考研数学一（选择题）高频考点模拟试卷34 (题后含答案及解析)
题型有：1.
1． 设f(x)有一阶连续导数，f(0)=0，当x→0时，与x2为等价无穷小，则f’(0)等于( )
A．0． B．2． C． D．
正确答案：D 涉及知识点：高等数学
2． 无界的一个区间是 ( ) A．(－∞，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，+∞)
正确答案：C
解析：因此f(x)在区间(0，1)内无界．其他三个区间内f(x)都是有界的． 知识模块：函数、极限、连续
3． 设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0，1)和N(1，1)，则( )
A． B． C． D．
正确答案：B
解析：因X和Y相互独立，且X～N(0，1)，Y～N(1，1)，所以由期望的性质：E(X+Y)=E(X)+E(Y)=0+1=1，F(X — Y)=E(X)—E(Y)=0—1=—1。由独立随机变量方差的性质：D(X+Y)=D(X)+D(Y)=1+1=2，D(X—Y)=D(X)+D(Y)=1+1=2，所以 X+Y～N(1，2)，X—Y～N(—1，2)。结合正态分布的对称性可知：P{X+Y≤1}=，故选B。 知识模块：概率论与数理统计
4． 设f(x)=，g(x)=∫01—cosxtant2dt，则x→0时，f(x)是g(x)的( ) A．高阶无穷小。
B．低阶无穷小。
C．同阶而非等价无穷小。 D．等价无穷小。
正确答案：B
解析：由洛必达法则与等价无穷小代换得 其中用到下面的等价无穷小代换：x→0时， ln(1+sin2x2)一sin2x2～x4，tan(1一cosx)2一(1一cosx)2～(x2)2。 故根据低阶无穷小的定义可知应选B。 知识模块：函数、极限、连续
5． 微分方程的一个特解应具有形式(其中a，b为常数) ( ) A． B． C． D．
正确答案：C
解析：特征方程r2+r+1=0，特征根为是特征根，所以特解的形式为 知识模块：常微分方程
6． 设函数f(x)与g(x)在(a，b)上可导，考虑下列叙述：(1)若f(x)＞g(x)，则f’(x)＞g’(x)；(2)若f’(x)＞g’(x)，则f(x)＞g(x)．则 ( )
A．(1)，(2)都正确 B．(1)，(2)都不正确 C．(1)正确，但(2)不正确 D．(2)正确，但(1)不正确
正确答案：B 解析：考虑f(x)=e-x与g(x)=一e-x，显然f(x)＞g(x)，但f’(x)=一e-x，g’(x)=e-x，f’(x)＜g’(x)，(1)不正确，将f(x)与g(x)交换可说明(2)不正确． 知识模块：一元函数微分学
7． 设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若孝ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系
A．不存在．
B．仪含一个非零解向量．
C．含有两个线性无关的解向量． D．含有三个线性无关的解向量．
正确答案：B
解析：因为ξ1≠ξ2，知ξ1-ξ2是Ax=0的非零解，故秩r(A) A． B．
C． D．
正确答案：D
解析：过曲线y=(x一1)2上点(2，1)的法线方程为y=一x+2，该法线与x轴的交点为(4，0)，则由该法线、x轴及该曲线所围成的区域D绕x轴旋转一周所得的几何体的体积为V=π∫12(x一1)4dx+，选(D)． 知识模块：高等数学
9． 直线L1：与直线L2：之间的关系是( ) A．L1⊥L2。 B．L1//L2。
C．L1与L2相交但不垂直。 D．L1与L2为异面直线。
正确答案：C
解析：直线L1的方向向量s1=(2，3，4)，直线L2的方向向量s2=(1，1，2)。因为s1与s2的坐标不成比例，所以L1与L2不平行，又因为 s1·s2=2×1+3×1+4×2=13≠0． 所以L1与L2不垂直，在L1上取一点M1(0，－3，0)，在L2上取一点M2(1，－2，2)，作向量=(1，1，2)。混合积 所以L1与L2共面，故L1与L2相交但不垂直，故选(C)。 知识模块：向量代数和空间解析几何
10． ，则积分区域为( ) A．x2+y2≤a2
B．x2+y2≤a2(x≥0)。 C．x2+y2≤ax
D．x2+y2≤ax(y≥0)。
正确答案：C
解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，而且，故选C。 知识模块：多元函数积分学
11． 设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，是样本均值，C为任意常数，则( )．
A． B． C． D．
正确答案：C
解析：故选C 知识模块：概率论与数理统计
12． 设总体X的概率密度函数为f(x)，而X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单随机样本，X(1)，X(1/2)和X(n)相应为X1，X2，…，Xn的最小观测值、中位数和最大观测值，则( )．
A．X1的概率密度为f(x) B．X(1)的概率密度为f(x) C．X(1/2)的概率密度为f(x) D．X(n)的概率密度为f(x)
正确答案：A
解析：简单随机样本的定义可知X1与总体X同分布．故选A． 知识模块：概率论与数理统计
13． 在假设检验中，原假设H0的拒绝域为W，x1，x2，…，xn为样本值，则犯第二类错误的情况为( )．
A．H0真，且x1，x2，…，xn∈W B．H0不真，且x1，x2，…，xnW C．H0真，且x1，x2，…，xnW
D．H0不真，且x1，x2，…，xn∈W
正确答案：B
解析：犯第二类错误指的是H0不真，但接受H0，即样本值(x1，x2，…，xn)W．故选
B． 知识模块：概率论与数理统计
14． 已知等于( ) A．3。 B．7。 C．8。 D．9。
正确答案：C
解析：=2×5-2=8，故选C。 知识模块：高等数学
15． 两个半径为R的直交圆柱体所围成立体的表面积S等于 ( ) A． B． C． D．
正确答案：D
解析：所求面积是正交圆柱所围成的曲面面积S．由于对称性S=16S1，S1对应是第一卦限中曲面，在xOy面的投影域因为 知识模块：多元函数积分学
16． 设x2+y2≤2ay(a＞0)，则f(x，y)dxdy在极坐标下的累次积分为( )． A．∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr B．∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdr C．dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr D．dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr
正确答案：B
解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(x，y)dxdy=∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，选(B)． 知识模块：高等数学
17． 设A，B，C均为n阶矩阵，若AB=C，且B可逆，则( ) A．矩阵C的行向量组与矩阵A的行向量组等价． B．矩阵C的列向量组与矩阵A的列向量组等价． C．矩阵C的行向量组与矩阵B的行向量组等价． D．矩阵C的列向量组与矩阵B的列向量组等价．
正确答案：B
解析：将A，C按列分块，A=(α1，…，αn)，C=(γ1，…，γn)，由于AB=C，故(α1，…，αn)=(γ1，…，γn)，即 γ1=b11α1+…+bn1αn，…，γn=b1nα1+…+bnnαn，即C的列向量组可由A的列向量组线性表示．由于B可逆，故A=CB-1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选
B． 知识模块：线性代数
18． 设f(x)=则以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于( )． A．1+π2 B．－1 C． D．
正确答案：D
解析：函数f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于，选(D) 知识模块：高等数学
19． 已知α1=(1，1，—1)T，α2=(1，2，0)T是齐次线性方程组Ax=0的基础解系，那么下列向量中Ax=0的解向量是( )
A．(1，—1，3)T B．(2，1，—3)T C．(2，2，—5)T D．(2，—2，6)T
正确答案：B
解析：如果A选项是Ax=0的解，则D选项必是Ax=0的解。因此A、D两项均不是Ax=0的解。由于α1，α2是Ax=0的基础解系，所以Ax=0的任何一个解η均可由α1，α2线性表示，也即方程组x1α1+x2α2=η必有解，而可见
第二个方程组无解，即(2，2，—5)T不能由α1，α2线性表示，故选B。 知识模块：线性方程组
20． 已知三阶矩阵A的特征值为0，1，2。设B=A3-2A2，则r(B)=( ) A．1。 B．2。 C．3。
D．不能确定。
正确答案：A
解析：因为矩阵A有三个不同的特征值，所以A必能相似对角化，即存在可逆矩阵P，使得于是P-1BP=P-1(A3-2A2)P=P-1A3P-2P-1A2P=(P-1AP)3-2(P-1AP)2则矩阵B的三个特征值分别为0，0，-1，故r(B)=1。所以选A。 知识模块：线性代数
21． 对于任意二随机变量X和Y，与命题“X和lY不相关”不等价的是 A．EXY=EXEY． B．Cov(X，Y)=0． C．DXY=DXDY． D．D(X+Y)=DX+DY．
正确答案：C
解析：由于Cov(X，Y)=EXY－EXEY=0是“X和Y不相关”的充分必要条件，可见(A)与(B)等价．由D(X+Y)=DX+DY的充分必要条件是Cov(X，Y)=0，可见(B)与(D)等价．于是，“X和Y不相关”与(A)，(B)和(D)等价．故应选(C)．选项(C)不成立是明显的，为说明选项(C)不成立，只需举一反例．设X和Y同服从参数为p(0＜p＜1)的0—1分布且相互独立，从而X与Y不相关．易见DX=DY=p(1－p)；乘积XY服从参数为p2的0—1分布：P{XY=1}=P{X=1，Y=1}=p2，P{XY=0}=1－p2．因此DXY=p2(1－p2)≠p2(1－p)2=DXDY． 知识模块：概率论与数理统计
22． 已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r1，且BY=B无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β)=r，则 ( )
A．r=r1+r2 B．r＞r1+r2 C．r=r1+r2+1 D．r≤r1+r2+1
正确答案：D
解析：由题设有 r(α1，α2，…，αn，α)=r1，r(β1，β2，…，βn，β)=r2+1，故 r(α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β)≤r1+r2+1． 知识模块：线性代数
23． 设随机变量X～F(m，n)令p=P(X≤1)，q=P(X≥1)，则( )． A．p＜q B．p＞q C．p=q
D．p，q的大小与自由度m有关
正确答案：C
解析：因为X～F(m，m)，所以，故p=q，选(C)． 知识模块：概率统计
24． 设X～N(μ，42)，Y～N(μ，52)，令p=P(X≤μ一4)，q=P(Y≥μ+5)，则( )．
A．p＞q B．p＜q C．p=q
D．p，q的大小由μ的取值确定
正确答案：C 解析：由p=P(X≤μ－4)=P(X－μ≤4)=P(≤一1)=φ(一1)=1－φ(1)，q=P(Y≥μ＋5)=P(Y一μ≥5)==1一φ(1)，得p=q，选(C)． 知识模块：概率统计
25． 设α～β(x→a)，则等于( )． A．e B．e2 C．1 D．
正确答案：D
解析： 知识模块：高等数学
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