外接球与内切球模型总结

1.掌握球体的表面积与体积的计算公式，会利用相应公式求解球体的表面积与体积的计算； 2.掌握圆柱体与圆锥的外接球，并学会在圆柱和圆锥体的外接球延伸到柱体以及锥体的外接球，理解与掌握多面体外接球的计算原理；

3.掌握多面体的内切球的计算原理，学会利用相应公式求解多面体内切球的相关问题.

1.外接球

（1）侧棱垂直于底面的几何体的外接球.

①圆柱的外接球：如下图所示，在圆柱OO1中，设圆柱的底面半径为r，圆柱的高为h，

AOBC

AB为圆柱底面圆的一条直径，AC是一条母线，则外接球的球心就是线段AB的中点，设球的半径为R，则2rh22R；

②直棱柱的外接球：可以将棱柱的外接圆柱OO1作出来，则直棱柱的外接球可转化为外接圆柱的外接球，设r为底面外接圆的半径，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则

22O12r2h22R，若直棱柱为直三棱柱，其底面外接圆的直径可以通过正弦定理进行求

2解；

OO1

22③直棱锥的外接球：如下图所示，可将直棱锥的外接直棱柱作出来，再可将其外接圆柱作出来，设r为底面外接圆的半径，直棱柱的高为h，外接球的半径为R，则2rh22R；

OO1 ④有一个侧面垂直于底面的棱锥的外接球：如下图所示，三棱锥PABC中，侧面PAC底面ABC，可在平面PAC内作AS垂直于AC交PAC的外接圆于点S，则三棱锥 PABC的外接球与三棱锥SABC的外接球为同一个球，设PAC的外接球的半径为

r，则SA2rAC222，设ABC的外接圆半径为r，外接球的半径为R，则

2rSA22R；

PSABC

22⑤长方体的外接球：设长方体的长、宽、高分别为x、y、z，则长方体的体对角线为长方体外接球的一条直径，设外接球的半径为2Rx2y2z2；

zyx

⑥对棱相等的三棱锥：如下图所示，在三棱锥ABCD中，ABCD，ACBD，AD

BC，可作三棱锥ABCD的外接长方体，设长方体的长宽高分别为x、y、z，外接球的

222222222半径为R，则ABxz，ACxy，ADyz，则2Rx2y2z2

2AzyxBCD

AB2AC2AD2，也就是说，对棱相等的三棱锥的外接球的直径的平方等于该三棱锥

2任意一个点出发的三条棱的平方和的一半；

⑦特殊三棱锥的外接球：三棱锥ABCD中，BACBDC90，则棱BC即为其外接球的直径，棱BC的中点为外接球的球心.

ABDOC

（2）侧棱相等的锥体的外接球

①圆锥的外接球：半圆O中，AD为半圆O的直径，B为半圆O上异于点A、D的一点，

AOBEDC

将半圆O绕着直径AD旋转一周，得到两个圆锥拼接的几何体内接于球O，设球O的半径

AB2为R，在直角ABD中，由射影定理可得AD，在圆锥AE中，对应的有：2R

AE母线222，若圆锥的高未知，圆锥底面圆的半径为r，则圆锥的高母线r求得； 高②侧棱相等的棱锥的外接球：对于侧棱相等的棱锥，可作其外接圆锥，则此棱锥的外接球和

其外接圆锥的外接球是同一个球，设外接球的半径为R，棱锥的侧棱长为l，高为h，底面

l2l2的外接圆的半径为r，则hlr，2R. 22hlr22（3）一般多面体的外接球：对于一般多面体的外接球，可以建立空间直角坐标系，设球心坐标为x,y,z，利用球心到各顶点的距离相等建立方程组，解出球心坐标，从而得到球的半径长.

2.多面体的内切球：对于多面体的外接球，设其内切球的球心为O，连接多面体各顶点与球心的连线，将多面体分割为若干个棱锥，多面体各个面的面积分别为S1、S2、S3、

、

Sn，

O

内切球的半径为r，球心O到各个面的距离均为r，设多面体的体积为V，多面体的表面积为S，则V得r径.

2附注：设球的半径为R，其表面积为S4R，体积为V11111rS1rSrSrSr1S2S3S23n333331SnrS，于是可

33V，对于柱体（圆柱或直棱柱）的内切球，还应该分析出柱体的高等于内切球的直S4R3. 3