函数 f x 的定义域为 D ，则其图像为：x, y | y 1，若把这个图像向左平移 简单说明：新图像上任取点 像上，所以
f x , x D x, y | y
f x a , x
a 个单位，得到新图像为： D
f x 图
x, y ，向右平移 a 个单位得到 x a, y ，这个点在
y f x a
向右、上、下平移函数图象情况类似，请自己给出 2，若把 f x 图像按照直线 简单说明：新图像上任取点 在 f x 图像上，所以 y
x a 作一次对称，得到新函数为 y f 2a x
x, y ，按照直线 x a 作一次对称得到点 f 2a
x
2a x, y ，这个点
按照直线 y a 作对称类似，请自己给出
需要指出的是， 不能按照任意直线作对称得到新函数， 存在反函数。
3，若把 f x 图像按照点 简单说明：新图像上任取点 在
因为新的图像不一定是函数图像 （实
际上那是方程的图像） ，另外，按照直线 y x 作对称得到的是反函数，当然前提是该函数
a,b 作对称，得到新函数 x, y
y 2b f 2a b
，按照点 a, b 作对称，得到点 2a x,2 b y ，这个点
f x 图像上，则 2b y f 2a x ，整理得 y 2b f 2a x
a 倍（ a 0 ），纵坐标不变，
4，若把 f x 图像在水平方向上作伸缩，横坐标都变为原来的 那么得到新函数图像是 y
f
x a
简单说明：新函数图像上取点
x, y ，变回去
x , y ，这点在 f x 图像上，所以 y f
a
x a
至于竖直方向的伸缩，请自己给出
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝华丽的分割线＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 下面是函数图像本身的对称性 5，如果一个函数向左平移
a 个单位与原图像重合，即 a 是一个周期，那么按照第
1 条，
y f x a 这个新函数与原函数 y f x 重合，也就是说： f x a f x
6，如果一个函数有一条对称轴
x a ，那么按照第 2 条到的新函数 y
f 2a x 与原函数
是同一个，也就是说：
f 2a x f x ，至于类似 f a x f b x 这样的条件，改
写一下是非常显然的
7，如果一个函数有一个对称中心 是同一个函数，也就是说：
a, b ，那么按照第 3 条， y 2b f 2a f 2a
x a
f
x 与原函数
f x
f
x 2b ，类似 6 ，这个条件也可以作适当改写
8，出于好奇，我们来看看当
x 时函数会如何，显然，它会成为常函数
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝另外一类常见的变换是关于绝对值的
9，把函数
f x 的图像在 x 轴下方部分全部作对称到上方，上方部分不变，得到新函数：
y f x ，这是显然的，去掉绝对值讨论一下就行
10，把函数
f x 的图像在 y 轴右边部分全部作对称到左边，左边部分不变，得到新函数：
y f x ，这也是显然的去掉绝对值讨论一下就行
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线再次路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝ 11，另外补充的是半周期，如果f x a
f x 或者 f x a
f
1 x
，那么 a 是半周
期，证明是容易的，请自己给出。另外我们可以知道，反推是不成立的，半周期可以有其它
写法。一般的写法是
f x a g f x ，且 g g x x
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线继续路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
关于抽象函数， 除了图像外， 还有一类题， 如果能记得一些具体模型， 会有一些好处。 当然，不要满足于这几类，只有找到本质才能解决新题。表格放在最后。
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝分割线坚持路过＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
例 1：（第 7 届希望杯）
函数 f (x) 的值域
(1,4] ，则
4
g (x)
f ( x) 2 f (x) 的值域为
例 2：（第 5 届希望杯）
定义为 R 的函数 f (x) ，对任何 a, b R ，都有 f [af (b)]
ab ，则
f 219(4)
．
例 3：设 f ( x) 是 [0,1] 上的不减函数， 即对于 0
x1 x2 1 有 f ( x1 )
1 f (x) ，则 f (
f ( x2 ) ，且满足：（ 1）
1 ) 2005
f (0) 0 ；（ 2） f ( )
3
x1
f (x) ；（ 3） f (1 x)
．
2
例 4：（第 4 届希望杯）
设 奇 函 数
y
f ( x) 的 定 义 域 为 R ，
f (1) 2 ， 且 对 任 意 x1, x2 R ， 都 有
f ( x x )
f ( x) 是
f( x) f ( x ) ，当是增函数，则函数
1
2
x 0 时，
f ( x) 1
2
y f 2 ( x) 在区间
[ 3, 2]上的最大值是
．
2．抽象函数的单调性 例 5：（第 14 届希望杯）
奇函数 f ( x) 在区间 [3, 7] 上是增函数，在区间 [3,6] 上的最大值为
8 ，最小值为 1 ，
2 f ( 6) f ( 3)
例 6：设x
f (x) 是定义在R
上的增函数，且 ( )
( )
f x
f f y( ) ， 若，
y
f (3)
1 则
1
成立的
x 的取值范围是
．
x
5
3．抽象函数的奇偶性 例 7：（第 6 届希望杯）
定 义 在
R 上 的 奇 函 数 ， 它 的 最 小 正 周 期 为 2 f ( 1 ) f
( 2 f ) ( 3 )f
A、1 或 0
B、1 或 1
C、0
D、1
例 8：（第 4 届希望杯）
函 数
的定义域是 R，函数
， 已 知 ， 则
f ( x)
g( x) f ( x) 2 f ( x ) g( 5 )3
g( 5 )
．
则
，
4．抽象函数的周期性 例 9：（第 12 届希望杯）
数学试卷 第4页共 6页
定 义 在 实 数 集 上 的 函 数 f ( x) ， 满 足 f ( x 1)
1 f ( x 1 f ( x
1) ， 则 1)
f (1) f (2) f (3)..... f (2000) 2000 的值为
．
例 10：（第 12 届希望杯）
定义在 R 上的非常数函数， 满足（ 1） f (10
x) 为偶函数；（2） f (5 x) f (5 x) ，则 f (x)
一定是（
）
B、是偶函数，但不是周期函数 D、是奇函数，但不是周期函数
A 、是偶函数，也是周期函数
C、是奇函数，也是周期函数
补充练习题
1．函数 f ( x) 是定义在
R 上的实函数，它既关于 x
）
5对称， 又关于 x 7 对称，那么 f (x)
的周期是（ （A） 4
（B） 2
（ C）
（ D）
2
2．已知定义域为 R 的函数 f x 则（ （A） f 6
）
在区间 8,
上为减函数，且函数
y
f x 8
为偶函数，
f 7 （ B） f 6 f 9 （ C） f 7
f 9 （ D） f 7 f 10
T 是它的一个正周期 . 若将方程
）
3． 定义在 R 上的函数 f ( x) 既是奇函数，又是周期函数，
f ( x) 0 在闭区间
（ A）0
T,T 上的根的个数记为 n ，则 n 可能为（
（ B）1
（C）3
（ D）5
4．定义在 R 上的函数 y （2）对任何 x , x
1
2
f ( x) ，它具有下述性质：（1）对任何 x
2
R ，都有 f ( x3 ) f 3( x) ；
R ，x
1
x ，都有 f ( x ) f ( x ) ．则 f (0) f (1)
2
1
f ( 1) 的值为（
）
（A）0
（ B）1 （ C） 1
（D）不确定
5．已知函数
f (x) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 x ，则 f ( 2005.5)
f ( x
1) f ( x) 3，当 x
[0,1] 时，
f ( x) 2
．
6．（第 5 届希望杯）
函数 f (x) 是定义域为 [ 1,1]的奇函数， 且为增函数， f (1 取值范围是
a)
f (1 a2 )
0 ，则实数 a 的
7．定义在 R上的函数
， 恒 有 ． 若 ， 那 么
f (x)
．
f ( x
y)
f ( x)
f( y)
f (16)
4
f (2003)
8．已知函数 y （1）证明：函数
f ( x) 的定义域为 R ，并对一切实数 x ，都满足 f (2 y
f ( x) 的图像关于直线 x
2 对称；
x)
f (2
x) ．
（2）若 f ( x) 又是偶函数，且 x 式
[0, 2] 时， f ( x)
2x 1 ，求 x [
4,0] 时的 f ( x) 的表达
9 ．（ 2005 年广东高考） 设函数
f (x) 在 ( , ) 上 满 足 f (2 x) f (3) 0 ．
f (2 x) ，
f (7 x) f (7 x) ，且在闭区间 [0,7] 上，只有 f (1)
（ 1）试判断函数 y f ( x) 的奇偶性；
（ 2）试求方程 f (x) 0在闭区间 [ 2005,2005] 上的根的个数，并证明你的结论．
抽象函数满足条件
1
代表函数
f ( x1 x2 ) f (x1) f ( x2 )
f ( x1 x2 ) f (x1) f ( x2 )
2
f (x) kx （ k 0 ）
f ( x) ax （ a 0, a 1）
f ( x1 x2 ) f (x1) f ( x2 )
f ( x1 x2 ) f ( x1 ) f ( x2 )
3
x1
f ( x) log a x
（ a 0, a 1 ）
f ( ) f (x1) f (x2 )
4
f (x1 x2 ) f (x1) f ( x2 )
f ( x) xa
f (x)
cos x
x 4
5
f ( x1 ) f ( x2 ) 2 f (
x1x
2 ) f ( xx12 )
2
1)
2
6
f (x
1 f ( x) 1 f ( x)
f ( x)
tan
7
f ( x1 )
f (x2 )
f ( x1
1 1 f ( x)
x2 )
x1x2
f ( x) log a 1 x
1 x
f ( x) loga x 或
8
f ( x)
f ( x) x
1
x
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