高中数学选修一3.1.2 椭圆(第二课时)(精练)(解析版)

3.1.2 椭圆

【题组一 直线与椭圆的位置关系】

221．（2020·全国高二课时练习）若直线mxny4和圆xy4没有交点，则过点(m,n)的直

x2y2线与椭圆1的交点个数为（ ）

94A．2个 【答案】A

B．至多一个

C．1个

D．0个

【解析】直线mxny4和圆xy4没有交点，故224m2n220m2n22

点P(m,n)在以原点为圆心，半径为2的圆内，故圆m2n2=2内切于椭圆，，故点P(m,n)在椭圆内，

x2y2则过点(m,n)的直线与椭圆1的交点个数为2个

94x22

2．（2018·+y=1有公共点,那么直线l的全国高二课时练习）如果过点M(-2,0)的直线l与椭圆

2斜率k的取值范围是( )

2-,-A． 211C．-,

22【答案】D

2,B． 222,D．- 22【解析】设过点M（-2，0）的直线l的方程为y=k（x+2），

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y＝kx2 ，得（2k2+1）x2+8k2x+8k2-2=0， 联立x22y12x2∵过点M（-2，0）的直线l与椭圆y21有公共点，

2∴△=64k4-4（2k2+1）（8k2-2）≥0，

整理，得k2≤

122 解得- k22222， 故选：D ∴直线l的斜率k的取值范围是-22223．（2020·全国高二课时练习）已知椭圆4xy4与直线yxm有公共点，则实数m的取

值范围是____________.

【答案】55 m224x2y21【解析】由{，得5x22mxm210．

yxm因为直线与椭圆有公共点，所以4m20m10，

22即m2555，解得． m4224．当m取何值时，直线L:yxm与椭圆9x216y2144相切、相交、相离． 【答案】详见解析

【解析】将yxm代入9x16y144中，化简得25x232mx16m21440，其判别

22式576m214400.当，即5m5时，直线和椭圆相交，当0，即m5时，

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直线和椭圆相切.当，即m5或m5时，直线和椭圆相离. 【题组二 弦长】

221．（2019·广西百色田东中学高二期中（文））椭圆x4y16被直线y1x1截得的弦长2为________. 【答案】35 x24y216 消去y并化简得x22x60, 【解析】由1yx12设直线与椭圆的交点为M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x22,x1x26,

所以弦长MN1k2x1x235. 故填35.

222．（2020·辽宁葫芦岛高二期中（文））已知椭圆4xy1及直线l:yxm．

（1）当直线和椭圆有公共点时，求实数m的取值范围； （2）求被椭圆截得的最长弦长及此时直线l的方程．

【答案】（1）55210,；此时l:yx ；（2）直线被椭圆截得的最长弦长为2252【解析】（1）将直线方程与椭圆方程联立得：4x2xm1

即：5x22mxm210

5522m,4m20m10直线和椭圆有公共点 ，解得：

223 / 11

55m（2）由（1）可知，直线与圆相交时，，即2,2

设直线与椭圆交于Ax1,y1，Bx2,y2

2mm21 则x1x2，x1x2552m4m122AB1154m2 55522当m0时，54m2max2105，则AB max5直线被椭圆截得的最长弦长为210；此时l:yx

5x2y23（2020·武威市第六中学高二月考（理））点P是椭圆C:221(ab0)一点，F为椭圆

abC的一个焦点，|PF|的最小值为21，最大值为21．

（1）求椭圆C的方程；

（2）直线yxm被椭圆C截得的弦长为42，求m的值 3x2【答案】（1）y21；（2）m1

2x2y2【解析】（1）由点P是椭圆C:?221(ab0)一点，F为椭圆C的一个焦点，|PF|的

ab最小值为21，最大值为21．

ac21a2可得，解得，进而ba2c21，

c1ac214 / 11

x2所以椭圆方程为：y21.

2（2）设直线yxm与曲线C的交点分别为Mx1,y1,Nx2,y2

yxm联立x2得3x24mx2m220, 2y12Δ16m2122m22248m20,即-3m3 4m2m22又x1x2， ,x1x233MN112x1x224m2m22442，化简， 4x1x24333322整理得8m280，∴m1，符合题意.综上，m1.

4.（2020·四川双流中学）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C的中心在原点O，焦点在x轴上

短轴长为2，离心率为2，过左顶点A的直线l与椭圆交于另一点B. 2（1）求椭圆C的方程； （2）若AB4，求直线l的倾斜角. 3x2【答案】（1）y21；（2）45或135.

22b22b1cx2【解析】（1）由题意的，则得到椭圆方程为y21.

2a2a22ab2c25 / 11

（2）由题意直线的斜率存在，因为左顶点为sinx1， 62设直线l的方程为ykx2，代入椭圆方程，得到

2k21x242k2x4k220，

222k2， 22k1因为一个根为x12，则另外一个根为x2则AB1k2x1x21k2224， 22k13化简8k2k70，即k21，k1，

则倾斜角45或135.

5．（2019·四川高二期末（文））已知椭圆C:x2y2bb0.

222（1）求椭圆C的离心率e；

（2）若b1，斜率为1的直线与椭圆交于A、B两点，且AB211，求AOB的面积. 3【答案】（1）e222 ；（2）. 212x2y2【解析】（1）椭圆C:221b0，椭圆长半轴长为a2b，短半轴长为b，

2bbcb2b22

；e1212aa2b2（2）设斜率为1的直线l的方程为yxm，且Ax1,y1、Bx2,y2，

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b1，椭圆C的方程为:x22y22，

4mxx12yxm322y.. 由2，消去得，又有3x4mx2m2022x2y2xx2m212321116m28m284，4x1x223m23933AB2x1x22解得：m2x1x2211满足，直线l的方程为xy0. 4212，SAOE1ABd1211222. 故O到直线的距离2d22341242【题组三 点差法】

x2y21．（2018·海林市朝鲜族中学高二课时练习）椭圆1的一条弦被点(4,2)平分，则此弦所

369在的直线方程是（ ） A．x2y0 【答案】D

【解析】设过点A的直线与椭圆相交于两点，E（x1，y1），F（x2，y2），

22x12y12x2y2则有1①，1②，

369369B．x2y4 C．2x3y14 D．x2y8

①﹣②式可得：

x1x2x1x2y1y2y1y20

369又点A为弦EF的中点，且A（4，2），∴x1+x2=8，y1+y2=4，

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∴

48（x1﹣x2）﹣（y1﹣y2）=0 369y1y21

x1x22即得kEF=

∴过点A且被该点平分的弦所在直线的方程是y﹣2=﹣

1（x﹣4），即x+2y﹣8=0．故选：D． 2x2y22．（2020·湖北宜都二中高二期末（理））椭圆1中以点M(1，2)为中点的弦所在直线

169斜率为（ ） A．9 32B．

932C．

964D．

916【答案】A

x1216【解析】设弦的两端点为Ax1,y1，Bx2,y2，代入椭圆得 2x216y1219， 2y219两式相减得

x1x2x1x2y1y2y1y20，

169即 1xx2x1x216y1y2y1y2，

9y1y2，

x1x2即92y1y2，即

16416y1y2x1x29x1x2y1y299 即，∴弦所在的直线的斜率为，故选A.

x1x232321x2y23．（2019·内蒙古一机一中高二期中（文））斜率为的直线l被椭圆C:221(ab0)3ab截得的弦恰被点M(1,1)平分，则C的离心率是______．

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【答案】6. 3【解析】设直线l与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)

因为弦恰被点M(1,1) 平分，所以x1x22,y1y22

22(xx2)(x1x2)(y1y2)(y1y2)x12y12x2y20 由221,221，两式相减可得：122abababy1y2y1y2b21b212，因为直线l的斜率为，所以2 化简可得：

x1x2ax1x23a3b216b26 即2所以离心率e1故答案为2a33a34．过点M(－2,0)的直线l与椭圆x2＋2y2＝2交于P1，P2两点，线段P1P2中点为P，设直线l的斜k2的值为________. 率为k1(k1≠0)，直线OP的斜率为k2(O为原点)，则k1·【答案】－

1 2yk1(x2)yk(x2)【解析】设直线l的方程为：，由2，整理得 12x2y18k128k121：(12k)x8kx8k10，所以x1x2，x1x2，

12k1212k122122121所以y1y2k1(x12)k1(x22)k1(x1x24)4k1，所以

12k122k112k1214k122k11kP(,)kk ，，所以2212224k2k12k112k121112k129 / 11

225．（2019·甘肃兰州一中高二期末（理））椭圆axby1(a0,b0)与直线y1x交于A，

B两点，过原点与线段AB中点的直线的斜率为b3，则的值为( )

a293 223 27A.23 3B.3 2C.D.【答案】A

【解析】把y＝1﹣x代入椭圆ax2+by2＝1得ax2+b（1﹣x）2＝1， 整理得（a+b）x2﹣2bx+b﹣1＝0， 设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x22b2b，y1+y2＝2， abab∴线段AB的中点坐标为（

ba，）， ababaaba3．

∴过原点与线段AB中点的直线的斜率kbb2ab∴

b23．故选：A． a3x2y26．（2019·山东高考模拟（理））已知椭圆21a2的左、右焦点分别为F1,F2，过

a2左焦点F1作斜率为－2的直线与椭圆交于A，B两点，P是AB的中点，O为坐标原点，若直线OP的斜率为

1，则a的值是______. 4【答案】2

x2y2【解析】椭圆21a2，所以焦点在x轴上

a210 / 11

因为过左焦点F1作的直线斜率为－2， P是AB的中点，设P(x0,y0)，A(x1,y1),B(x2,y2)

x12y121a22 ，两式相减，化简得 将A、B坐标代入椭圆方程，可得22x2y212a22x1x2a2y1y22x0y1y2，即2k

ay0x1x2进一步化简得y0221k，代入22解得a=2 2ax0a4

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