假设检验

1. 在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯哪一类错误？若检验结果是拒绝原假设，则又可能犯哪一类错误？

解 根据定义，在假设检验问题中，若检验结果是接受原假设，则检验可能犯第二类错误；若检验结果是拒绝原假设，则又可能犯第一类错误.

2. 设来自总体X~N(,1)的样本(X1,X2,,X16)的观测值为(x1,x2,,x16)，若检验问题

H0 ：= 2 ， H1 ：≠2

的拒绝域为W{x2.5}，求检验犯第一类错误的概率.

解 因样本(X1,X2,,X16)来自于总体X~N(,1)，故在H0 ：= 2成立的条件下，样本均值X~N(,1)，则所求为 16P (拒绝H0|H0为真)

P{X2.5}1P{X2.5}1(2.52)1/4

1(2)10.97720.0228习题8.2

1．已知某砖厂生产的砖的抗断强度服从正态分布N（32.5 ，1.1），现随机抽取6块，测得抗断强度（单位：公斤∕厘米2）如下：

32.56 ，29.66 ，31.64 ，30.00 ，31.87 ，31.03

试问这批砖的平均抗断强度是否为32.50（显著性水平= 0.10）？

解 检验的假设为

H0:32.50,此为双侧U检验, 检验统计量为

2H1:32.50

UX32.50

1.1/6 查标准正态分布表, 得临界值

uu0.051.645

2故拒绝域为

Wuuu1.645

2又由题设可算得x31.13,故U的样本观测值为 u31.131.1/32.53.031.6 4 56所以拒绝H0, 即不能认为平均抗断强度为32.50.

2．某种元件，要求其使用寿命不得低于1000小时，现从一批这种元件中随机抽取25个，测得其寿命平均值为950小时，已知该种元件寿命服从标准差为= 100的正态分布．可否据此判定这批元件不合格（显著性水平= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:1000,此为单侧U检验,检验统计量为

H1:1000

U查标准正态分布表, 得临界值

X1000

/n uu0.051.645 故拒绝域为

W{U}U1.645 又由题已知x950, 故检验统计量U的样本观测值为 U95010002.51.645

100/25所以拒绝H0, 即应判定这批元件不合格.

0.75）3．在正常情况下工厂生产的某种型号的无缝钢管的内径服从正态分布N（54 ，，

从某日生产的钢管中抽出10根，测得内径（单位：cm）如下：

53.8 ，54.0 ，55.1 ，52.1 ，54.2 ，54.2 ，55.0 ，55.8 ，55.1 ，55.3

2如果标准差不变，该日生产的钢管的平均内径与正常生产时是否有显著差异（= 0.05）？

解 检验的假设为 H0:54,此为双侧U检验,检验统计量为 U查标准正态分布表, 得临界值

uu0.0251.96

2H1:54

X54

/n故拒绝域为

W{Uu}{U1.96}

2又由题设可算得x54.5, 故U的样本观测值为 U54.5542.111.96

0.75/10所以接受H0,即可以认为该日生产的钢管的平均内径与正常生产时无显著差异.

4．某人从一房地产商处购买了一套据称是120平方米的住房，并请人对房子的建筑面积（单位：平方米）进行了5次独立测量，得数据如下：

119.2 ，118.5 ，119.7 ，119.4 ，120.0

设测量值近似地服从正态分布，可否据此判定该套住房“缺斤短两”（显著性水平= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:120,，H1:120. 此为单侧T检验.,检验统计量为 T查t分布表,得临界值

t(n1)t0.05(4)2.13 故拒绝域为

X120

S/n W{Tt(n1)}{T2.13} 又由题设可算得x119.4, s = 0.57, 故检验统计量T的样本观测值为 t119.41202.352.13

0.57/5所以拒绝H0, 即认为该住房面积不够120平方米.

5．已知制药厂一自动生产线生产的一种药片中有效成分的含量（单位：mg）服从正态分布，按照标准，该药片中有效成分的含量不应低于100 ．某日厂质检科从自动生产线生产的药片中抽查了40片，测得其中有效成分的平均含量为98 ，样本标准差为5.8 ．厂质检科是否可以据此以0.05的显著性水平判定生产线该日生产的药片质量未达标？若将显著性水平改为0.01结论如何？

解 检验的假设为

H0:100, H1:100. 此为单侧T检验, 检验统计量为 T查t分布表, 得临界值

t(n1)t0.05(39)1.68 故拒绝域为

W{Tt(n1)}{T1.68} 又由题设可算得x119.4, s = 5.8, 故检验统计量T的样本观测值为 UX100

S/n981002.181.68

5.8/40所以显著水平为0.05时,拒绝H0,即应判定生产线该日生产的药片质量未达标.

同理, 当显著水平为0.01时, 查t分布表, 得临界值 t(n1)t0.01(39)2.43

检验统计量T的样本观测值为 U981002.182.43

5.8/40所以显著水平为0.01时，接受H0，即尚不能判定生产线该日的药片质量未达标.

6．某车间生产钢丝，生产一向比较稳定，且其产品的折断力（单位：kg）服从正态分布．今从产品中随机抽出10根检查折断力，得数据如下：

578 ，572 ，570 ，568 ，572 ，570 ，570 ，572 ，596 ，584

问：是否可以相信该车间的钢丝折断力的方差为64（显著性水平= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:264,双侧2检验，检验统计量为

H1:264

(n1)S2 

642查自由度为n - 1 = 9的2分布表，得得临界值 拒绝域为

2 W{22(n1)或2(n1)}

1222222(n1)0.975(9)2.7， (n1)0.025(9)19.02 122又由题设可得S 2 = 75.73, 检验统计量的样本观测值为 因为

2(101)75.7310.65

642.7219.2

所以接受H0，即可以认为该车间的钢丝折断力的方差为64.

7．一自动车床加工零件的长度（单位：mm）服从正态分布N（ ，），原来加工精度0 = 0.18 ，经过一段时间加工后，为检验该车床加工精度而随机抽取了31个零件，测得数据如下：

22零件长 频 数

10.1 1 10.3 3 10.6 7 11.2 10 11.5 6 11.8 3 12.0 1 问：该车床的加工精度是否有所降低（显著性水平= 0.05）？

解 检验的假设为

H0:20.18,H1:20.18 单侧2检验，检验统计量为

(n1)S2 

0.182查自由度为n-1 = 30的2分布表，得临界值 拒绝域为

2 W{2(n1)}

2(n1)0.05(30)43.77

又检验统计量的样本观测值为 2(311)0.266744.4543.77

0.18所以拒绝H0，即判定加工精度有所降低.

习题8.3

1．装配某种零部件可以采用两种不同的生产工序，经验表明，用这两种工序装配零部件所需的时间（单位：分钟）分别服从标准差为12,23的正态分布。现对两种工序装配零部件所需的时间进行了抽样检查，两种工序每装配10个零部件平均所需的时间分别为5和7分钟。在0.10的显著水平下，检验两种工序的效率是否有显著差异？

解 检验的假设为

H0:12,双侧U检验，检验统计量为 UH1:12

XY21m22

n拒绝域为

W{|U|u}

2查表得临界值

uu0.051.645

2这里1222,2232,mn10，且x5,y7,则可得统计量的观测值

|u||5723101022|21.645

拒绝H0，即认为两种工序的效率有显著差异.

2．设甲、乙两个品牌的同类保健药品中有效成分A的每瓶含量分别为X ～

N(1，302) 和Y ～ N(2，432)．现分别抽得甲牌药品10瓶、乙牌药品14瓶，测得其有效成分A的平均含量分别为x= 310 、y= 283 ，是否可据此认为甲牌药品的有效成分含量较高（= 0.10）？

解 检验的假设为

H0:12,单侧U检验，检验统计量为 UH1:12

XY21m拒绝域为

22

n W{Uu} 查表得临界值

uu0.11.28 这里130,统计量的观测值

2222432,m10,n14，又根据题目已知x310,y283,，从而

U31028330431014221.811.28

所以拒绝H0，即可以认为甲牌药品的有效成分含量较高.

3．设甲、乙两机床加工的同一种零件的尺寸（单位：mm）均服从正态分布．现分别抽得甲、乙两机床加工的零件的尺寸数据如下：

甲：31.2 ，30.8 ，31.2 ，30.3 ，31.9 ，31.5

乙：30.3 ，32.1 ，29.8 ，31.7 ，29.9 ，29.0 ，31.9 ，32.4 问：甲、乙两机床的加工精度是否有显著差异（显著性水平= 0.1）？

解 检验的假设为

22 :1122 H0:212,H

双侧F检验，检验统计量为

S12 F2

S2拒绝域为

W{Ff查F分布表，得临界值

12(m1,n1)或Ff(m1,n1)}

2f1(m1,n1)=f0.95(5,7)210.20， 4.88f(m1,n1)=f0.05(5,7)3.97

2又F的观测值

f0.310.180.20 1.69所以拒绝H0，应判定两机床的加工精度是有显著差异.

4．为了解各系学生素质教育的效果，学校抽测了甲、乙两系各20名学生．测试结果是：甲系平均分x= 75 、标准差s1 = 15 ，乙系平均分y= 79 、标准差s2 = 23 ．试据此判断甲、乙两系学生素质教育效果有无显著差异（显著性水平= 0.1）？

解 因为二总体方差均未知，故先检验假设

H0:12,双侧T检验，检验统计量为 TH1:12

XY 11SWmn2(m1)S12(n1)S2其中SW.

mn2拒绝域为

W{Tt(mn2)}

2查t分布表，得临界值 tt0.051.6860

2又根据题目已知数据可计算得x75,y79,Sw19.4165，从而T的观测值为

T75790.65151.6860

1119.41652020所以接受H0，即可以认为两系学生素质教育效果无差异显著.

综合练习八

一、填空题

1．假设检验可能犯两类错误：第一类错误是( 拒真错误 )，第二类错误是( 纳伪错误 )．

2．假设检验的显著性水平是指检验犯( 第一类 )错误的概率的上限． 3．设总体X ～ N（ ，4），（x1 ，x2 ，„ ，xn）为其一组样本观测值，则检验问题

H0 ：= 30 ，H1 ：≠30

的检验统计量为 ( U域为 ( WX302n )；若检验的显著性水平= 0.01 ，则此检验的拒绝

u2.57 )．

24．设总体X ～ N（ ，），（x1 ，x2 ，„ ，x9）为其一组样本观测值，则检验问题

H0 ：22≥2

，H1 ：2＜2

(n1)S2的检验统计量为(  )；若检验的显著性水平= 0.1 ，则此检验的拒

222绝域为 ( W3.490 )；若据样本观测值已算得样本方差s= 1.4 ，则应

( 接受 )H0 ．

二、选择题

1．在假设检验中H0 、H1 分别表示原假设与备择假设，通常所称的“犯第二类错误”是指 ( (c) ) ．

(a) H0 真而接受H1 ； (b) H1 不真而接受H1 ； (c) H1 真而接受H0 ； (d) H0 不真而接受H1 ． 2．设（X1 ，X2 ，„ ，Xn）是来自正态分布N（ ，）的样本，其中参数和未知，记

21X=

nXi1ni ，

T=(XiX)2

2ni1则对假设H0 ：= 0作检验所使用的检验统计量为（ (d) ）． （a）

nX； (b) Tn1X； T(c)

n(n1)XT2； (d)

n(n1)X．

T3．假设检验中，当原假设H0 在显著性水平0.05下被接受时，若将显著性水平变更为0.01 ，则 ( （a） ) ．

(a) H0 必定仍被接受； (b) H0 必定被拒绝；

(c) H0 可能被接受亦可能被拒绝； (d) 无法判定H0 是否被接受． 4．设总体X ～ N（ ，） （ 、均未知），（X1 ，X2 ，„ ，Xn）为其样本，则检验问题

H0 ：≤10 ，H1 ：＞10

的检验统计量是( (a) )．

22(a)

X10Sn； (b)

XSn；

(c)

X10n； (d)

Xn．

5．设总体X ～ N（ ，） （ 、均未知），（X1 ，X2 ，„ ，Xn）为其样本，则检验问题

H0 ：的检验统计量为=

2222≥

222，H1 ：＜0 0(n1)S220，若取显著性水平为0.1则检验的拒绝域为（ （b） ）

(a) (c)

22220.9(n)； (b) 0.9(n1)； 2220.1(n)； (d) 0.1(n1)．

2

三、解答题

1.设某味精厂生产的味精在手工包装时的每袋重量X~N(15,0.05)。技术革新后，改用机器包装，现抽查8个样品测得重量（单位：克）为：14.7， 15.1，14.8，15，15.3， 14.9，15.2，14.6. 已知方差不变，问机器包装的味精每袋平均重量是否仍为15(显著水平

0.05) ？

解 检验的假设为

H0:15,此为双侧U检验, 检验统计量为

H1:15

U 查标准正态分布表, 得临界值

X150.05/8

uu0.0251.96

2故拒绝域为

Wuuu1.96

2又由题设可算得x14.95,故U的样本观测值为 u|14.9515|0.05/80.41. 9 6所以接受H0，即可以认为平均重量仍为15.

2.已知某厂生产的灯泡的使用寿命(单位：小时)X~N(,2002)，根据经验，原来灯泡的平均使用寿命不超过1500小时.现测试了25只采用新工艺生产的灯泡的使用寿命，得其平均值为1575小时.问新工艺是否提高了灯泡的使用寿命?（0.05）

解 检验的假设为

H0:1500,H1:1500. 此为单侧U检验,检验统计量为

U查标准正态分布表, 得临界值

X1500200/25

uu0.051.645 故拒绝域为

W{uu 5}0.0}5{u1.64又由题已知x1575, 故检验统计量U的样本观测值为 u15751500200/251.8751.645

所以拒绝H0，即可认为新工艺提高了灯泡的使用寿命。

3. 某超市为了增加销售额，对营销方式、管理人员等进行了一系列调整，调整后随机抽查了9天的日销售额（单位：万元），结果如下：

56.4，54.2，50.6，53.7，55.9，48.3，57.4，58.7，55.3

根据统计，调整前的日平均销售额为51.2万元. 假定日销售额服从正态分布，试问调整措施的效果是否显著（0.05）.

解 此问题为为检验问题

H0:51.2, H1:51.2.

检验统计量为

T查t分布表，得临界值

t(8)t0.05(8)1.8595 故拒绝域为

W{tu 5}0.0}5{t1.859

又计算可得

X51.2S/9

x54.5, s3.29

于是可得T的样本观测值为 t54.551.231.8595

3.29/3故拒绝H0，即可以判定调整措施的效果是显著的。

4. 电工器材厂生产一批保险丝，取10根测得其熔化时间（min）为42, 65, 75, 78, 59, 57, 68, 54, 55, 71.问是否可以认为整批保险丝的熔化时间的方差小于等于80 ? (=0.05，熔化时间为正态变量)

解 要检验的假设为

H0：280；H1：280. 单侧2检验，检验统计量为

(n1)S2 

802查自由度为n-1 = 9的分布表，得临界值 拒绝域为

W{(n1)}

又检验统计量的样本观测值为

222(n1)0.05(9)16.919

2 2(101)121.813.716.919

80故接受H0，即可以认为这批保险丝的熔化时间的方差小于等于80.

*5. 假设A厂生产的灯泡的使用寿命（单位：小时）X~N(1,952)， B厂生产的灯泡的使用寿命Y~N(2,1202).在两厂生产的产品中各抽取了100只和75只样本，测得灯泡的平均使用寿命分别为1180小时和1220小时.问在显著水平0.05下，这两个工厂生产的灯泡的平均使用寿命有无显著差异？

解 要检验的假设为

H0:12,H1:12

双侧U检验，检验统计量为 UXY21m拒绝域为

22

n W{|U|u}

2查表得临界值

uu0.0251.96

22这里1952,221202,m100, n75，且x5,y7,则可得统计量的观测值

|u||11801220951201007522|2.381.96

拒绝H0，即认为这两个工厂生产的灯泡的平均使用寿命有显著差异

*6．假设在校大学生每周进行课外体育活动的时间（单位：小时）近似地服从正态分布．某高校学生会对此作了一次抽样调查，结果是：21名男生的平均活动时间x= 3.4 、标准差s1 = 2.3 ，18名女生的平均活动时间y= 2.3 、标准差s2 = 1.9 ．问：该校男女生的课外体育活动时间是否有显著差异（显著性水平= 0.2）？

解 (1) 因为两个总体方差均未知，故先检验假设 H0:12,222 H1:122双侧F检验，检验统计量为

S12 F2

S2拒绝域为

W1{Ff查F分布表，得临界值

12(m1,n1)或Ff(m1,n1)}

2f1(m1,n1)= f0.9(20,17)210.55， 1.81f(m1,n1)= f0.1(20,17)1.86

2又F的观测值

2.321.47 f1.92因为

0.55f1.86

故接受H0，即可认为男女学生课外体育活动时间方差相同.

(2) 再检验假设

H0:12,H1:12

2因为有122，故用双正态总体的双侧T检验法，检验统计量为

TXY 11SWmn2(m1)S12(n1)S2其中SW.

mn2拒绝域为

W2{Tt(mn2)}

2查t分布表，得临界值

t(mn2)t0.1(21182)t0.1(37)1.305

2又根据题目已知数据可算得x3.4,y2.3,Sw2.13，从而T的观测值为 t3.42.31.611.305

112.132118所以拒绝H0，即应认定男女生的课外体育活动时间有显著差异.