广西南宁市2020届高三第二次适应性测试数学(理)试题(含解析)

数学（理工类）

（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知集合Ax|x30,xN，B1,0,1,2,3，则AIB A.0,1,2

B.0,1,2,3

C.1,0,1,2

D.1,0,1,2,3

2.设复数z满足z1i2i，则 z A.

13i 225B.

313i 22C.13i D.13i

3.12x的展开式中x的系数为 A.80

B.20

C.20.

D.80

4.某学校为了解高三年级学生在线学习情况，统计了2020年2月18日-27日（共10天）他们在线学习人数及其增长比例数据，并制成如图所示的条形图与折线图的组合图.

根据组合图判断，下列结论正确的是

A.前5天在线学习人数的方差大于后5天在线学习人数的方差

B.前5天在线学习人数的增长比例的极差大于后5天的在线学习人数的增长比例的极差 C.这10天学生在线学习人数的增长比例在逐日增大

D.这10天学生在线学习人数在逐日增加

5.已知各项不为0的等差数列an的前n项和为Sn，若a52a2，则A.4

|x|S6 a2B.162 C.9 D.12

6.若函数ya（a0，且a1）的值域为0,1，则函数yloga|x|的图象大致是

A

B

C

D

x227.已知椭圆2y1（a1）的左，右焦点分别为F1，F2，过点F1的动直线l交椭圆于A，B两点.若

a△ABF2的周长为8，则a

A.4

B.22 C.2

D.2

8.某同学在课外阅读中国古代数学名著《孙子算经》时，为解决“物不知数”问题，设计了如图所示的程序框图.执行此程序框图，则输出的a的值为

A.13

B.18

C.23

D.28

9.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法错误的是 ．．

A.MN//平面ADD1A1

C.直线MN与平面ABCD所成角为45°

B.MNAB

D.异面直线MN与DD1所成角为60°

x2y210.已知双曲线E：221（a0，b0）的右焦点为F，以OF（O为原点）为直径的圆与双曲线

abE的两条渐近线分别交于点M，N（M，N异于点O）.若MFN120，则双曲线E的离心率为 A.4

B.2

C.

4 3D.

23 311.已知函数fxsinx（0）的图象经过点的周期可以是 A.

,0，一条对称轴方程为x.则函数fx6243 4B.

 2C.

 4D.

 12lnx,x012.已知函数fx，则当k0时，函数yffx1的零点个数为 kx1,x0A.4

B.3

C.2

D.1

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

r13.已知向量arrr3,1，向量b1,3，则a与b的夹角大小为___________.

14.某部门从已参与报名的甲、乙、丙、丁四人中选派1人去参加志愿者服务，结果出来前，甲、乙、丙、丁四人对选派人选做了如下预测： 甲说：丙或丁被选上； 丙说：丁被选上；

乙说：甲和丁均未被选上； 丁说：丙被选上.

若这四人中有且只有2人说的话正确，则被选派参加志愿者服务的是___________.

15.已知数列an中，a12，且对于任意正整数m，n都有amnaman，则数列an的通项公式是___________.

16.如图，正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，EF，AF把这个正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为G.若四面体AEFG外接球的表面积为的边长为___________.

，则正方形ABCD4

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生依据要求作答。 （一）必考题：共60分。 17.（本小题满分12分）

如图，在平面四边形ABCD中，B120，AB2.BAC的平分线与BC交于点E，且AE6.

（1）求BEA及AC；

（2）若ADC60，求四边形ABCD周长的最大值. 18.（本小题满分12分）

红铃虫（Pectinophora gossypiella）是棉花的主要害虫之一，其产卵数与温度有关.现收集到一只红铃虫的产卵数y（个）和温度x（℃）的8组观测数据，制成图1所示的散点图. 现用两种模型①yebxa，②ycxd分别进行拟合，由此得到相应的回归方程并进行残差分析，进一

2步得到图2所示的残差图.

根据收集到的数据，计算得到如下值：

x 25 z 2.89 t 646 xxii182 ttii182 zi18izxix 48.48 yytii18it 168 422688 70308 18182表中zilnyi；zzi；tixi；tti；

8i18i1（1）根据残差图，比较模型①、②的拟合效果，应选择哪个模型？并说明理由；

（2）根据（1）中所选择的模型，求出y关于x的回归方程（系数精确到0.01），并求温度为34℃时，产卵数y的预报值. （参考数据：e5.18178，e5.46235，e5.52250，e5.83340）

ˆ的斜率和截距的最小二乘估ˆˆ附：对于一组数据1,v1，2,v2，…，n,vn，其回归直线vˆ计分别为vviii1nii1nˆ. ˆv，219.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥SABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，AD//BC，ADDC，ADC120，三角形SAB是等边三角形，平面SAB平面ABCD，E，F分别为AB，AD的中点.

（1）求证：平面SCD平面SEF；

（2）若AB2，求直线SF与平面SCD所成角的正弦值 20.（本小题满分12分）

已知函数fxexax，其中e是自然对数的底数. （1）若ae，证明：fx0；

（2）若x0,时，都有fxfx，求实数a的取值范围. 21.（本小题满分12分）

已知抛物线C：x2y，过点A1,1且互相垂直的两条动直线l1，l2与抛物线C分别交于P，Q和M，N.

2（1）求四边形MPNQ面积的取值范围；

（2）记线段PQ和MN的中点分别为E，F，求证：直线EF恒过定点.

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。 22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系xOy中，已知曲线C1：x2t1cos1x2t2cos2（t1为参数），曲线C2：（t2为

ytsinytsin1122参数），且tan1tan21，点P为曲线C1与C2的公共点. （1）求动点Ｐ的轨迹方程；

（2）在以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为

2cossin100，求动点P到直线l的距离的取值范围.

23.（本题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知a，b，c都为正实数，且abc3.证明： （1）2a12b12c133；

（2）1111118. a3b3c327

南宁市2020届高中毕业班第二次适应性测试

数学（理工类）参考答案

评分说明：

1.本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评分细则。

2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。

3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题（60分）

1.命题意图：本小题主要考查一元一次不等式的自然数解和集合的交集运算等基础知识；考查运算求解能力. 解析：选择A.由集合Ax|x30,xN0,1,2，所以AIB0,1,2.

2.命题意图：本小题主要考查复数的除法、乘法运算，共轭复数的概念等基础知识；考查运算求解能力. 解析：选择B.因为z132i2i1i13i，则zi. 1i222223.命题意图：本小题主要考查二项式定理，展开式指定项的系数等基础知识；考查运算求解能力，应用意识. 解析：选择A.由Tr1C52x知r3时，展开式中x的系数为C5280.

r3r334.命题意图：本小题考查统计图表等基础知识，考查统计思想以及学生数据处理等能力和应用意识. 解析：选择D.根据统计图表可知，A，B，C项错误，D项正确.

5.命题意图：本小题主要考查等差数列通项公式和前n项和公式等基础知识，考查运算求解等数学能力. 解析：选择C.由题

S6S63a1a63a2a53a22a29. a2a2a2a2a26.命题意图：本小题主要考查含绝对值的指数函数和对数函数的图象及其性质等基础知识；考查逻辑推理能力，应用意识.

解析：选择B.由函数ya（a0，且a1）的值域为0,1得0a1，则x0时，ylogaxlogax|x|单调递减，排除A，C，D.

7.命题意图：本小题主要考查椭圆的定义及其性质、直线与椭圆的位置关系等基础知识；考查运算求解；考

查数形结合等数学思想.

解析：选C.根据椭圆的定义，△ABF2的周长为4a，所以a2.

8.命题意图：本小题主要考查程序框图的应用等基础知识；考查阅读理解能力，运算求解能力，数据处理能力，应用意识.

解析：选择C.输入n1，得a8，不满足

a2a2Z；输入n2，得a13，不满足Z；输入2121n3，得a18，不满足

a2a2Z；输入n4，得a23.满足Z.即输出a的值为23. 21219.命题意图：本小题主要考查直线与平面平行，垂直的判定与性质、直线与平面所成角、异面直线所成角等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力.

解析：选择D.如图，连结BD，A1D，由M，N分别为AC，A1B的中点知MN//A1D，选项A、B、C均正确；而A1DD1为异面直线MN与DD1所成角，应为45°.

10.命题意图：本小题主要考查双曲线及其性质等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查数形结合等数学思想.

解析：选择D.因为OF为直径，点M在圆上，所以OMMF .又MFN120，由圆的对称性，有

MFO60，所以MOF30 .由渐近线斜率tanMOFb3，所以离心率为a323be1.

3a11.命题意图：本小题主要考查三角函数的图象和性质、正弦型函数fxsinx图象和性质等基本知识；考查推理论证等数学能力，化归与转化等数学思想. 解析：选择B.由

26242k1T，则T，kZ，当k0时，T. 44k2212.命题意图：本小题主要考查分段函数的图象，函数的零点等基础知识；考查逻辑推理能力，分类讨论思想，数形结合思想，方程思想，应用与创新意识.

解析：选择B.在平面直角坐标系中作出函数yfx（k0）的图象如图所示.令ffx10，得

1x，则或（）.当时，显然存在2个零点，x21；ffx1t1fx0fxtfx01k当fxt（t1）时，存在1个零点x3.故函数yffx1的零点个数为3. 二、填空题（20分）

13.命题意图：本小题主要考查平面向量的数量积、两个向量的夹角等基础知识；考查运算求解能力.

rr解析：填150°（或5/6），由cosa,b3,11,331132222233， 42所以夹角为150°.

14.命题意图：本小题主要考查学生逻辑推理等基础知识；考查逻辑推理等能力.

解答：填丁.若甲被选上，甲、乙、丙、丁错误，不满足条件；乙被选上，甲、丙、丁错误，乙正确，不满足条件；丙被选上，甲、乙、丁正确，丙错误，不满足条件；丁被选上，甲、丙正确，乙、丁错误，满足条件. 15.命题意图：本小题主要考查数列以及前n项和等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力.

解析：填an2.数列an中，令m1，得an12an，则an是首项和公比均为2的等比数列，则an2.

nn16.命题意图：本小题主要考查直线与平面垂直的判定、球体表面积公式、几何体切割等基础知识；考查空间想象能力、论证推理能力、运算求解能力及创新意识；考查化归与转化等数学思想.

解析：填2.依题意，折叠后的四面体如图1.设正方形边长为a，内切球半径为r，则AGa，EGFG记四面体内切球球心为O，如图2，有

a.2VAEFGVOEFGVOAEFVOAEGVOAFG.

即VAEFG1S△EFGS△AEFS△ABGS△AFGr， 3即11aa11aa2r，所以a8r.又4r2，即r，所以a2.

3222344三、解答题（共70分）

17.命题意图：本小题主要考查正弦定理、余弦定理等基本知识，考查化归与转化等数学思想以及推理论证、运算求解等数学能力. 解析：（1）在△ABE中， 由正弦定理得sinAEBABsinB2sin1202. AE26…………3分

又AEBB，则AEB45，于是BAE1801204515. 所以BAC30，ACB1801203030. 所以BCAB2.

在△ABC中，根据余弦定理得AC22222cos12012， 所以AC23.

…………6分

222（2）令ADm，CDn， 在△ACD中，根据余弦定理得23即有mn22m2n22mncos60mn3mn，

222mn12， mn，即123mn12342所以mn43，当且仅当mn23时，“＝”成立. 所以，四边形ABCD周长的最大值为443.

…………12分

18.命题意图：本小题主要考查回归方程、统计案例等基本知识，考查统计基本思想以及抽象概括、数据处

理等能力和应用意识. 解析：（1）应该选择模型①.

…………2分

由于模型①残差点比较均匀地落在水平的带状区域中，且带状区域的宽度比模型②带状宽度窄，所以模型①的拟合精度更高，回归方程的预报精度相应就会越高，故选模型①比较合适.

…………4分

ˆ. ˆbxˆa（2）令zlny，z与温度x可以用线性回归方程来拟合，则zˆbzi188izxix2ixxi148.480.289， 168…………6分

ˆ2.890.289254.34， ˆzbx所以aˆ0.29x4.34. 则z关于x的线性回归方程为z于是有lny0.29x4.34，

…………8分

ˆe所以产卵数y关于温度x的回归方程为y当x34时，ye0.29344.340.29x4.34 …………10分

e5.52250（个）.

…………12分

所以，在气温在34℃时，一个红铃虫的产卵数的预报值为250个.

19.命题意图：本小题主要考查平面与平面垂直的判定、平面与平面垂直的性质、直线与平面所成角、空间向量处理立体几何问题等基础知识；考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化等数学思想.

解析：（1）因为平面SAB平面ABCD，平面SABI平面ABCDAB， SE平面SAB，SEAB，所以SE平面ABCD. 又因为CD平面ABCD，所以SECD.

连接BD，因为E，F分别为AB，AD的中点，所以BD//EF. 因为ADDCAB，所以ABDADB. 又因为BADADC120，所以ADB30， 所以BDC90，所以BDCD. 又因为BD//EF，所以CDEF. 又SEIEFE，所以CD平面SEF.

…………3分 …………4分 …………5分 …………6分 …………1分 …………2分

又因为CD平面SCD，所以平面SCD平面SEF.

（2）过E作EN//CD，则ES，EF，EN两两垂直， 故可如图建立空间直角坐标系.

…………7分

在△BDC中，易求得BD23，CD2，BC4.

533133则E0,0,0，F0,3,0，S0,0,3，C,22,0，D2,2,0.

133533,,3SC,,3，2222，SF0,3,3. …………8分 uuurrrrnSD0设平面SCD的法向量为nx,y,z，由ruu，可取n0,2,3. …………10分 urnSC0urruuuuurnSF326ruuur则cosn,SFr.

26n||SF|613故SD故SF与平面SCD所成角的正弦值为26. 26…………12分

20.命题意图：本小题主要考查指数函数，导数及其性质，不等式恒成立问题等基础知识；考查运算求解能力，推理论证能力，分类讨论思想，化归与转化思想，应用与创新意识. 解析：（1）由题意ae时，fxexex， 所以fxexe，当x1时，fx0； 当x,1时，fx0，fx单调递减； 当x1,时，fx0，fx单调递增； 所以fx在x1时取得极小值，也是最小值. 所以fxf10.

…………4分 …………2分

（2）令gxfxfxexex2ax，x0,，

由x0,时，都有fxfx，所以gx0在0,上恒成立.

…………5分

e2x10在0,上恒成立. 由gxee2a，令hxgx，则hxxexx所以gx在0,上单调递增，又g022a， 所以当a1时，gxg00， 所以gx在0,上单调递增，

所以gxg00，即fxfx，满足题意. 当a1时，因为gx在0,上单调递增， 所以gxming022a0，

存在t0,，使得当x0,t时，gx0，gx在0,t上单调递减， 所以当x0,t时，gxg00，这与gx0在0,上恒成立矛盾. 综上所述，a1，即实数a的取值范围,1.

…………12分 …………8分

21.命题意图：本小题主要考查抛物线及其性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想. 解析：（1）由题意可知两直线l1，l2的斜率一定存在，且不等于0. 设l1：ykx11（k0），Px1,y1，Qx2,y2，则l2：y1x11（k0）. k因为联立直线l1与抛物线的方程，有ykx112x2kx2k20， 2x2y…………2分

x1x22k其中4k80，由韦达定理，有.

xx2k21222由上可得PQ1kx1x21k84k，同理MN22141282，

kk则四边形MPNQ面积S1113222. PQMN2k8032k2222kk令k211t…2S.则k222t8032t8t236t40.

…………5分

所以，当且仅当t2，即k1时，S取得最小值12，且当t时，S.

故四边形MPNQ面积的范围是12,.

2 …………7分

（2）由（1）有x1x22k，y1y22k2， 所以PQ中点E的坐标为k,k1，同理点F的坐标为211,21. kk于是，直线EF的斜率为kEF1k2121k212kkk1， 11kkkkk2…………10分

则直线EF的方程为：yk1k所以直线EF恒过定点0,2. 选考题（10分）

11xkykx2， kk

…………12分

22.命题意图：本小题主要考查直线的参数方程、极坐标方程，圆的方程及轨迹方程的求法、不同方程形式的互化等基础知识；考查运算求解、推理论证能力和创新意识；考查化归与转化、数形结合等数学思想. 解析：（1）设点P的坐标为x,y.

因为点P为曲线C1与C2的公共点，所以点P同时满足曲线C1与C2的方程. 曲线C1消去参数可得tan1yy，曲线C2消去参数可得tan2. x2x2由tan1tan21，所以

2yy1. x2x22所以点P的轨迹方程为xy4（x2）.

（2）由已知，直线l的极坐标方程2cossin100，

…………5分

根据xcos，ysin可化为直角坐标方程：2xy100. 因为P的轨迹为圆xy4（去掉两点2,0），

22圆心O到直线l的距离为d1025， 5所以点P到直线l的距离的取值范围为252,252.

…………10分

23.命题意图：本小题主要考查基本不等式、不等式的证明方法、含绝对值的不等式等基本知识，考查学生

化归与转化等数学思想和推理论证等数学能力. 证明：（1）

2a12b12c1

22abc322a12b122b12c122c12a1

2abc32a12b12b12c12c12a1

）. 6abc927（当且仅当abc1取“=”所以2a12b12c133.

…………5分

（2）111111abc1abc1abc1 a3b3c33a33b33c3bcacab 3a3b3c12bc2ac2ab8（当且仅当abc1取“=”）. 27abc27…………10分

