高一数学 第1章《集合与简易逻辑》单元测试题

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．已知集合A＝｛（x,y）|x+y=4｝,B=｛（x,y）|x+y=1｝，则A、B的关系为（ ） A.AB B. A2

2

2

2

B C. BA D. A∩B=

答案：D. 解：因为集合A、B都是以原点为圆心的圆，其半径分别为2、1（注意：圆是曲线，不包括其内部），∴A∩B=Φ.

评析：本题易错选C.主要是由于韦恩图的干扰. 2. 已知集合M=直线，N圆，则MN的元素个数为（ ）

A. 0 B. 1或2 C. 0或1或2 D. 不确定

答案：A . 解：∵没有既是直线又是圆的图形，∴MN.

评析：本题易错选C.认为直线与圆的交点个数为0或1或2 . 3.

对

于

以

下

集

合

与

集

合

的

关

系

：

,,,0,0,0.其中正确关系的个数为（ ）

A.3 B. 4 C. 5 D. 6 答案：D.解：以上六个关系都正确的.本题易错选C，认为是错误的. 4. 若A4,5,6,B1,2,3,则集合AB中的所有元素之和为( )

A. 15 B. 14 C. 27 D. -14 答案：A. 解：∵AB＝1,2,3,4,5，∴AB中的所有元素之和为15，故选A.

1135. 若集合Ayyx,1x1,Byy2,0x1，则CBA等于( )

x A.(,1] B. ,1 C. D.{1}

答案：B. 解：因为A1,1,B,1，所以CBA,1故选B. 6．若A、B、C为三个集合，ABBC，则一定有（ ）

A.AC B.CA C.AC D. A 答案：A. 解：由ABBC知，ABB,ABC,ABC，故AC.

7、有限集合S中元素个数记作cardS，设A、B都为有限集合，给出下列命题： ①AB的充要条件是cardAB= cardA+ cardB； ②AB的必要条件是cardAcardB； ③AB的充分条件是cardAcardB； ④AB的充要条件是cardAcardB.

其中真命题的序号是（ ）

A. ③、④ B. ①、② C. ①、④ D. ②、③

答案：B解：由cardAB= cardA+ cardB+ cardAcardA+ cardBcardAB知cardAB=

B=0AB，故①正确；由AB的定义知

cardAcardB，故②正确；若cardAcardB，AB亦可能成立，故③不正确；④显然不正确.

8.已知集合Ax|个是（ ）

A. A10,Bx|2x5，则

x27x10UA,B的关系最恰当的一

B B. AB C.A＝B D. BA

答案：C. 解：

1222Ax|0或x7x10 = 0＝x|x7x100或x7x10＝0=U2x7x102｛x|x7x100｝＝x|2x5＝B，故选C.

评析：本题易错选A，原因是认为

U1Ax|20.

x7x109.已知集合A=x|x23x100 、B=x|m1x2m1分别为函数f(x)的定义域和值域，且BA, 则实数m的取值范围是（ ）

A. ,3 B. 2,　3 C.

3,3 D.3,

答案：B.解：∵集合A、B分别为函数fx的定义域和值域，∴A、B. ∵A=

2 , 5,

再由BA且B，知m12m1，即m2；又

2m1m33. 故选B. 3m3.综上，知m2,　2m15m3 评析：本题易错选C，原因是忽视了B的条件.

10.（理科）若关于x的不等式x2x1a的解集为，则a的取值范围是（ ） A.3, B.3, C.,3 D. ,3 答案：C.解：因为x2x1表示数轴上坐标为－2,1的两点这间的距离，所以x2x13，因此要使不等式无解，只需a3，故选C.

（文科）若不等式a2x22a2x40对一切xR恒成立，则a的取值范围是（ ） A. ,2 B. 2,2 C. 2,2 D. ,2 答案：C.解：当a2时不等式显然成立；当a2时故选C.

评析：本题易错选B，原因是丢掉了a2的情况.

11.（理科）已知不等式ax2bxc0a0的解集为{xx,0}，则

2不等式cxbxa0的解集为（ ）

a2,2a2.所以2a2，0,A. x|x1或x111 B. x|x C. x|x1或x111 D. x|x 11x},那么不等式54（文科）若二次不等式ax2bxc0的解集是{x2cx22bxa0的解集是 （ ）

11A.{x|x< -10或x > 1} B.{x|－< x <} C.{x|4< x <5} D.{x|-5<

45x < -4}

（理科）答案：A. 解：易知a0，所以

bc,,且c0，所以aacx2bxa0即x2ba11a11b11,,又，x0，所以cccc所以cx2bxa0的解集为x|x1或x1，故选A. bb911b9,54caa20（文科）答案：A. 解：易知a0，且又由a011cc1a10,54a2ca20知c0，所以2cx22bxa0即x212. （理科）设集合I=a1,a2,bax0，所以x10x10，故选A. c2c,an，若集合A、B满足A∪B=I，则称(A,B)为集合I

的一种分拆，并规定：当且仅当A=B时，(A,B)与(B,A)为集合I的同一种分拆.则集合I的不同分拆的种数为（ ）

A. 3n B. 2 C. 3n1 D. 2（文科）若(a1,a2,mnn1

,amB)a1,a2,m

nm,am,am1,,an,则B的个数为（ ）

nmA. 3 B. 2 C. 3 D. 2

I A Ⅱ Ⅲ B （理科）答案：A.解：如图，满足题意的集合A、B的组数＝A∪B中所有的元素进入区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的方法数＝3n，故选A.

（文科）答案：B.解：集合B除了要有元素am1,am2素a1,a2,,an这nm个元素外，还需有元

,am这m个元素中的１个或２个或…或m个，所以集合B的个数为

mCm2m，故选B.

012CmCmCm二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13.

命

题

“

若

xy0，则x0或y0”的逆否命题

是 .

答案：若x0且y0，则xy0.

14.已知集合A=1,a,b，集合B={a, a,ab}，若A=B，则实数b2008a2009 .

2

1abaa2ab,答案：1. 解：∵A=B，∴21abaaab,a1,b0.因此b2008a20091.

由a0,a1及a2a10，知

15. 设f:xx2x0是集合A到集合B的映射，如果B＝1,2，则AB＝ . 解：∵集合A中的每一个元素在集合B中都有惟一的象，但B中的元素未必都有原象，∴CB.再由映射的定义，知A=1或

16. （理科）对于以下命题： （1）若(a1,a2,2或１，2，故A,am,am1,１B＝或.

,amB)a1,a2,,an,则B的个数为2nm；

（2）设命题p：“对一切实数x，x22x30”，则非p是 “ 对一切实数x，

x234x30 ”；

（3）已知p,q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件,则r是q的必要条件 ；

（4）若A表示满足条件p的集合，B表示满足条件q的集合，则“p是q的充分不必要条件“A

B”.

其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上）.

（文科）对于以下命题：

（1）含有n个元素的集合，其子集的个数为2；

（2）对于命题“矩形的对角线相等”，其否命题是“不是矩形的四边形对角线不相等”； （3）已知命题A、B、C，若非A是非B的充分条件，B是C的必要条件，则A是C的必要条件；

（4）若A表示满足条件p的集合，B表示满足条件q的集合，则 “p是q的充分条件”

n

“AB”.

其中正确命题的序号是 （将所有正确命题的序号都填上）.

（理科）答案：（3），（4）.解：命题（1）的正确答案为2.事实上，集合B除了要有元素

n

am1,am2,an这nm个元素外，还需有元素a1,a2,,am这m个元素中的１个或２个或…

012或m个，所以集合B的个数为CmCmCmmCm2m；命题（2）的正确答案为“ 存

在一个实数x，x234x30 ”.

（文科）答案：（1）、（2）、（3）、（4）.

三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分）

已知三个非零实数a,b,c成等差数列，且ac，求证：,,不可能成等差数列. 证明：（反证法）假设,,成等差数列，则

111abc111abc211,即2acbac. bac又因为a,b,c成等差数列，所以2bac，所以2acac2ac，

2所以a2c22ac4ac,即ac0，所以ac，这与ac矛盾，

111故假设不成立，即,,不可能成等差数列.

abc18．（本小题满分12分）

已知p:方程x2mx10有两个不等的负实根；q:方程4x24m2x10无实根.若“p或q”为真，“p且q”为假，求m的取值范围.

m240,p:m22解：；q:16m21616m24m30. m0,因为“p或q”为真，“p且q”为假，所以p、q一真一假.

m2,m3； （1）若p真q假，则2m4m30,m24m30,（2）若q真p假，则1m2.

m2,综上所述，m的取值范围是m3或1m2.

19. （本小题满分12分）

设集合Ax|x24x0,xR,Bx|x22a1xa210,xR.若BA，求实数a的取值范围.

解：∵A4,0，又BA，所以B,或4，或0，或4,0. （1）当B时，4a14a218a80a1. （2）当B4时，0,且16－8a1+a210a.

21. （3）当B0时，0,且a210a＝－1. （4）当B4,0时，－4＝－2a1,且a210a＝综上所述，实数a的取值范围是a1或a1.

20. （本小题满分12分）

已知Ax|x22px10,xR,R ={正实数}，若A∩R=Φ,求实数p的取值范

+

围 .

解：（1）A=时，04p0；

（2）A时，∵方程无零根，∴两根均为负，∴综（1）（2）知，p4. 21. （本小题满分12分） （理科）设集合A{x2p00p0.

12x4}，Bxx23mx2m2m10. 32（1）当xZ时，求A的非空真子集的个数； （2）若B=，求m的取值范围； （3）若AB，求m的取值范围. （文科）解关于x的不等式

x1aaR. x1解：（理科）化简集合A=x2x5，集合Bx(xm1)(x2m1)0. （1）xZ,A2,1,0,1,2,3,4,5,即A中含有8个元素，A的非空真子集数为

282254个.

（2）显然只有当m-1=2m+1即m= －2时，B=. （3）①m= －2时，BA；

②当m<－2 时，2m1m12m0，所以B=2m1,m1,因此，要BA，

2m123则只要m6，所以m的值不存在；

2m15③当m>－2 时, B=（m-1,2m+1）,因此，要BA，则只要综上所述，知m的取值范围是：m=－2或1m2.

m121m2.

2m15（文科）因为

axa1x111a11aa00axa1x10，所x1x1x1x1以

a1x1； a（2）当a0时，x1；

（1）当a0时，

a1. aa1x1；综上所述，当a0时，解集为x|当a0时，解集为x|x1；当a0时，a（3）当a0时，x1或xa1解集为x|x1或x.

a22. （本小题满分14分）

（理科）对于函数f(x),若f(x)=x,则称x为f(x)的“不动点”，若f(f(x))x，则称x为f(x)的“稳定点”，函数f(x)的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为A和B，即

A{x|f(x)x}，B{x|f[f(x)]x}.

(1)求证：AB；

(2)若f(x)ax1(aR,xR)，且AB，求实数a的取值范围. （文科）已知集合A(x,y)|x2mxy20,xR，

2B(x,y)|xy10,0x2，若AB，求实数m的取值范围．

（理科）证明(1)：若A=φ，则AB 显然成立；

若A≠φ，设t∈A，则f(t)=t,f(f(t))=f(t)=t,即t∈B,从而 AB. 解(2)：A中的元素是方程f(x)=x 即ax21x的实根.

a01 由 A≠φ，知 a=0 或  即 a.

414a03422 B中元素是方程 a(ax1)1x 即 ax2axxa10的实根，

222由AB，知上方程左边含有一个因式axx1，

即方程可化为(axx1)(axaxa1)0，因此，

222要A=B，即要方程a2x2axa10 ①要么没有实根，要么实根是方程

ax2x10 ②的根.

若①没有实根，则2a4a(1a)0，由此解得 a

223； 4

若①有实根且①的实根是②的实根，则由②有 a2x2axa，代入①有 2ax+1=0.

1113,再代入②得 10,由此解得a. 2a4a2a4

13综上所述， a的取值范围是[,].

44由此解得 x2yxmx2在[0,2]上有解， （文科）原命题等价于方程组

yx1

即x(m1)x10在[0,2]上有解.

令f(x)x(m1)x1，则由f(0)1知抛物线yf(x)过点(0,1).因此： ①抛物线yf(x)在[0,2]上与x轴有且只有一个交点等价于

223f(2)222(m1)10，所以m.

2(m1)240,1m2,②抛物线yf(x)在[0,2]上与x轴有两个交点等价于0 22f(2)22(m1)10,解之得3m1. 2综上所述，实数m的取值范围为(,1]．