数学符号的简单历史

数学符号的简单历史

洪伟龙

（汕头职业技术学院广东汕头515041）

摘　要：本文从数字符号、代数符号、微积分、集合论和数理逻辑符号的发展历史，勾画出整个数学符号的发展历史。关键词：数学符号；数字符号；代数符号；微积分符号；集合论和逻辑符号中图分类号：O119文献标识码：A文章编号：1008-6757（2011）01-0056-03

符号是某种事物的代号，是采用一一对应的方式，把一个

复杂的事物用简便的形式表现出来。承担这种功能的事物称为符号。数学符号是表示数学概念、数学关系的符号和记号。数学是一个符号化的世界，使用数学符号是数学史的一件大事，符号和公式的制定是人类的伟大成就。数学史表明，数学符号对数学的发展产生巨大的影响。当有一套适合表达和推理的符号体系时，数学就在方法论的作用下迅速向前发展；而缺乏一套适合的符号时，数学发展就受到阻碍。数学符号的历史悠久，可以说数学符号是与数学同时产生的。数学中最早的概念是自然数的概念，最早出现的符号是数字符号，但整个数学符号体系的产生却只有四百多年的历史。本文着重论述数字符号、代数符号、微积分符号、集合论和数理逻辑的符号的发展历史。

一、数字符号的历史

数字的产生是社会进步的结果，它的记载、使用和传播受到各种文化因素的影响，并不断地得到发展和改进。世界各民族由于各地自然环境和社会环境和社会条件不同，产生了不同的记数法和不同的数字符号。

现存最早实物的数字是古代巴比伦泥版上的数目符号，大约产生于公元前三四千年。这些泥版是在胶泥还软的时候刻上字，然后晒干制成的。古巴比伦人用一种段面呈三角形的比斜刻泥版，在版上按不同方向刻出楔形刻痕，因此叫楔形文字。通过对这一些楔形文字的研究揭示了一个远较古埃及人先进的巴比伦人早期数学文化，楔形符号“”示一，用“”表示十。用大的“

”表示六十他们的整数

写法如下：

123456789101112205060例如59记为

，

巴比伦数字是以60为基底，并采用进位记号。

中国古代的数字体系是十进位的位值制，甲骨文是三千多年前的殷代文字。后来周代的金文或钟鼎文，以及汉朝的数字符号略有改变，但变化不大。十个数目字型如下：

甲骨文：汉朝文：

在代文：一二三四五六七八九十

古埃及人创造了一套从一到一千万的有趣的象形数字记

号。1是垂直的木棒，10是弯曲的工具，102是测量的绳子，10

3

是莲花的叶子，104是手指头，105是一只鸟，106

是坐着举起双

手，表示受惊的人，107

是刚出地平线的太阳。

收稿日期：2010-12-24

作者简介：洪伟龙（1962-），男，广东汕头人，从事数学教学工作。

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1234567891010210310410510610

7

这套数字是以10为底，但不是进位制的。介于这些数字中间的各数由这些记号累加组成书写的方式由右向左。如1873，用古埃及的符号表示是：

欧洲在印度—阿拉伯数字输入之前使用的是罗马数字，这是一种非位值制的记数法，一个简单的数要写成长长的一串符号。罗马数字用Ⅰ、Ⅴ、Ⅹ、L、C、D、Μ分别表示1、5、10、50、100、500、1000。如3888要写成：

ΜΜΜDCCCLⅩⅩⅩⅤⅠⅠⅠ

这种笨拙的记数法在12世纪以前的欧洲很盛行，有的国家直到16世纪还在使用。罗马数字符号无论是表达还是运算都是非常复杂的。用它作加减法已经相当困难，会做乘除法就可以成为专家。

中美洲的玛雅人在公元前后发明了一种二十进位制数字体系，它是由点、短横杠加上数零的符号构成的。

玛雅数字中的零很像一只贝壳，其他数字符号也非常简明，使用起来也比较方便。

现在国际通用的阿拉伯数码“1，2，3，4，5，6，7，8，9，0”应该叫印度数码或印度—阿拉伯数码，因为这项发明属于印度人，阿拉伯人只是把这一些数码传入了西方，欧洲人就把这些数码叫阿拉伯数码。我们从这些数码的演变史可以得到说明。

最初，印度人用梵文，也就是印度古代文字的字头表示数码。公元前两千五百年左右印度河流域出现哈拉巴文化时期的数码：

12345678910100公元前二世纪出现卡罗什奇数码：

1

2

3

4

5

6

7

8

1020100

和公元初年的婆罗门数码：

Vol.26No.1洪伟龙：数学符号的简单历史2011年

这组数码出色的是它给1到9每个数都有单独的记号，但还没有零和进位记法。

印度数学在公元5—12世纪有较大的发展，这时的记数法中已有了数零的符号，并具备了十进位值制，其代表性的是8世纪出现的德温那格利数码：

1234567890

公元前2至8世纪之间，印度数码不断演变。773年，印度天文学家开始将印度的天文及数学书籍译成阿拉伯文，印度的数码传到中亚细亚。当时还没有印刷术，字体因人因地而异，出入很大，阿拉伯人也从各式数码中选取适当者用之，故有东西阿拉伯数码之别。

12世纪初，欧洲人大量地把阿拉伯文的数学书译成拉丁文。意大利著名学者斐波那契(1175—1250)在算盘书里将印度—阿拉伯数码和记数制介绍给欧洲。书一开头就说：“印度的九个数目字是9，8，7，6，5，4，3，2，1用这九个数字以及阿拉伯叫Sift(零)的记号0，任何数都可以表示出来。”当时这些数码的写法和现代的写法仍然差别很大。欧洲人只知道这些数码是从阿拉伯国家传来的，所以叫做阿拉伯数码。在欧洲，这些数码又经过演变。到了14世纪，中国的印刷术传入欧洲，在1480年英国的卡克斯敦出版社的印刷书本中，数码已接近现代的写法。到1522年，英国同斯托(1480—1559)的书才和现在的写法基本一致，以后逐渐固定下来。世界各国陆续采用这种数码。

由上可知，印度数码中的零号、十进位和位值制是逐步建立起来的，它的完善不仅对印度数学，而且对整个世界数学的发展起了极大的推动作用。

二、代数符号的历史

代数的一个主要特征是用符号代替文字的叙述。一套合适的符号，不仅起着速记节省时间的作用，而且能更精确、更深刻地表达数学概念、方法和逻辑关系。现代的数学符号和现代数码一样，是经过世界各民族共同努力，经过几千年不断的演变而逐渐形成的，我们以代数中的方程的符号为例。

在古代巴比伦的算术运算中，开始没有加法记号，把数字合在一起就表示相加。例如表示10+6=16，减法用记号

表示，如

表示40-3=37。在较晚期的天文学文件

中出现了tab这个字，它表示加法。

古代埃及也只有很少的几个记号。在三千六百年前的莱因特纸草书上，阿摩斯的加法和减法用一个人走近和走开的脚形和来表示，记号表示平方根。

公元3世纪左右，古希腊数学家丢番图在《算术》中使用字母表示未知数，还用专门的符号来记乘幂，二次幂记为，三次幂记为，四次幂记为，五次幂记为，六次幂记为，减号记为，系数用希腊数字表示，放在该幂的后方，表示常数项，所有的负项都写在正项的后面。如表示方程：

中国古代代数很发达，公元一世纪左右的《九章算术》中就有解联立一次方程组的方法。它是用算筹将未知量的系数及常数依次(自上至下，自右至左)排列成为一个长(方)阵，实际上就是分离系数法，然后用类似消元法去解方程组。

例如，方程组用算筹表示为图(1)：

宋、元的“天元术”，标志着古代中国的代数发展到顶峰。在天元术中，术语“立天元一”就是设未知数，以常数项为“太极”，在旁边记“太”字，的系数旁边记“元”字。李治用筹上加斜画表示负数。如方程：

，即可用下图(3)或(4)表示：

图(1)图(2)图(3)

对于多元方程，朱世杰创立了“四元术”，也是用算筹图来表示。方程

可表示成为下图的形式：

法国数学家韦达对数学符号作了很大的改进，他用辅音字母表示已知量，用元音字母表示未知量，还用字母表示一般的系数，并用一般公式表示出方程的根与系数关系的韦达定理。而笛卡儿是第一个提倡用x、y、z等表示未知数的，在《几何学》(1637年)中用

表示方程

这与现代的写法基本相似。从阿摩斯

到笛卡儿，经过三千多年的不断选择、演变和改进，终于在欧洲形成了现代数学符号。一些初等数学符号产生的日期见下表：

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2011年洪伟龙：数学符号的简单历史第26卷第1期

三、微积分符号的历史

17世纪产生了解析几何和微积分这两门新学科，数学进入了变量数学时期，产生了变量、函数与微积分有关的一系列符号。牛顿、莱布尼兹各自引进了导数、微分、积分等有关符号。牛顿的符号基本上被淘汰了，而莱布尼兹的符号简明、便利、深刻，一直使用到现在。

牛顿最早用点号表示导数，他用、、、表示变量，用表示对时间的导数，用表示对的导数，而莱布尼兹在1675年引入和表示和的微分，把导数记为，后来记为努利用

。莱布尼兹还用

表示二阶微分，1694年，约翰

贝

表示四阶微分，18世纪一度相当流行。直到1797

支，并从60年代以来获得迅速的发展。集合论在数学中占有独

特的地位，它的基本概念已渗透到数学的所有领域。按现代数学观点，数学各分支的研究对象或者本身是带有某种特定结构的集合群、环、拓扑空间，或者是可以通过集合来定义的。从这个意义来说，集合论是整个现代数学的基础。

数理逻辑是用数学方法研究逻辑的一个数学分支。所谓数学方法就是指数学采用的一般方法，包括使用符号和公式，使用已有的数学成果和方法，特别是使用形式的公理方法。

现在，集合论和数理逻辑的符号正在逐步向数学各领域发展和渗透。例如：

集合符号：A、B、C；

∈—属于∪—并∩—交—空集—包含T—真命题(真)F—假命题(假)—集合补集—合取—析取—推出

—集合直积

—命题的否定

年贝祖用表示，用表示的微分；1802年拉克鲁瓦用表示二阶微分，表示阶微分。用撇点表示导数的第一个人是拉格朗日(1797年)，他用表示对的一阶导数，、表示二阶和三阶导数。1823年柯西同时用和表示对的一阶导数。

积分符号来源于莱布尼兹，1675年他用“”表示的总和(积分)，是(所有，全部)的缩写。后来他又改写为，用表示所有的总和()。是字母S的拉长。在1694年至1695年间，莱布尼兹在后置一点号，如。1698年，约贝努利去掉了点号，后来发展为现代记法。定积分符号是傅立叶最先采用的，1822年在他名著《热的分析理论》中，用了

.同时，G普兰纳采用了符号：

，这一符号很快为数学界所接受，一直用到

现在。

在牛顿、莱布尼兹、贝努利等人的著作中就引入了偏导数的概念，但没有统一的专门的表示符号。1755年，欧拉用带括号的

表示P对的偏导数，当时应用很广。但在带幂指数时与

是表示

的平方，还是表示

的平

—具有性质P一切的集合—等价—全称量词

—存在量词

这些记号大体上是19世纪中叶以来，由意大利数学家皮亚诺引进的。这些符号使数学语言更简便，更便于推理。例如，关于函数一致连续的定义：“称为在区间上一致连续

”

这样的写法既简洁又容易构造所给性质的否定，只要通过改变量词与否定不等式即可：

“称为在区间上不一致连续”

近代数学的发展保持了这样一个特点：在引入一种新的数学概念和数学关系的同时，也引入表示它们的符号。现代数学更进一步，还把数学中所需要的一部分逻辑形式化，用符号表示出来，即所谓的“符号逻辑”或数理逻辑，关于符号的应用已成为专门的学问。

第二次世界大战以后，电子计算机的出现更进一步刺激了数学符号的发展，产生了许多计算机语言，如BASIC语言、PASCAL语言和C语言等等。计算机语言不同于一般的数学语言，其符号必须便于输入计算机。由于程序的需要，所用的符号不能带下标和指数，不能应用通常的幂和根的符号。例如，在计算机程序以及专门为程序所写的数学文字中，写成，写成。

随着数学发展的需要，不断产生新的数学符号，而合适的数学符号“带着自己的生命出现，并且又创造出新生命来”(DJ斯特洛伊克)。随着数学的发展，数学符号也将不断地发展。每种符号的起源都能找到为自己辩护的理由，但它必须具有可接受性、现实性、科学性、合理性，才能得到推广和公认。参考文献：

[1]皮埃尔.吉罗[法]著.符号学概论[M].四川:四川人民出版社.[2]刘云章.数学符号学概论[M].合肥:安徽教育出版社,1993.[3]梁宗巨.世界数学通史[M].沈阳:辽宁教育出版社,1996.

[4]杜油芝,等.简明数学史词典[M].济南:山东教育出版社,1991.[5][美]M.克莱恩,著.古今数学思想[M].上海:上海科技出版社,1979.

一般导数无法区别，如方呢？1766年欧拉又用右，蒙日分别用

和

表示P对的阶偏导数。1770年左表示P对和对的偏导数。1770年孔多

塞用表示对的偏微分，用表示对的偏微分。另一个地方，他还用表示全微分，而表示偏微分。最有意义的是拉格朗日的工作，他于1786年用(，读作圆)表示偏导表示P对的偏导数。这就是现代的偏导数符号。但这一符号当时并没有立即得到通用，直到雅可比与1841年再次强调这一符号，并引入表示全微分而表示偏微分。设是和对的函数，则全微分

数，他用

，这种符号从此得到普遍的应用。

四、集合论和数理逻辑的符号的历史

集合论是G康托尔于19世纪末创立的。20世纪初对集合论的严格处理产生了公理集合论，由于对它的研究广泛采用了数理逻辑工具，集合论(公理集合论)又逐渐成为数理逻辑的一个分

Thesimplehistoryofmathematicalsymbol

HongWei-long

(ShantouPolytechnicCollege,ShantouGuangdong,515041,China)

Abstract:Thispaper,basedonthedevelopmenthistoryofthenumericalsymbol,algebrasymbol,calculussymbol,settheoryandmathematicallogic'ssymbol,outlinesthedevelopmenthistoryoftheentiremathematicalsymbol.

Keywords:mathematicalsymbol;digitalsymbol;algebrasymbol;calculussymbol;settheoryandmathematicallogicsymbol［责任编辑：龚雅玲］

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