■山东已知三角函数值或三角函数式求角的问题，其实质是转化为“给值求值”问题，这类问题的关键是变角，即把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得所求角，但注意不要忽视对所求角的范围的讨论。一、已知三角函数值求角侧，已知ｔａｎａ一７，ｔａｎｐ一３，口，卢均为锐角，崔传红商丽等，求口＋ｐ的值。解：由口，卢∈（。，号），可得ｓｉｎａ＝竽，ｓｉｎ卢一求Ｏｔ＋２口的值。：ｔａｎ等。所以ｃｏＳ（口州＝ＣＯＳｔＸＣＯＳ卢－Ｓｉ㈣ｉｎ卢一譬×巫ｉ０一竽×百３ＪＴＧ＝．＿２。因为口＋ｐ∈（ｏ，兀），所以口＋１９一荨。评注：解答此类问题要注意两点：一要深入讨论口，卢的取值范围，根据三角函数值，缩小角的范围，从而求出准确的角，否则就会扩大解集，如例１中，如果直接利用０。＜口＜９０。，ＯＯ＜卢＜９０。，Ｏ。＜口＋２卢＜２ｆｌ一再２ｔａ丽ｎｆｌ一篇一一知ｎ（口均），７０一ｔａｎ口＋ｔａｎ卜ｔａｎ口‘ａｎ２卢一７一了一、ｈ２卢１＋７ｘｉ３中掌数理丫巴生由于ｔａｎａ＝７＞厢，ｔａｎ卢一３＞幅，ａ，卢为锐角，可得６０。＜口＜９０。，６０。＜卢＜９０。，则１８０。＜口＋２卢＜２７０。。所以口＋２ｆｌ＝２２５。。倒２２７０。，就会得出口＋ｆｌ＝４５。或口＋ｐ一２２５。。二要准确选择解题的方法，如例３中，如果利用ｓｉｎ（ａ＋ｐ）的值求ａ＋卢的话，就会扩大解集，而合理解法是利用ＣＯＳ（口＋ｐ）的值，因为余弦函数在（ｏ，７ｃ）上是单调的，这样就不会扩大解集了。二、已知三角函数式求角倒簟已知ａ，Ｊ９，ｙ成公比为２的等比数列，口∈已知ｔａｎ（口一卢）一百１，ｔａｎ卢一一了１，且口，高●■～ｐ∈（ｏ，耳），求２ａ一．；８的值。解：由２ａ一卢一２（口一ｆ１）＋ｆｌ，ｔａｎ（口一卢）＝虿ｌ，可使用得ｔａｎ［２（，ｚ－ｆ１）］一Ｆ２ｔ丽ａｎ（丽ａ－－ｆ１）一詈。ｔａｎ［２（ａ一卢）］－［－ｔａｎ』９—３［ｏ，２７ｃ］，且ｓｉｎ口，ｓｉｎ卢，ｓｉｎｙ也成等比数列，求口，卢，ｙ的值。解：由口，卢，ｙ成公比为２的等比数列，可得卢一２口，ｙ＝２卢一ｂ。由条件得ｓｉｎ２口一ｓｉｎａｓｉｎ７，所以ｓｉｎｚ２ａ—ｓｉｎ口・ｓｉｎ４口＝２ｓｉｎ口ｓｉｎ２ａＣＯＳ２ａ＝＞ｓｉｎ２ａ一２ｓｉｎ口ＣＯＳ２ａ＝＞所以ｔａｎ（２ａ—ｐ）一ｔａｎ［２（口一ｐ）＋』９］一三一土堑豇２５ｆｌ７—２１一、ｋ１－－ｔａｎ［２（ａ－－ｆ１）］ｔａｎ／？１＋了４×了１由ｔａｎ口＝ｔａｎ［（ａ－－１９）＋ｐ］＝Ｆｔａｎ丽（ａ－－茅ｆ１）丽＋ｔａｎ兀，一兀＜一卢＜一号。所以一兀＜２ａ一卢＜ｏ。所以２ａ－－卢一一荨。ＣＯＳ口５ＣＯＳ２ａ：＝＞２ｃｏｓ２口一ＣＯＳ口一１＝Ｏ＝＞ｃｏｓ口＝一÷或ＣＯＳ口＝１（不合题意舍去）。一了１＜１，且ｏ＜口＜７ｃ，可得ｏ＜ａ＜｛，即ｏ＜２乜＜号。由ｏ≤口≤２丌，可得口一孥或口一孥。由ｔａｎ卢一一了１＜ｏ，且卢∈（ｏ，兀），可得詈＜卢＜由上可得口一警，卢一警，ｙ一警或ｄ一等，卢一８，ｔ了，ｙ一了。１６芤倒芗锐角口，ｐ满足条件鬲ｓｉｎ币４ａ＋詈嚣一１，求口＋口的值。倒了已知ａ，卢∈（ｏ，号），Ｒｃｏｓ一４ｉ５，ｃ。ｓ卢一钙的摄入量应为每人每天７００万方数据ｍｇ～１０００解：由已知可设端ＣＯ＝ｃ刚，端ＳＩｎ＿ｓ圳＇贝¨ｓ口“泥鳅比牛奶含钙多。缺钙不但会危害骨骼健康，还会导致失眠甚至脾气暴躁。营养专家建议，１９～５０岁的成年人ｍｇ。ｓｉｎ２ａ—ＣＯＳＯｃｏｓ卢①，ＣＯＳ２口一ｓｉｎＯｓｉｎｐ②。ｓｉｎ（口＋卢），求口＋卢的值。解：由ａ，卢为锐角，可知ｓｉｎａ＞Ｏ，ｓｉｎＪ９＞Ｏ。由已知条件可得ｓｉｎ口（ｓｉｎ口一ＣＯＳ卢）一ｓｉｎＪ９・（ｃｏｓ口一ｓｉｎ卢）。要使上式成立，只能有下列三种情况：由①＋②可得ＣＯＳ（口一卢）一１净日一卢一２ｋｎ（ｋ∈ｚ），即得口一２ｋ７【＋卢（是∈Ｚ）。所以ｓｉｎ２口—ｓｉｎ２卢。ＣＯＳＯｃｏｓｆｌ＝ＣＯＳ２卢，ＣＯＳ２口＝ｓｉｎＯｓｉｎｆｌ由口，卢为锐角，可得ｓｉｎａ＝ｃｏｓ卢一ｓｉｎ（号一卢），７一（１）』３ｉｎａ＞ｃ。８卢＞ｏ，ＩＣＯＳａ＞ｓｉｎ卢＞ｏ。所以口一詈一卢，即口＋卢一詈。倒６ｓｉｎ（２）』８ｉｎａ一。。５卢’ｌＣＯＳ口一ｓｉｎ口。若ａ，卢，７均为锐角，且ｓｉｎ口＋ｓｉｎ１１９，ＣＯＳｆｌ＋ｃｏｓｙ—ＣＯＳ口，求ａ一卢的值。（３）Ｉｏ＜５ｉｎ口＜。。５卢’ＩＯ＜ＣＯＳ口＜ｓｉｎ卢。第（１）种情况将产生矛盾：１一ｓｉｎ２口＋ＣＯＳ２口＞ＣＯＳ２卢＋ｓｉｎ２卢一１。第（３）种情况也将产生矛盾：１一ｓｉｎ２口＋ＣＯＳ２口＜ＣＯＳ２Ｊ９＋ｓｉｎ２Ｊ９一ｌ。解：由已知条件可得』ｓｉｎｙ—ｓｌｎ卢一５ｍ口，ｌＣＯＳ７一ＣＯＳ口一ＣＯＳ∥。将上面两式平方相加得ｃ。。（口一卢）一百１。由口，卢均为锐角，可得口一卢一±号。在已知条件ｓｉｎ口＋ｓｉｎ７一ｓｉｎｐ中，由口，卢，７均为锐角，可知ｓｉｎａ＞ｏ，ｓｉｎｐ＞ｏ，ｓｉｎ７＞０，由此可知ｓｉｎ在第（２）种情况下，由ｏ＜ａ＜詈，ｏ＜卢＜詈，可得ａ一号～卢卿口＋卢一号。综上可知口十卢一号。ａ＜ｓｉｎ卢，再由ａ，ｐ均为锐角知口＜卢。所以ａ一卢一一号（口一卢一号，不合题意舍去）。侧７已知０＜口＜卢＜ｙ＜２Ｔｃ，且ＣＯＳ口＋ＣＯＳ』９＋ＣＯＳ侧９已知口，卢为锐角，且詈嚣＋詈筹一２，求０ｔ＋卢的值。７—０，ｓｉｎ口＋ｓｉｎ卢＋ｓｉｎ７—０，求卢一ａ的值。解：由已知得ＣＯＳ口＋ＣＯＳ卢一一ＣＯＳ７，ｓｉｎ口＋中掌生数理Ｔ匕解：（１）若号＜口＋卢，则詈＞口＞号一卢＞ｏ。所以ｏ＜ｃ。ｓｓｉｎ卢一一ｓｉｎ７。将上面两式平方相加得ｃ。ｓ（卢一口）一一ｉ１。由ａ＜ｃ。ｓ（号一卢）＝ｓｉ唯即舞＜１ａ。＜ａ＜卢＜ｙ＜２丌，可得卢一口一警或卢一ａ一等。当Ｊ８～ａ一等，即ｐ一警＋口时，ｙ一卢一擎寺ｙ一警＋ａ＋誓一２丌＋ａ＞２兀，或ｙ一卢一警≥ｙ一警＋口＋孥一娑＋口＞２丌。显然都与ｏ＜ｙ＜２７ｃ矛盾。０Ｊ①。同理可得罂业＜１②。ｓｌｎ高一使用∥口由①＋②得面ｃｏｓｎｌＳｆｌａ＿ｓｏｃＦｓｌｎ＜２，这与舞ｓｉｎ＋舞Ｓｌｎ口ａ一２矛盾。（２）若口＋卢＜詈，则ｏ＜口＜詈一卢＜等。所以。＜ｓｉｎ口＜ｓｉｎ（号一卢）一ｃ。ｓ卢，即面ｃｏｓｆｌ＞１③。同理可得骂兰＞１④。ｓｌｎ口所以满足题意的卢一ａ＝警。评注：当三角函数式中出现较多的差异角时，化异为同是已知三角函数式求角的重要原则，变角则是其中之一。解这类问题时，需要注意观察角与角之间的和、差、倍、半关系，化多角为单角或减少未知角的数目，沟通条件与结论的差异，使得问题顺利获解。由于三角函数的独特性质，此类问题需要深入挖掘因变角产生的隐含因素，否则就会产生错解。三、利用不等式求角倒Ｐ设锐角ａ，卢满足等式ｓｉｎ２口＋ｓｉｎ２卢一由③＋④得粤＋舞＞２，这与丽ＣＯＳｌｎ／．４一２也矛盾。Ｓ１ｎ口Ｓ１１１＋纂ｓｌｎｄ厶ａ由（１），（２）可知满足题意的口＋卢一号。评注：已知三角函数式求角问题，可转化为三角等式的证明问题。证明不等式Ａ＞Ｂ或Ａ＜Ｂ同时不成立，即可得Ａ—Ｂ成立，这是三角函数求角中的一种解题策略。（责任编辑郭正华）牛奶可以说是很好的补钙食物。一袋牛奶（２５０ｇ）含２６０ｍｇ钙，虽然看上去很可观，但也少于１００ｇ泥鳅所含的２９９ｍｇ钙。万方数据