三角函数的图像与性质
二. 教学目标：
了解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin（ωx+φ）的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
三. 知识要点：
1. 正弦函数、余弦函数、正切函数的图像
2. 三角函数的单调区间：
的递增区间是，
递减区间是
的递增区间是
； ，
递减区间是
的递增区间是，
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
3. 函数
最大值是，最小值是，周期是，频率是，相位是
，初相是
图象与直线
；其图象的对称轴是直线的交点都是该图象的对称中心。
，凡是该
4. 由y＝sinx的图象变换出y＝sin（ωx＋）的图象一般有两个途径，只有区别
开这两个途径，才能灵活地进行图象变换。
利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现.无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少。
途径一：先平移变换再周期变换（伸缩变换） 先将y＝sinx的图象向左（
＞0）或向右（
＜0＝平移｜
｜个单位，
再将图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），便得到y＝sin（ωx＋）
的图象。
途径二：先周期变换（伸缩变换）再平移变换。
先将y＝sinx的图象上各点的横坐标变为原来的倍（ω＞0），再沿x
轴向左（＞0）或向右（＜0，平移个单位，便得到y＝sin（ωx＋）的
图象。
5. 对称轴与对称中心： 对于
称轴与最值点相联系。
6. 五点法作y=Asin（ωx+）的简图：
的对称轴为的对称轴为
和
，对称中心为，对称中心为
； ；
来说，对称中心与零点相联系，对
五点法是设X=ωx+，由X取0、、π、、2π来求相应的x值及
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
对应的y值，再描点作图。
【典型例题】
例1. 把函数y=cos（x+则的最小值是（ ）
A. B. C. D.
解：先写出向左平移4个单位后的解析式，再利用偶函数的性质求解。
）的图象向左平移个单位，所得的函数为偶函数，
向左平移个单位后的解析式为y=cos（x++）
则cos（－x++）=cos（x++），
cosxcos（+）+sinxsin（+）=cosxcos（+）－sinxsin（+）
∴sinxsin（+）=0，x∈R.
∴+=kπ，∴=kπ－＞0
∴k＞，∴k=2，∴=
答案：B
例2. 试述如何由y=sin（2x+）的图象得到y=sinx的图象。
解：y=sin（2x+）
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一
条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
另法答案：
（1）先将y=sin（2x+）的图象向右平移个单位，得y=sin2x的图象；
（2）再将y=sin2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍（纵坐标不变），得
y=sinx的图象；
（3）再将y=sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍（横坐标不变），即可得到y=sinx的图象。
例3. 求函数y=sin4x+2
sinxcosx－cos4x的最小正周期和最小值；并写出该函数
在［0，π］上的单调递增区间。
解：y=sin4x+2
sinxcosx－cos4x
sin2x
=（sin2x+cos2x）（sin2x－cos2x）+=
sin2x－cos2x
=2sin（2x－）.
故该函数的最小正周期是π；最小值是－2；单调递增区间是［0，］，［π］
，
点评：把三角函数式化简为y=Asin（ωx+）+k（ω＞0）是解决周期、最值、单调区间问题的常用方法。
例4. 已知电流I与时间t的关系式为
。
（1）下图是（ω＞0，）
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
在一个周期内的图象，根据图中数据求的解析式；
（2）如果t在任意一段秒的时间内，电流都能取得最
大值和最小值，那么ω的最小正整数值是多少？
解：本小题主要考查三角函数的图象与性质等基础知识，考查运算能力和逻辑推理能力。
（１）由图可知 A＝300
设t1＝－，t2＝
则周期T＝2（t2－t1）＝2（＋）＝
∴ω＝＝150π
将点代入
∴＝
故所求的解析式为
（2）依题意，周期T≤，即≤，（ω>0）
∴ω≥300π＞942，又ω∈N* 故最小正整数ω＝943．
点评：本题解答的开窍点是将图形语言转化为符号语言．其中，读图、识图、用图是形数结合的有效途径。
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
【模拟试题】
1. 在（0，2π）内，使sinx＞cosx成立的x的取值范围是（ ）
A. （，）∪（π，） B. （，π）
C. （，） D. （，π）∪（，）
2. 如果函数f（x）=sin（πx+θ）（0＜θ＜2π＝的最小正周期是T，且当x=2时取得最大值，那么（ ）
A. T=2，θ= B. T=1，θ=π C. T=2，θ=π D. T=1，
θ=
3. 设函数f（x）=A+Bsinx，若B＜0时，f（x）的最大值是则A=_______，B=_______。
，最小值是－，
4. 已知函数y=tan（2x+）的图象过点（，0），则可以是（ ）
A. － B. C. － D.
5. 函数y=sin（－2x）+sin2x的最小正周期是（ ）
A. 2π B. π C. D. 4π
6. 若f（x）sinx是周期为π的奇函数，则f（x）可以是（ ） A. sinx B. cosx C. sin2x D. cos2x
7. 函数y=2sin（－2x）（x∈［0，π］）为增函数的区间是（ ）
A. ［0，］ B. ［，］
C. ［，］ D. ［，π］
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
8. 把y=sinx的图象向左平移个单位，得到函数__________的图象；再把所得
图象上的所有点的横坐标伸长到原来的2倍，而纵坐标保持不变，得到函数__________的图象。
9. 函数y=lg（cosx－sinx）的定义域是_______.
10. f（x）=2cos2x+sin2x+a（a为实常数）在区间［0，］上的最小值为－4，
那么a的值等于（ ）
A. 4 B. －6 C. －4 D. －3
【试题答案】
1. 答案：C
2. 解析：T==2，又当x=2时，sin（π·2+θ）=sin（2π+θ）=sinθ，要使
上式取得最大值，可取θ=
答案：A
。
3. 解析：根据题意，由可得结论
答案： －1
4. 解析：将（检验即可。
答案：A
，0）代入原函数可得，tan（+）=0，再将A、B、C、D代入
5. 解析：y=答案：B 6. 答案：B
cos2x－sin2x+sin2x=cos2x+sin2x=sin（+2x），T=π.
7. 解析：对于y=2sin（－2x）=－2sin（2x－），其增区间可由y=2sin（2x
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
－）的减区间得到，即2kπ+≤2x－≤2kπ+，k∈Z。
∴kπ+答案：C
≤x≤kπ+，k∈Z.令k=0，故选C.
8. 解析：向左平移个单位，即以x+代x，得到函数y=sin（x+），再把所
得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，即以x代x，得到函数：y=sin（
x+）。
答案：y=sin（x+） y=sin（x+）
9. 解析：由cosx－sinx＞0（k∈Z）
cosx＞sinx.由图象观察，知2kπ－＜x＜2kπ+
答案：2kπ－＜x＜2kπ+（k∈Z）
10. 解析：f（x）=1+cos2x+sin2x+a=2sin（2x+）+a+1.
∵x∈［0，］，∴2x+∈［，］.
∴f（x）的最小值为2×（－∴a=－4.
）+a+1=－4
每一个人的成功之路或许都不尽相同，但我相信，成功都需要每一位想成功的人去努力、去奋斗，而每一条成功之路，都是充满坎坷的，只有那些坚信自己目标，不断努力、不断奋斗的人，才能取得最终的成功。但有一点我始终坚信，那就是，当你能把自己感动得哭了的时候，你就成功了！
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