解三角形练习题附答案

1.在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.若2asinB＝A．

B．

C．

D．

b，则角A等于( )

2.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcosC＋ccosB＝asinA，则△ABC的形状为( )

A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定 二、填空题

3.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且 (2＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________． 4. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知4sin2a＋b＝5，c＝

，则△ABC的面积为________．

－cos 2C＝

，且

5.如图，在△ABC中，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sin∠BAC＝，AB＝3，AD＝3，

则BD的长为________．

6.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知a≠b，c＝sinAcosA－

sinBcosB.

，cos2A－cos2B＝

(1)求角C的大小； (2)若sinA＝

7.在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知4sin2(1)求角C的大小；

(2)已知b＝4，△ABC的面积为6，求边长c的值．

＋4sinAsinB＝2＋

.

，求△ABC的面积．

8.在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C所对的边，且c＝－3bcosA，tanC＝(1) 求tanB的值；

(2) 若c＝2，求△ABC的面积．

9.在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，且acosC＋(1) 求角A的大小；(2) 若a＝

10.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角（2）若角

11.在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c.已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1. (1)求角A的大小； (2)若△ABC的面积S＝5

12.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝(1)求tanC的值； (2)若a＝

13.如图，在△ABC中，∠B＝(1)求sin∠BAD； (2)求BD，AC的长．

，求△ABC的面积．

，sinB＝

，b＝5，求sinBsinC的值．

的值；

，

边上的中线

=

，求

的面积． ＝

．

，b＝4，求边c的大小．

c＝b.

.

cosC.

，AB＝8，点D在BC边上，且CD＝2，cos∠ADC＝.

答案解析

1.【答案】A

【解析】本题主要考查锐角三角形的定义、正弦定理与解三角方程，意在考查考生的转化能力与三角变换能力．由正弦定理可得，2asinB＝

b可化为2sinAsinB＝

sinB，又sinB≠0，所以

sinA＝，又△ABC为锐角三角形，得A＝.

2.【答案】B

【解析】本题考查正弦定理和两角和的正弦公式的逆用．依据题设条件的特点，由正弦定理，得sinBcosC＋cosBsinC＝sin2A，有sin(B＋C)＝sin2A，从而sin(B＋C)＝sinA＝sin2A，解得sinA＝1，∴A＝

，故选B

＝

＝

＝2R，a＝2，

3.【答案】【解析】∵

又(2＋b)(sinA－sinB)

c， ＝(c－b)sinC可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc. ∴

＝

＝

. ＝cosA，∴A＝60°

∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos 60°

＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)， ∴S△ABC＝

·sinA≤bc·

×4×

＝

.

4.【答案】

【解析】因为4sin2－cos 2C＝

，所以2[1－cos(A＋B)]－2cos2C＋1＝，2＋2cosC－

2cos2C＋1＝，cos2C－cosC＋＝0，解得cosC＝.根据余弦定理，有cosC＝＝

，则ab＝a2＋b2－7，故3ab＝a2＋b2＋2ab－7＝(a＋b)2－7＝25－7＝18，所以ab

＝6，所以△ABC的面积S△ABC＝absinC＝×6×＝.

5.【答案】

【解析】题考查诱导公式、余弦定理等基础知识，意在考查考生的转化和化归能力、运算求解能力．

因为sin∠BAC＝

，且AD⊥AC，

所以sin＝，所以cos∠BAD＝，在△BAD中，由余弦定理得，

BD＝

＝＝.

6.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由题意得

－

＝

sin 2A－

sin 2B，

即sin 2A－cos 2A＝sin 2B－cos 2B，

sin＝sin.

由a≠b，得A≠B.又A＋B∈(0，π)，得 2A－

＋2B－

＝π，

即A＋B＝，所以C＝.

(2)由c＝，sinA＝，＝，得a＝.

由a故sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝所以，△ABC的面积为 S＝

acsinB＝

.

，

7.【答案】（1）；（2）.

，

【解析】(1)由已知得2[1－cos(A－B)]＋4sinAsinB＝2＋化简得－2cosAcosB＋2sinAsinB＝

，

故cos(A＋B)＝－，

所以A＋B＝，从而C＝.

(2)因为S△ABC＝absinC，

由S△ABC＝6，b＝4，C＝，得a＝3.

.

由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcosC，得c＝8.【答案】（1）

；（2）

.

【解析】(1) 由正弦定理，得sinC＝－3sinBcosA，

即sin(A＋B)＝－3sinBcosA.所以sinAcosB＋cosAsinB＝－3sinBcosA.

从而sinAcosB＝－4sinBcosA.因为cosAcosB≠0，所以＝－4.

又tanC＝－tan(A＋B)＝，由(1)知，＝，解得tanB＝.

(2) 由(1)，得sinA＝，sinB＝，sinC＝.

由正弦定理，得a＝＝＝.

所以△ABC的面积为acsinB＝××2×＝.

9.【答案】（1）；（2）2±.

【解析】(1) 用正弦定理，由acosC＋c＝b，

得sinAcosC＋sinC＝sinB.

∵ sinB＝sin(A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC， ∴

sinC＝cosAsinC.

∵ sinC≠0，∴ cosA＝.

∵ 0(2) 用余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA. ∵a＝

，b＝4，

∴ 15＝16＋c2－2×4×c×. 即c2－4c＋1＝0.

则c＝2±.

；（2）

，由正弦定理 ，

=

sin(A+C) ．

10.【答案】（1）【解析】（1）因为得即

因为B＝π－A－C，所以sinB=sin(A+C)， 所以

因为B∈(0，π)，所以sinB≠0， 所以

，因为

，所以

．

．

（2）由（1）知，所以，．

设，则，又

在△AMC中，由余弦定理 得即

解得x＝2.

故

11.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)由cos 2A－3cos(B＋C)＝1， 得2cos2A＋3cosA－2＝0， 即(2cosA－1)(cosA＋2)＝0， 解得cosA＝

或cosA＝－2(舍去)．

因为0(2)由S＝bcsinA＝bc·＝bc＝5，得bc＝20.又b＝5，知c＝4.由余弦定理得a2＝

b2＋c2－2bccosA＝25＋16－20＝21，故a＝又由正弦定理得sinBsinC＝

sinA·sinA＝

. sin2A＝

×＝

.

12.【答案】（1）；（2）

【解析】(1)因为0＜A＜π，cosA＝，得sinA＝＝.

又cosC＝sinB＝sin (A＋C)＝sinAcosC＋cosAsinC＝cosC＋sinC.

所以tanC＝.

(2)由tanC＝，得sinC＝，cosC＝.

于是sinB＝cosC＝.

由a＝及正弦定理＝，得c＝.

设△ABC的面积为S，则S＝acsinB＝.

13.【答案】（1）（2）7

【解析】(1)在△ADC中，因为cos∠ADC＝，

所以sin∠ADC＝.

所以sin∠BAD＝sin(∠ADC－∠B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB ＝

×－

×

＝

.

(2)在△ABD中，由正弦定理得

BD＝＝＝3.

在△ABC中，由余弦定理得

cosB＝82＋52－2×8×5×＝49. AC2＝AB2＋BC2－2AB·BC·所以AC＝7.