不等式恒成立、存在性问题的解题方法

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不等式恒成立、存在性问题的解题方法

一、常见不等式恒成立问题解法 1、 用一次函数的性质

对于一次函数f(x) =kx b,x [m, n]有：

例1 :若不等式2x -1 m(x2 -1)对满足- 2 _ m _ 2的所有m都成立，求x的范围。 解析：我们可以用变换主元的方法，将m看作主变元，即将原不等式化为：

m(x2 -1) -(2x -1) ::: 0，;令 f (m)二 m(x2 -1) —(2x — 1)，贝U - 2 乞 m 乞2 时，f (m) ：： 0 恒

<

f

2

成立，所以只需

\"°即厂

J(2)c0

2)<

2(x11

2 -)-\")\"

2(x 一1)—(2x-1) cO

3

所以x的范围是X •(二1 • 7丄

2 2

)。

2、 利用一元二次函数判别式 对于一元二次函数 f (x^ ax2 bx c (1) (2)

f(x) 0在R上恒成立=a・0且二0 ; f (x) ::: 0在x R 上恒成立：=a ：：： 0且

R)有：

1. f(x) 0解集为空集=a ：：： 0且厶_ 0； 2. f (x)乞0解集为空集=

a 0

且—

0

二；：0

例2 :若不等式(m -1)x2 (m -1)x 2

0的解集是R,求m的范围。

解析：要想应用上面的结论，就得保证是二次的，才有判别式，但二次项系数含有参数 m所以要讨论m-1是否是0。

(1) 当m-仁0时，元不等式化为2>0恒成立，满足题意；

m -1 a 0

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(2) m—1式0时，只需」 2

° =(m-1)2 -8(m-1) v0 3、 分离变量法

，所以，m引1,9)。

若所给的不等式能通过恒等变换使参数与主元分别位于不等式两端，从而问题转化 为求

主元函数的最值，进而求出参数范围。这种方法本质也还是求最值，但它思路更清晰， 操作性更强。一般地有：

1) f(x) ：：：g(a)(a为参数)恒成立=g(a) f (x)max 2) f(x) g(a)(a为参数)恒成立=g(a) ：： f (x)max

例3已知不等式x2 2x a 0在［1, •：：)时恒成立，求a的取值范围。

解：x2 2x a 0在x • ［1, •二)时恒成立，只要a • -X2 -2x在x • ［1, •：：)时恒成立。 而易求得二次函数h(x)=-x2_2x在［1, •：：)上的最大值为-3，所以a

-3。

例4 .已知函数f (x)二ax - ； 4x-X2, x • (0,4］时f (x) :: 0恒成立，求实数a的取值范围。 解：将问题转化为a ：：： 4x —x对x • (0,4］恒成立。

x

:'~- 2

令 g(x)二 一 ，贝U a ：：： g(x)min

x

由 g(X)二 4X—X = _1 可知 g(x)在(0,4］上为减函数，故 g(x)min 二 g ⑷=0

x \\ X

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••• a 0即a的取值范围为(-：：,0)。

注：分离参数后，思路清晰，方向明确，从而能使问题得到顺利解决。 4、变换主元法

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处理含参不等式恒成立的某些问题时，若能适时的把主元变量和参数变量进行“换 位”思考，往往会使问题降次、简化。

例5 .对任意［-1,1］，不等式x2，(a-4)x *-2a 0恒成立，求x的取值范围。

分析：题中的不等式是关于x的一元二次不等式，但若把a看成主元，则问题可转化 为一次不等式(^ -2)a x2 -4x 4 . 0在a [-1,1]上恒成立的问题。

解：令f (a)二(x「2)a - x2「4x 4，则原问题转化为f (a) 0恒成立(a [-1,1]) 当x = 2时，可得

f(a) =0，不合题意。

当x式2时，应有丿

J(-1) >0

f (1)

>

0

解之得x < 1或 x>3。

故x的取值范围为(-：：,1) (3,：：)。

练习：1 .已知f(x) =x2 ax 3—a，若x [-2,2], f (x^0恒成立，求a的取值范围.

2 .对于不等式(1-m)x +(m-1)x+3>0

(1) 当| x | (2) 当| m |

<2, 上式恒成立，求实数 m的取值范围； <2, 上式恒成立，求实数x的取值范围.

3。若不等式ax2-2x+2>0对x€ (1,4)恒成立，求实数a的取值范围。

二、存在性问题

存在 x € D,使得函数 f(x)>a = f(x) max>a 存在 x € D,使得函数 f(x) < a二 f(x) min< a

例6 ::已知函数f(x)=x 2-ax+a,若存在x € [-1,2]使得f(x)>0,试求实数a的取值范围 解：法一：f(1)=1>0，所以对 a€ R,均存在 x € [-1,2]使得 f(x)>0.

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法二：原题同解于：当 x € [-1,2]时，f(x) max>0 ,即：f(-1)>0 或 f(2)>0

代入可得:1+2a>0 或4 — a>0得 a>-0.5 或 a<4 二 a€ R

练习：1。已知f (x) =2x^2ax 3，若存在x・1,2〕使得f x ：：： 0成立，求a的取值范围. 2. 存在x € R,使得不等式x^2x a成立，则a的取值范围是

.

三、有解问题

不等式f(x)>a, x € D有解(解集非空)二f(x) ma>a 不等式f(x)方程f(x)=a, x € D有解(解集非空)=a € {f(x)| x € D}即x • D时f (x)的值域。

例7:方程x2- 2 x+2— a=0在区间(0,3)内有解，则实数a的取值范围是 _________________ < 解：原题同解于：a = x2- 2 x+2, x €(0,3 )的值域。

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a=( x —1)

+ 1

.

.

• a€ [f(1) ,f(3))即 a€ [1,5)

练习：1。x2-2x・：：a解集不空, 则a的取值范围是

2. 不等式x2-2x乞a解集为空集,

则a的取值范围是

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