2013年高考理科数学试题及答案-全国卷2

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2013年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷2）

数 学（供理科考生使用）

第I卷

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）复数的Z1模为 i1（A）

21 （B） （C）2 （D）2

22（2）已知集合Ax|0log4x1,Bx|x2，则AB

A．01，2 C．1,2 D．1，2  B．0，（3）已知点A1,3,B4,1,则与向量AB同方向的单位向量为

（A），-35434，- （B）

5554355（C）， （D）， （4）下面是关于公差d0的等差数列an的四个命题：

p2:数列nan是递增数列； p1:数列an是递增数列；3455ap3:数列n是递增数列； p4:数列an3nd是递增数列；

n其中的真命题为

（A）p1,p2 （B）p3,p4 （C）p2,p3 （D）p1,p4 （5）某学校组织学生参加英语测试，成绩的频率分布直方图如图， 数据的分组一次为20,40,40,60,60,80,820,100. 若低于60分的人数是15人，则该班的学生人数是

（A）45 （B）50 （C）55 （D）60

（6）在ABC，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,c.asinBcosCcsinBcosA1b, 2且ab,则B

A．

25 B． C． D．

3663n1（7）使得3xnN的展开式中含有常数项的最小的n为

xxA．4 B．5 C．6 D．7

（8）执行如图所示的程序框图，若输入n10,则输出的S

A．

5103672 B． C． D． 11115555（9）已知点O0,0,A0,b,Ba,a3.若ABC为直角三角形,则必有

A．ba3 B．ba31 a11C．ba3ba30 D．ba3ba30

aa.AB3，AC4，（10）已知三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上若

ABAC,AA112，则球O的半径为

A．31713 B．210 C． D．310 222222（11）已知函数fxx2a2xa,gxx2a2xa8.设

H1xmaxfx,gx,H2xminfx,gx,maxp,q表示p,q中的较大值，minp,q表示p,q中的较小值，记H1x得最小值为A,H2x得最小值为B,则

AB

（A）a2a16 （B）a2a16 （C）16 （D）16

22exe2,f2,则x0,时，fx （11）设函数fx满足xfx2xfxx82（A）有极大值，无极小值 （B）有极小值，无极大值 （C）既有极大值又有极小值 （D）既无极大值也无极小值

第II卷

本卷包括必考题和选考题两部分。第13题-第22题为必考题，每个试题考生都必须作答。

第22题-第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

（13）某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是 .

（14）已知等比数列an是递增数列,Sn是an的前n项和.若a1，a3是方程

x25x40的两个根，则S6 .

x2y2（15）已知椭圆C:221(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于

ab4A,B两点，连接AF,BF.若AB10,AF6,cosABF,则C的离心率e= .

5（16）为了考察某校各班参加课外书法小组的人数，在全校随机抽取5个班级，把每个班级参加该小组的认为作为样本数据.已知样本平均数为7，样本方差为4，且样本数据互相不相同，则样本数据中的最大值为 .

三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分12分） 设向量a3sinx,sinx,bcosx,sinx,x0,.

2（I）若ab.求x的值；

（II）设函数fxab,求fx的最大值. 18．（本小题满分12分）

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点.

（I）求证：平面PAC平面PBC；

（II）若AB2，AC1，PA1，求证：二面角CPBA的余弦值.

19．（本小题满分12分）

现有10道题，其中6道甲类题，4道乙类题，张同学从中任取3道题解答. （I）求张同学至少取到1道乙类题的概率；

（II）已知所取的3道题中有2道甲类题，1道乙类题.设张同学答对甲类题的概率都是类题的概率都是

3，答对每道乙54，且各题答对与否相互独立.用X表示张同学答对题的个数，求X的分布列和数学期望. 5 20．（本小题满分12分）

如图，抛物线C1:x4y,C2:x2pyp0.点Mx0,y0在抛物线C2上，

22过M作C1的切线，切点为A,BM为原点O时，A,B重合于O.当x012时，1切线MA的斜率为-.

2（I）求P的值；

（II）当M在C2上运动时，求线段AB中点N的轨迹方程

A,B重合于O时,中点为O.

21．（本小题满分12分）

已知函数fx1xe2xx3,gxax12xcosx.当x0,1时，

2（I）求证：1-xfx1; 1x（II）若fxgx恒成立，求实数a的取值范围.

请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分。作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑。 22．（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB为O直径，直线CD与O相切于E.AD垂直于CD于D，BC垂直于

CD于C，EF垂直于F，连接AE,BE.证明：

（I）FEBCEB; （II）EFADBC.

2

23．（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xoy中以O为极点，x轴正半轴为极轴建立坐标系.圆C1，直线C2的极坐标方程分别为

4sin,cos22.. 4（I）求C1与C2交点的极坐标；

.PQ的参数方程为 （II）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线xt3ab3tR为参数,求a,b的值. yt1224．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲

已知函数fxxa,其中a1.

（I）当a=2时，求不等式fx4x4的解集;

（II）已知关于x的不等式f2xa2fx2的解集为x|1x2,

求a的值.

2013年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）

数 学（供理科考生使用）解析

一选择题：

1. 【答案】B 【解析】由已知Z2. 【答案】D

【解析】由集合A，1x4；所以AB(1,2] 3. 【答案】A

【解析】AB(3,4)，所以|AB|5，这样同方向的单位向量是4.【答案】D

【解析】设ana1(n1)ddnm，所以P1正确；如果an3n12则满足已知，但

21i11i,所以|Z| 2(1i)(1i)22134AB(,) 555nan3n212n并非递增所以P2错；如果若ann1，则满足已知，但

an11，是递减数列，所以nnP3错；an3nd4dnm，所以是递增数列，P4正确

5.【答案】B

【解析】第一、第二小组的频率分别是0.1、所以低于60分的频率是，设班级人数为m，则0.2，

150.3，mm50。

6.【答案】A

【解析】边换角后约去sinB，得sin(AC)7.【答案】B

【解析】通项C(3x)8.【答案】A

rnnr11，所以sinB，但B非最大角，所以B。 2265r，所以r2时n5最小 2(1xx)C3rrnnrx5nr2，常数项满足条件n111111()，同时注意ii2，的意义在于是对求和。因为222i1i1i12i1i111111115所以所求和为[()()()]=

2133591111【解析】ss9.【答案】C

【解析】显然角O不能为直角（否则得a0不能组成三角形）若A为直角，则根据A、B纵坐标相等，

33所以ba0；若B为直角，则利用KOBKAB1得ba10，所以选C a

A110.【答案】C

【解析】由球心作面ABC的垂线，则垂足为斜边BC中点M。

C1B1计算AM=

O5，2由垂径定理，OM=11.【答案】B

5131AA16，所以半径R=()262

222BMAC【解析】 f(x)顶点坐标为(a2,4a4)，g(x)顶点

坐标象上，图

(a2,4a12)，并且每个函数顶点都在另一个函数的图

象如图， A、B分别为两个二次函数顶点的纵坐标，所以A-B=(4a4)(4a12)16

【点评】（1）本题能找到顶点的特征就为解题找到了突破口。

A，B在同一个自变量取得。 12.【答案】D

（2）并非

ex【解析】由已知，[xf(x)]x22exe2在已知xf(x)2xf(x)中令x2，并将f(2)(1)。

x82ex3x2代入，得f(2)0；因为xf(x)2xf(x)，两边乘以x后令g(x)xf(x)e2[xf(x)](2)。求导

xexx2xxe，显然x(0,2)时，g(x)0，g(x)减；x(2,)时，并将（1）式代入，g(x)e2xxg(x)0，g(x)增；并且由（2）式知g(2)0，所以g(2)0为g(x)的最小值，即g(x)0，所以x3f(x)0，在x0时得f(x)0，所以f(x)为增函数，故没有极大值也没有极小值。 13.【答案】1616

【解析】直观图是圆柱中抽出正四棱柱。V24241616 14. 【答案】63

【解析】a1a35,a1a34由递增，a11,a34，所以q222a34，q2代入等比求和公式得a1S663

15.【答案】

5 72224，解得|BF|8，所以A到右焦点的距离也5105 是8，，由椭圆定义：2a6814，又2c10，所以e147【解析】 由余弦定理，6|BF|10210|BF|16. 【答案】10

【解析】设五个班级的数据分别为abcde。由平均数方差的公式得

abcde7，

5

(a7)2(b7)2(c7)2(d7)2(e7)24，显然各个括号为整数。设a7,b7,c7,d7,e7分

5pqrst0别为p,q,r,s,t，(p,q,r,s,tZ)，则22222pqrst20f(x)(xp)2(xq)2(xr)2(xs)2=

(1)(2)。设

4x22(pqrs)x(p2q2r2s2)=4x22tx20t2，因为数据互不相同，分析f(x)的构

成，得f(x)0恒成立，因此判别式0，得t4，所以t3，即e10。

作者：大连红旗高级中学王金泽 由于赶稿件可能有疏漏请提宝贵意见