对一个三点共线问题的进一步探究

中学数学研究2019年第6期(a8 + 6s) +(7)设a,b,c是正实数，且abc = 1,证明：1 +a + b +1 +b + c + 1 +c + a' '我们看到不等式％\" + y\" N xm-lyl + xlym~l看似

] ] ] 一 1(68 + c8 ) + (c8 + a8 ) ] M *[ ( a6b2 + b6a2 ) + ( b6c2+ c6&2) + (c6 a2 + a6 c2 ) ] = a6甘 + C? * 胪.<2 + /

2+ 2简单，实则锐利.灵活地加以运用，可以又快又好的 解决一些看似高不可攀的数学难题.它的本质就是

2+ c6 ・-~] bo 工 abc(a5 + 沪 + c5) = a5 +b5 + c5.例4的一个直接推论就是《数学通报)2367号

排序不等式的初级形式，解题中有时也走了一点弯

路，比如例 4 中 a8 + b8 + c8 M abc(a5 + 护 + c5)的 证明用伙+广m xm~y + /广一‘来证有点繁琐，而在

问题.(5)设a,b,c是正实数，且必c = 1,证明：

a3 b3 c3a2 + b + c b2 + c + a c + a + b下面两个式子的证明和例4的证明方法完全相

排序不等式中它是一个显然的事实.参考文献[1]苏岳祥，杨续亮.一类条件为abc = 1型不等式的证法探

同，读者不妨尝试一下.究[J].中学数学教学,2018,1.[2 ]江保兵.活跃在各类试题中的平衡系数法[J].数学通讯

(6)设a,b,c是正实数，且abc = 1,证明：1 . 1 1 I1 + b3 + c3 1 + c3 + a3 J1 + a3 + b3(提 :v ]

1 + a3 + 63 〜1 + ab(a + 6)]

(上半月),2018,1.[3 ]罗增儒.数学解题学引论[M ].西安:陕西师范大学出版

二社,2008.[4 ]波利亚•怎样解题[M ].上海:上海教育出版社,2001.abc- -——)abc + ab{a + 6) c + a + b对一个三点共线问题的进一步探究湖南省浏阳市教育科学研究所

(410300) 朱保仓湖南省浏阳市长郡浏阳实验学校(410300) 李剖华文[1]对圆锥曲线中三点共线问题的解题策略

吗？ 一般椭圆是否都有类似的性质呢？进行了研究,读后受益非浅，特别是其中的例2引起 了笔者的思考与探究，现将笔者的心得体会与大家

探究一 注意到引例中的椭圆C中,b = 2,直线 y = kx + 4,即 y = kx +2b,直线 y = 1 即 y =交流分享.引例(文[1]例2)如图猜想1 如图2,已知椭

A1 已知曲线C-x + 2v2 - 8设曲线C与y轴的交点为点1(点A位于点B的上方)，J直线y = kx + 4与曲线C交于.一” ~”十圆 C：4 + 4 = l(a > 6 > 0) 少、//.4)X升oa bMd °短轴上顶点分别为4(0』)、BB(0, - b),直线 y = kx + 2b

与椭圆C交于不同两点MJV,

直线y = £与直线交于点G,则A、G、N三点共不同两点MJV,直线y = 1与直线交于点G,求证:A、

图1GJV三点共线.问题 题目中的结论是特定椭圆的特有性质2019年第6期中学数学研究31■y = kx + 26,证明：由久2

2 n&2%2 + a2 (+ 2b)2 -—a + 7Tb = 1a2 b2 = 0=>( 62 + a2 k2)x2 + 4a2 kbx + 3a262 = 0・设M(衍』1) ,N(%2』2)=愿1 +2b』2 =愿2

+ n26 L ，贝n.qt 街 + x2 = - p4 a2 kb 3ab —+- a k ，光i%2 - Ti2b2 金b —+' a k•①直线的方程为y + b = 7得\"府希’即°点坐标为(点

4G 二(2(；\"{ b)，~ 2~)，AN =(兀2』2 - b) ,T 4、G、

W 三点共线 o - *2二2(；t b)(力_ 0)7愿1久2

+ 36(%)+ x2) = 0.②将①代入②知②成立，所以A、G、N三点共线.

即猜想成立.探究2 上述结论中，直 线y =号与直线y = kx + 2b

是一组与椭圆短半轴b有关 的直线(一条定直线，另一条

M是过定点的动直线)，若将定 直线y =壬■换成直线y =图3yo(O 则与之相应的动直线会具有怎样的特征呢？考虑到

将动直线运动到与椭圆相切的位置(即M与N重合 于一点)，如图3,这时G、M、N三点重合于一点，该

点即为直线y = y0与椭圆的交点(％,九)，而椭圆在点(久o』o)处的切线方程为暂+菩二1,即y二a b-哑尹+

至此，得到如下猜想：Joa To

猜想2 如图4,已知椭

圆 C：耳 + W = l(a > 6 > 0)

a bx短轴上顶点分别为4(0,6)、

y=y0■8(0, - 6),直线 y = kx +/-(012 <1 yol y°

图4于不同两点M、N,则直线与直线y = y0的交点为G,则A、G、N三点共线.yf + 厶

2证明:\"nZ)2#2 + g2 (kx + —)2/忙’

y。a2b2 二 On(b2 +

+ 2 x + ° ? - a2b2 =To

To0.设.\"gQ,则…KX, 0 +——b2 ，„且饷 +

& Ikc^b_ To77茹2？\"曲a264 - a262yo(b2 + a2fc2)jo*直线的方程为y + b二21b衍

—X八得x伙+小】，即6的坐标为(—^,讥X + b ' +b芯(十一皿=(—)•:A、G、N 三点共线 <^>x2(y0 - 6)二\"％ 衍(%兀+ 6

b)0%2(Jo - b) (h + b) = %!(y0 + b) (y2 - 6)(2).注意到7i =愿i +

-愿2 + \"，将上式展To

Tov2 _ b2

开，整理 O -----Vo(% +%2)= 2kx1x2@.将①式代入易得③式成立，所以A、G、N三点

共线.探究3 将换成长轴上的两点，是否会有 类拟的结论呢？通过探究，可以得到如下结论：2 2如图5,图6,已知椭圆C：筈+告a b=l(a > 6 >y-Bi(：)O7mN图5

图60)长轴上的顶点分别为A(a,0)、B(- a,0),直线％=my + ^(02 < I x0 I < a)与椭圆C交于不同两点

兀0MJV,则直线与直线％二％的交点为G,则4、G、32中学数学研究2019年第6期N三点共线.证明过程与猜想2的证明过程类似，在此不再

探究[J].数学教学,2017(11):44-46.赘述.参考文献[1]刘亚利，张旭艳.圆锥曲线中三点共线问题的解题策略抛物线焦点分弦成定比的性质及应用福建省漳州市厦门大学附属实验中学(363123)张发斌由勾股定理得I CB'抛物线的焦点弦具有很多性质，在解题过程中 在ACBB'中灵活应用这些性质能简化运算，起到事半功倍的作 用.本文就抛物线的焦点分焦点弦成定比的性质及 其应用进行举例说明：bb' r当入入+1/A -r2你入一 1性质 过抛物线y =「丄孑 I CBf\\ 2A、…八1时怡締=「站=厂万；当°<入2px(p >0)焦点F的直线2交

抛物线于两点，且看=0*****护CB

~BB= 茗所以直线AP的斜率A — LA FB(A > 0 且 A # 1).贝Q(1)直线AB的斜率kAB

B例1

过抛物线長=4x的焦点F作斜率为舛=-^-；(2) \\ AF\\： \\ BF\\ :pA — 1的直线，交抛物线于两点，若石=A FB(A >图A：1:rr证明:设抛物线准线交％轴于F,分别过A/作 准线的垂线，垂足为A\\B',直线2交准线于C,如图1

1),则 A = (

A. 3

B.4

)•C.5

D.6解：由性质(1)：% =扌各=存，解得入=3.故选4.所示.不妨设丨 BF I = 1, I AF I = /I.则丨 BB' I = 1,

I止4'丨=入由ACBB'^ACAA',^以行右晋需例2 设抛物线y2 = 2px(p > 0)的焦点为F,过焦点且斜率为2Q的直线交拋物线于A、B两点,且\\ AB\\ =6.则拋物线的方程为_________.=I BBT 即 丨BC =I 4\"丨'即I BC丨+入入+ 1a - r十，得I BC

A解:根据性质(1):% =書 = 2Q,解得入=5—皿加,所以麗鸽爲A2,即石 =2FB.又因为= 6,所以IAFI = 4,BF\\ = 2.由性质(2) I AFI ：l BF\\ ：p = A：1 :尹yA + 1BB'\\ 艮&FFf I，即入+入—廿，得 P =' FF‘得P = y-所以拋物线的方程为y2 =学皿-^-7.所以 I AFI ：丨 BFI ：p =入：1 :尹A + 1 A +例3 已知4』是过抛物线犷=2px(p >0)的 焦点F的直线与拋物线的交点，F是坐标原点，且满