数f(x)＝2x－tan x在22 A B C D ππ －，关于原点对称，因为f(－x)＝－2x＋tan x＝－(2x－tan x)解析：选D 定义域22π2ππ5π＝－f(x)，所以函数f(x)为定义域内的奇函数，可排除B，C；因为f＝－tan＞0，而f331235πππ5π ＝－tan(＋)＝－(2＋3)＜0，可排除A. 6466 3x＋y－2≤0， 11．变量x、y满足线性约束条件y－x≤2，若目标函数z＝kx－y仅在点(0，2)处取 y≥－x－1，得最小值，则k的取值范围是( ) 16 A．(－∞，－3) B．(1，＋∞) C．(－3，1) D．(－1，1) 解析：选C 作出不等式对应的平面区域，由z＝kx－y得y＝kx－z，要使目标函数y＝kx－z仅在点A(0，2)处取得最小值，则阴影部分区域在直线y＝kx－z的下方，∴目标函数的斜率k满足－3＜k＜1. 12．(2015·青岛模拟)设函数f(x)是定义在R上周期为2的函数，且对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2e有且仅有三个零点，则a的取值范围为( ) A．[3，5] B．[4，6] C．(3，5) D．(4，6) 解析：选C ∵对任意的实数x，恒有f(x)－f(－x)＝0，∴函数f(x)是周期为2的偶函数，又∵当x∈[－1，0]时，f(x)＝x2e －(x＋1) －(x＋1)． 若g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上 ，而g(x)＝f(x)－logax在x∈(0，＋∞)上有且仅有三个 零点，可化为函数f(x)与y＝logax在x∈(0，＋∞)上有三个不同的交点，故作函数f(x)与y＝logax在(0，＋∞)上的图象可得，loga3＜1，loga5＞1；故3＜a＜5. 二、填空题 13．某高中共有学生2 000名，各年级男、女生人数如下表，已知在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取________名学生． 女生 男生 高一 373 377 高二 m 370 高三 n p m解析：∵在全校学生中随机抽取1人，抽到高二年级女生的概率是0.19，∴＝0.19， 2 000即m＝380，则高一，高二的学生总数为373＋380＋377＋370＝1 500，则高三学生为2 000 17 －1500＝500，若用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则在高三年级应抽取＝16. 答案：16 500 ×642 000 14．如图为了测量A，C两点间的距离，选取同一平面上B，D两点，测出四边形ABCD的各边的长度(单位：km)：AB＝5，BC＝8，CD＝3，DA＝5，如图所示，且A、B、C、D四点共圆，则AC的长为________km. 解析：∵A、B、C、D四点共圆，圆内接四边形的对角和为π. ∴∠B＋∠D＝π，∴由余弦定理可得AC2＝52＋32－2·5·3·cos D＝34－30cos D，AC2＝52＋82－2·5·8·cos B＝89－80cos B，∵∠B＋∠D＝π，即cos B＝－cos D， 34－AC289－AC2∴－＝，∴可解得AC＝7. 3080答案：7 15．已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A，B两点，且△ABC为等边三角形，则实数a＝________． 解析：由题意可知圆的圆心为C(1，a)，半径r＝2，则圆心C到直线ax＋y－2＝0的距离d＝ |a＋a－2|a＋1 2 2＝ |2a－2|a＋1 2.∵△ABC为等边三角形，∴|AB|＝r＝2.又|AB|＝2r2－d2， ∴2 |2a－2|2 2－2＝2，即a2－8a＋1＝0，解得a＝4±15. a＋1 答案：4±15 16．设数列{an}满足：a1＝1，a2＝4，a4＝12，an＝an－1＋an－2－an－3(n＝4，5，…)，则 a2 016＝________． 解析：由an＝an－1＋an－2－an－3，得an＋1＝an＋an－1－an－2， 两式作和得：an＋1＝2an－1－an－3. 即an＋1＋an－3＝2an－1(n＝4，5，…)． ∴数列{an}的奇数项和偶数项均构成等差数列， ∵a2＝4，a4＝12，∴偶数项公差为8. 则a2 016＝a2＋8(1 008－1)＝4＋8×1 007＝8 060. 答案：8 06 选择题、填空题专项练(二) 一、选择题 18 1．(2015·贵州模拟)若集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，则集合B可能是( ) A．{1，2} B．{x|x≤1} C．{－1，0，1} D．R 解析：选A ∵集合A＝{x|x≥0}，且A∩B＝B，∴B⊆A，观察备选答案中的4个选项，只有{1，2}⊆A. 2．某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取了100根棉花纤维的长度(棉花纤维的长度是棉花质量的重要指标)，所得数据都在区间[5，40]中，其频率分布直方图如图所示．从抽样的100根棉花纤维中任意抽取一根，则其棉花纤维的长度小于20 mm的概率是( ) 3233A. B. C. D. 10585 解析：选A 由图可知，棉花纤维的长度小于20 mm的概率为(0.01＋0.01＋0.04)×5＝0.3. 3．下列命题中为真命题的是( ) 1A．若x≠0，则x＋≥2 x B．命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1 C．“a＝1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件 D．若命题p：∃x∈R，x2－x＋1＜0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1＞0 1 解析：选B 对于A，x＞0，利用基本不等式，可得x＋≥2，故不正确； x 对于B，命题：若x2＝1，则x＝1或x＝－1的逆否命题为：若x≠1且x≠－1，则x2≠1，正确； 对于C，“a＝±1”是“直线x－ay＝0与直线x＋ay＝0互相垂直”的充要条件，故不正确； 对于D，命题p：∃x∈R，x2－x＋1＜0，则綈p：∀x∈R，x2－x＋1≥0，故不正确． 11 4．已知a＝3，b＝log1，c＝log2，则( ) 233 A．a＞b＞c B．b＞c＞a C．c＞b＞a D．b＞a＞c 11 解析：选A a＝3＝3＞1，b＝log1∈(0，1)，c＝log2＜0，∴a＞b＞c. 233 19 1 212 a2－a1 5．已知－2，a1，a2，－8成等差数列，－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，则等 b2 于( ) 11111A. B. C.－ D.或－ 42222解析：选B ∵－2，a1，a2，－8成等差数列， －8－（－2）∴a2－a1＝＝－2， 3 2 又∵－2，b1，b2，b3，－8成等比数列，∴b2＝(－2)×(－8)＝16，解得b2＝±4，又b21＝ －2b2，∴b2＝－4， ∴ a2－a1－21 ＝＝. b2－42 2 2 y2 6．抛物线y＝8x的焦点到双曲线x－＝1的一条渐近线的距离为( ) 3A．1 B．2 C.3 D．23 y2 解析：选C 抛物线y＝8x的焦点为(2，0)，双曲线x－＝1的一条渐近线为y＝3x， 3 2 2 则焦点到渐近线的距离为d＝ |23| ＝3. 3＋1 7．若某程序框图如图所示，则输出的p的值是( ) A．22 B．27 C．31 D．56 解析：选C 第一次运行得：n＝0，p＝1，不满足p＞20，则继续运行；第二次运行得：n＝－1，p＝2，不满足p＞20，则继续运行；第三次运行得：n＝－2，p＝6，不满足p＞20，则继续运行；第四次运行得：n＝－3，p＝15，不满足p＞20，则继续运行；第五次运行得：n＝－4，p＝31，满足p＞20，则停止运行．输出p＝31. 8．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为( ) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 20 解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理，得sin Bcos C＋cos Bsin C＝sin2A，有π sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sin A＝sin2A，解得sin A＝1，∴A＝. 2 x≥1， 9．已知x，y满足约束条件x＋y≤3，若z＝2x＋y的最小值为1，则a的值是( ) ay≥x－3，1 A．4 B. C．1 D．2 2解析：选D x≥1， 由约束条件x＋y≤3，作出可行域如图， ay≥x－3 x＝1，21，－联立解得即A，化z＝2x＋y，得y＝－2x＋z， 2aay＝x－3，y＝－， a 由图可知，当直线y＝－2x＋z过点A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为2×12 －＝1，解得a＝2. a 10．在直角坐标系中，A(4，0)，B(0，4)，从点P(2，0)射出的光线经直线AB反射后，再射到直线OB上，最后经直线OB反射后又回到P点，则光线所经过的路程是( ) A．210 B．6 C．33 D．25 x＝1， 解析：选A 如图，设点P关于直线AB，y轴的对称点分别为D，C，易求得D(4，2)，C(－2，0)，则△PMN周长＝|PM|＋|MN|＋|PN|＝|DM|＋|MN|＋|NC|.由对称性，D，M，N，C共线，∴|CD|即为所求，由两点间距离公式得|CD|＝40＝210. 21 π 11．(2015·郑州模拟)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，|φ|＜)的部分图象如图所示，则 2π x＋取得最小值时x的集合为( ) y＝f6π A．{x|x＝kπ－，k∈Z} 6π B．{x|x＝kπ－，k∈Z} 3π C．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 6π D．{x|x＝2kπ－，k∈Z} 3 T7πππ 解析：选B 由图可知，＝－＝，则T＝π. 412342π∴ω＝＝2. π ππ 由五点作图的第二点知，2×＋φ＝， 32π ∴φ＝－. 6π2x－. ∴f(x)＝sin6 ππππx＋＝sin2x＋6－＝sin2x＋. 则y＝f666 πππ 由2x＋＝－＋2kπ，得：x＝kπ－，k∈Z. 623 ππ x＋取得最小值时x的集合为{x|x＝kπ－，k∈Z}． ∴y＝f63 x2y2 12．(2015·西安模拟)在平面直角坐标系xOy中，以椭圆2＋2＝1(a＞b＞0)上的一点A ab为圆心的圆与x轴相切于椭圆的一个焦点，与y轴相交于B，C两点，若△ABC是锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是( ) A.C. 5－16－26－2 B.， 222，1 5－15－1 D. ，10， 22 解析：选A 如图所示， 22 2bb4b2设椭圆的右焦点F(c，0)，代入椭圆的标准方程可得：y＝2，取y＝，Ac，a. aa 2 ∵△ABC是锐角三角形，过点A作AD⊥y轴于点D， b2c ∴∠BAD＜45°，AB＝AF＝，cos∠BAD＝2， ab a 2 e＋2e－1>0，2c ∴<2<1，化为2 2be＋e－1<0，a 解得6－25－1 13．(2015·兰州模拟)如图，在6×6的方格纸中，若起点和终点均在格点的向量a，b，cx 满足c＝xa＋yb(x，y∈R)，则＝________． y 解析：将向量a，b，c放入坐标系中，则向量a＝(1，2)，b＝(2，－1)，c＝(3，4)，∵c x＝5，x11x＋2y＝3， ＝xa＋yb，∴(3，4)＝x(1，2)＋y(2，－1)，即解得则＝. y222x－y＝4， y＝5，11答案： 2 14．(2015·泰安模拟)直三棱柱ABC-A1B1C1的顶点在同一个球面上，AB＝3，AC＝4，AA1＝26，∠BAC＝90°，则球的表面积为________． 11 解析：如图，由于∠BAC＝90°，连接上下底面外心PQ，O为PQ的中点，OP⊥平面 23 ABC，则球的半径为OB，由题意，AB＝3，AC＝4，∠BAC＝90°，所以BC＝5，因为AA1＝26，所以OP＝6，所以OB＝答案：49π 12 15．(2015·沈阳模拟)已知正实数a，b满足＋＝3，则(a＋1)(b＋2)的最小值是________． ab12 解析：∵正实数a，b满足＋＝3，∴3≥2ab 1284 ·，化为ab≥，当且仅当b＝2a＝时取ab93 257 6＋＝，所以球的表面积为：4π×OB2＝49π. 42 3250 等号．b＋2a＝3ab.∴(a＋1)(b＋2)＝ab＋b＋2a＋2＝4ab＋2≥＋2＝. 99 50 答案： 9 log2（x＋1），x>0， 16．已知函数f(x)＝2若函数g(x)＝f(x)－m有3个零点，则实数m －x－2x，x≤0， 的取值范围是________． 解析：函数f(x)的图象如图所示，函数f(x)＝－x2－2x(x≤0)的最大值是1，故只要0 选择题、填空题专项练(三) 一、选择题 1．已知集合A＝{x|x2－2x－3＞0}，集合B＝Z，则(∁RA)∩B＝( ) A．{－3，－2，－1，0，1} B．{－1，0，1，2，3} C．{0，1，2} D．{－2，－1，0} 解析：选B 由x2－2x－3＞0得x＜－1或x＞3，则集合A＝{x|x＜－1或x＞3}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤3}，又B＝Z，则(∁RA)∩B＝{－1，0，1，2，3}． 1－i 2．设i是虚数单位，复数z＝1＋为( ) 1＋iA．1＋i B．1－i C．－1＋i D．－1－i （1－i）2－2i 解析：选B z＝1＋＝1＋＝1－i. 2（1＋i）（1－i）3．命题p：“∃x∈R，x2＋1＜2x”的否定綈p为( ) A．∀x∈R，x2＋1＞2x B．∃x∈R，x2＋1≥2x 24 C．∀x∈R，x2＋1≥2x D．∀x∈R，x2＋1＜2x 解析：选C 因为特称命题的否定是全称命题，所以，命题p：“∃x∈R，x2＋1＜2x”的否定綈p为：∀x∈R，x2＋1≥2x. 4．函数f(x)＝ 1 的定义域为( ) （log2x）2－1 1A.2，2 B．(0，＋∞) 1 0，∪(2，＋∞) C．(0，1)∪(1，＋∞) D.2解析：选D 由函数定义可知，(log2x)2－1>0，且x>0，所以(log2x)2>1，log2x>1或log2x<1 －1，解得0 2 ππ 2x－的图象重合，则y＝f(x)5．函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后与函数y＝cos26的解析式为( ) ππ 2x－ B．y＝cos2x＋ A．y＝cos26ππ2x＋ D．y＝sin2x－ C．y＝sin36 ππ 2x－＝sin 2x的图象向左平移个单位后，解析：选C 由题意可得，把函数y＝cos26ππ x＋＝sin2x＋的图象． 可得函数y＝f(x)＝sin 236 6．执行如图所示的程序框图，若输出的b的值为4，则图中判断框内①处应填( ) A．2 B．3 C．4 D．5 解析：选A 当a＝1时，b＝1不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b＝2，a＝2；当a＝2时，b＝2不满足输出条件，故应执行循环体，执行完循环体后，b＝4，a＝3；当a＝3时，b＝4满足输出条件，故应退出循环，故判断框内①处应填a≤2. 7．已知{an}为正项等比数列，Sn是它的前n项和．若a1＝16，且a4与a7的等差中项为9 ，则S5的值( ) 8 25 A．29 B．31 C．33 D．35 解析：选B 设正项等比数列的公比为q，则a4＝16q3，a7＝16q6，a4与a7的等差中项a1（1－q5）999136 为，即有a4＋a7＝，即16q＋16q＝，解得q＝(负值舍去)，则有S5＝＝84421－q 1－1516×2 11－2 ＝31. 8．已知四棱锥P-ABCD的三视图如图所示，则此四棱锥的侧面积为( ) A．6＋45 B．9＋25 C．12＋25 D．20＋25 解析：选C 根据几何体的三视图，得该几何体是底面为矩形，一侧面PCD垂直于底面ABCD的四棱锥，如图所示， ∴该四棱锥的侧面积为 S＝S△PCD＋2S△PBC＋S△PAB 111＝×4×32－22＋2××3×2＋×4×32＋22－22＝25＋12. 222 9．已知点P在抛物线x2＝4y上，那么点P到点M(－1，2)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为( ) 111， B.－1， A.44C. (－1，2) D. (1，2) 解析：选B 抛物线x2＝4y的焦点F的坐标为F(0，1)，准线方程为y＝－1，过点P作PQ⊥l，垂足为Q，连接FP，则|PQ|＝|FP|.故当MQ∥y轴时，|PM|＋|PF|取得最小值|QM|11 －1，. ＝2－(－1)＝3.设点P(－1，y)，代入抛物线方程(－1)2＝4y，解得y＝，∴P44 26 10．连续掷一正方体骰子(各面的点数分别为1，2，3，4，5，6)两次得到的点数分别为m、n，作向量a＝(m，n)，若b＝(1，－1)，则a与b的夹角成为直角三角形内角的概率是( ) 5757 A. B. C. D. 9121210 解析：选B 由题意可得m、n均取自1到6，故向量a有6×6＝36种取法，由cos〈a，b〉＝ π 且0<〈a，b〉≤，则m≥n，列举可得这样的(m，n)为(1，1)，(2，1)，(2， 22·m2＋n2m－n 2)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，5)，(6，1)，(6，2)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)． 217 共有1＋2＋3＋4＋5＋6＝21(个)，故所求的概率P＝＝. 3612 2x＋2y≥1， 11．若x，y满足约束条件x≥y，且向量a＝(3，2)，b＝(x，y)，则a·b的取值范 2x－y≤1，围为( ) 57 ，5 B.，5 A.4257 ，4 D.，4 C.42解析：选A ∵向量a＝(3，2)，b＝(x，y)，∴a·b＝3x＋2y，设z＝3x＋2y，作出不等式组对应的平3z3z 面区域如图：由z＝3x＋2y，则y＝－x＋，平移直线y＝－x＋，由图象可知当直线y＝ 2222 x＝y，x＝1，3z3z －x＋，经过点B时，直线y＝－x＋的截距最大，此时z最大，由解得22222x－y＝1，y＝1， 即B(1，1)，此时zmax＝3×1＋2×1＝5， x＝4，x＝y，3z 经过点A时，直线y＝－x＋的截距最小，此时z最小，由解得2212x＋2y＝1， y＝4， 11即A4，4， 27 1 1155 此时zmin＝3×＋2×＝，则≤z≤5. 4444 12．定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)．当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1，3)时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝( ) A．336 B．355 C．1 676 D．2 015 解析：选A 定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，可得函数的周期为6，当x∈[－3，－1)时，f(x)＝－(x＋2)2，当x∈[－1，3)时，f(x)＝x，f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－1，f(4)＝f(－2)＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，2 016＝6×336，f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2 016)＝336×[f(1)＋f(2)＋…＋f(6)]＝336×(1＋2－1＋0－1＋0)＝336. 二、填空题 π α＋＝________． 13．若点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，则tan4 π α＋解析：∵点P(cos α，sin α)在直线y＝－2x上，∴sin α＝－2cos α，tan α＝－2.∴tan4tan α＋11 ＝＝－. 31－tan α 1 答案：－ 3 14．定义：曲线C上的点到直线l的距离的最小值称为曲线C到直线l的距离．已知曲线C1：y＝x2＋a到直线l：y＝x的距离等于曲线C2：x2＋(y＋4)2＝2到直线l：y＝x的距离，则实数a＝________． |0＋4| 解析：曲线C2是圆心为(0，－4)，半径r＝2的圆，圆心到直线l：y＝x的距离d1＝ 2＝22，所以曲线C2到直线l的距离为d1－r＝2.设曲线C1上的点(x0，y0)到直线l：y＝x的距离最短为d，则过(x0，y0)的切线平行于直线y＝x.已知函数y＝x2＋a，则y′|x＝x0＝2x011 ＝1，即x0＝，y0＝＋a，点(x0，y0)到直线l：y＝x的距离d＝24 1－1＋a1－a 244 2 ＝ 2 ，由 题意知 1－a4 797 ＝2，所以a＝－或a＝.当a＝－时，直线l与曲线C1相交，不合题意， 4442 故舍去． 9 答案： 4 15．已知非零向量a，b满足|b|＝1，a与b－a的夹角为120°，则|a|的取值范围是________． 28 解析：设＝a，＝b，如图所示：则由＝－，又∵a与b－a的夹角为 120°，∴∠ABC＝60°，又由| 23∴|a|∈0，. 323答案：0， 3 |a||b|2323|＝|b|＝1，由正弦定理＝得|a|＝sin C≤， sin Csin 60°33 16．已知函数f(x)＝ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则实数m的取值范围是________． 解析：函数f(x)的导数f′(x)＝ex－m，若曲线C存在与直线y＝ex垂直的切线，则切线斜1111 率k＝ex－m，满足(ex－m)e＝－1，即ex－m＝－有解，即m＝ex＋有解，∵ex＋＞，∴m eeee1 ＞. e 1 ，＋∞ 答案：e 选择题、填空题专项练(四) 一、选择题 1．若复数z满足z＋|z|＝1＋2i，则z的虚部为( ) A．2i B．1 C．2 D．i 解析：选C 设z＝a＋bi(a，b∈R)，代入z＋|z|＝1＋2i，得：a＋bi＋a2＋b2＝1＋2i， a＋a2＋b2＝1， ∴∴z的虚部为2. b＝2， 2．已知集合A＝{x|0 A．－1＜x＜0 B．－2＜x＜1 C．2＜x＜0 D．0＜x＜1 解析：选A ∵a＞1，∴由f(x)＜1得ax2＋2x＜1，即x2＋2x＜0，解得－2＜x＜0，即f(x)＜1的等价条件是－2＜x＜0，则使f(x)＜1成立的一个充分不必要条件是－1＜x＜0. 55Sn4．(2015·岳阳模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，则24an ＝( ) A．4n1 B．4n－1 C．2n1 D．2n－1 － － 29 55 解析：选D ∵等比数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a3＝，a2＋a4＝，∴两式相除 2411可得公比q＝，∴a1＝2，∴an＝2·22 n－1 1 1－n2211Sn＝n－2，Sn＝＝41－2n，∴＝2n－1. 1an2 1－2 ππ6x＋的图象上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移个单5．将函数y＝sin48位，得到的函数的一个对称中心是( ) ππ ，0 B.，0 A.169ππ ，0 D.，0 C.42 π1 2x＋(x系数变为原来的)，解析：选D 横坐标伸长到原来的3倍则函数变为y＝sin43πππ x－＋＝sin 2x；考察选项不难发现函数的图象向右平移个单位，则函数变为y＝sin2884π，0就是函数的一个对称中心坐标． 2 x2y2 6．已知双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，一条渐近线为l，抛物线C2： aby2＝4x的焦点为F，点P为直线l与抛物线C2异于原点的交点，则|PF|＝( ) A．2 B．3 C．4 D．5 x2y2 解析：选D ∵双曲线C1：2－2＝1(a＞0，b＞0)的离心率为2，∴a＝b，∴一条渐 ab近线为l：y＝x，代入抛物线C2：y2＝4x可得P(4，4)，∵抛物线C2：y2＝4x的焦点为F(1，0)，∴|PF|＝（4－1）2＋42＝5. 7．若向量a，b满足|a|＝1，|b|＝2且|2a＋b|＝23，则向量a，b的夹角为( ) πππ2πA. B. C. D. 6323 解析：选B 设向量a，b的夹角为θ，∵|a|＝1，|b|＝2且|2a＋b|＝23，∴4a2＋4a·b1π＋b2＝12，代入数据可得4＋4×1×2×cos θ＋4＝12，解得cos θ＝，∴θ＝. 23 12 8．若直线ax＋by－1＝0(a，b∈(0，＋∞))平分圆x2＋y2－2x－2y－2＝0，则＋的最小ab值为( ) A．42 B．3＋22 C．2 D．5 解析：选B 圆方程化为(x－1)2＋(y－1)2＝4，圆心坐标为(1，1)，因为直线平分圆，所 30 12121＋2(a＋b)＝3＋b＋2a≥3＋2＋×以它必过圆心，因此a＋b＝1，故＋＝1＝abababab3＋22. b2a×＝ab 9．一只蚂蚁从正方体ABCD-A1B1C1D1的顶点A处出发，经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，则下列图形中可以表示正方体及蚂蚁最短爬行路线的正视图是( ) A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 解析：选C 由点A经正方体的表面，按最短路线爬行到达顶点C1位置，共有6种展开方式，若把平面ABB1A1和平面BCC1B1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过BB1的中点，故此时的正视图为②.若把平面ABCD和平面CDD1C1展到同一个平面内，在矩形中连接AC1会经过CD的中点，此时正视图会是④.其他几种展开方式对应的正视图在题中没有出现或者已在②④中了，故选C. 10．已知点A(－1，0)，B(1，0)及抛物线y2＝2x，若抛物线上的点P满足|PA|＝m|PB|，则m的最大值为( ) A．3 B．2 C.3 D.2 22 y＋1＋y2422222yy＋4＋8y|PA|8y2解析：选C 设P2，y，由题意可得m＝|PB|2＝y222＝y4＋4＝1＋y4＋42－1＋y 8y22 ≤1＋4＝3，∴m≤3，当且仅当y＝2时，等号成立． 24y 3 x＋，f(2 015)＝2，则f(－11．(2015·沈阳模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(－x)＝f22)＋f(－3)＝( ) A．－1 B．1 C．－2 D．2 3 解析：选C 由f(x)为奇函数可得f(－x)＝－f(x)，再由条件可得－f(x)＝f2＋x，所以，333 ＋x＝－fx＋＝f(x)，则函数f(x)的最小正周期是3，f(2 015)＝f(3×f(3＋x)＝f2＋671＋22 2)＝f(2)＝2，即有f(－2)＝－f(2)＝－2，f(－3)＝f(0)＝0，则f(－2)＋f(－3)＝－2. x1－ 12．已知函数f(x)＝ln＋，g(x)＝ex2，对于∀a∈R，∃b∈(0，＋∞)使得g(a)＝f(b)成 22立，则b－a的最小值为( ) A．ln 2 B．－ln 2 C．2e－3 D．e2－3 b11－ 解析：选A 不妨设g(a)＝f(b)＝m，∴ea2＝ln＋＝m，∴a－2＝ln m，b＝2·em－， 222 31 1 故b－a＝2·em－－ln m－2，(m＞0)． 2 111 令h(m)＝2·em－－ln m－2，h′(m)＝2·em－－，易知h′(m)在(0，＋∞)上是增函数， 22m111 且h′＝0，故h(m)＝2·em－－ln m－2在m＝处有最小值，即b－a的最小值为ln 2. 222 二、填空题 13．(2015·兰州模拟)现在所有旅客购买火车票必须实行实名制，据不完全统计共有28种有效证件可用于窗口的实名购票，常用的有效证件有：身份证，户口簿，军人证，教师证等，对2015年春运期间120名购票的旅客进行调查后得到下表： 购买火车票方式 旅客人数 身份证 a 户口簿 6 军人证 8 教师证 b 其他证件 19 已知a－b＝57，则使用教师证购票的旅客的频率大约为________． 解析：由表格知，a＋b＝120－6－8－19＝87，∵a－b＝57，∴a＝72，b＝15.则使用教15 师证购票的旅客的频率大约为＝0.125. 120 答案：0.125 14．给出一个如图所示的流程图，若要使输入的x值与输出的y值相等，则这样的x值的集合为________． 解析：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的 x2，x≤2， 作用是计算分段函数 2x－3，2 x，x>5 2 x>5， 1解得x＝0，或x＝1，或x＝3. ＝x，x 答案：{0，1，3} 32 y≤2x， 15．若变量x，y满足约束条件x＋y≤1，则目标函数z＝x＋2y的最大值为________． y≥－1， y≤2x， 解析：作出不等式组x＋y≤1，表示的平面区域，得到如图的△ABC及其内部，其中 y≥－1，121 ，，B－，－1，C(2，－1)． A332 5将直线l：z＝x＋2y进行平移，当l经过点A时，目标函数z达到最大值，∴z最大值＝. 35答案： 3 16．△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－c2＝2b，且sin B＝6cos A·sin C，则b的值为________． b2＋c2－a2解析：由sin B＝6cos A·sin C可得b＝6··c，所以b2＝3(b2＋c2－a2)．又由a2 2bc－c2＝2b，化简得b2－3b＝0，b＝3或b＝0(舍去)． 答案：3 33 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容