－≯课多卜阅读 教育教学探讨《 圆锥曲线中的焦点三角形问题 王茂华 （乌鲁木齐市六十八中学，新疆椭圆、双曲线上的点与两个焦点鼻、 所成的三角形，常 称之为焦点三角形。解焦点三角形问题经常使用三角形边角关 乌鲁木齐８３００１ １） 解得：ｌｅＶ，Ｉ．１Ｐ ｌ＝６４ ＝．．． 系定理，解题中，通过变形，使之出现Ｉ ｆ＋ｌ ｌ＝２ａ，或 Ｉ Ｉ—ＩＰ ｛＝±２口，然后找到相关关系，进行解题。 一 圭× ＩＰＦ２［ｓｉｎ６０￣＝圭×６４× ２＿１６ 简单的焦点三角形问题 例１：已知点尸（１，ｋ），在椭圆 ＋二‘ ‘；一 ． 中， 、Ｆ２为椭圆的 焦点，则＊ｘＰＦＩＦ２的面积为一一 分析：・．・Ｆ（１，０），Ｐ（１，七） ・．．ＰＦ上ｘ轴 ‘．．△ ｌＦ２为直角三角形 ・‘．当 ：１时，Ｙ＝± ＝ × ． № Ｉ＝ ×２×寻：昙 二 与焦点三角形有关的轨迹问题 例２：－￣Ｍ（Ｏ，一５），Ⅳ（０，５）， 脚的周长为３６，则求△ＭＮＰ的 顶点Ｐ的轨迹方程。 分析：以ＭＮ所在的直线为Ｙ轴，ＭＮ的垂直平分线为 轴建 立平面直角坐标系 ．．．Ｉ ｌ＋ｊ Ｉ－３６—１０＝２６＞１０ ・．．Ｐ的轨迹是到定点Ｎ（０，５），Ｍ（０，一５）的距离的和为１ｏ的椭 圆 ‘’．２ａ＝２６， ‘．．ａ＝１３．又‘． Ｃ＝５ ＭＮＰ 轨迹方程为一．・． 的顶点Ｐ 的轨迹方程为 １６９＋ ｙ２。 １４４＝ 一～。≠叭。 三、面积问题 ‘ Ｙ 例３：已知曲线 一 ，Ｐ为双曲线上一点， 、 是双 曲线的两个焦点， ＝６０。，求 明 的面积。 分析：由双曲线定义，余弦定理得： ｆ ５ｌ—Ｉ ｌ：±２日 Ｉ１￣１２＋ ｌ Ｉ．ＩＰＦ￣［ｃｏｓ６０。＝（２ｃ）２ ・３６２・ 四、最值问题 ：、，： 例４：已知椭圆 ＋ ，（口＞６ 叭， 、 分别为其左右 两焦点，Ｐ为椭圆上任意一点，０： ， 求：（１）０的最大值； （２） 的面积的最大值； （３） 的周长的最大值。 分析：（１）令ｌ ｌ＝ｍ，ｆ Ｉ＝ ，则有： ｆ ＋ ＝２ａ １ Ｉ ｚｍ／＋一＋ 一／２ ２ ２ａｒｍｎ ｃｏｓＯ：（Ｏ ）＝ ，２ｃ ２ ｃｏｓＯ： ｍ ＋ —４ｃ ‘．． ２ｍｎ 又 ．。ｍ ＋ｎ ＝４口 一２ｍｎ ４口 一２ｍｎ一４ｃ ２６ ． Ｃ０Ｓ廿＝ 一１ ‘．． ２ｍｎ 又・．・２ａ： ＋ ≥２√ ・．．ｍｎ 口 （当且仅当ｍ＝ｎ时，取“＝”） ・．．。 ａｒｃｃｏｓ０ｆ堡ａ２一 １ 并且 时， ｅ取得最；￣ｆｆｉ ａｒｃｃｏｓ。 一 ］或 尢…ｏｓａ 一 ］ ｆ，、Ｓ．ｅｅ￣ｅ，＝ 曩Ｆ２ｌ＿ｈ 显然，由于Ｉ Ｉ：２ｃ，三角形的顶点位于椭圆短轴外端点， ｈ取得最大值，此时 取得最大值。 （３） 的周长ｃ： ｌ＋ＩＮｌ＋Ｉ １ ．．．Ｉ Ｉ＋Ｉ Ｉ＝２ａ，Ｉ 『＝２ｃ ・．．Ｃ为常数２ｄ＋２ｃ ・．． 的周长无最大值。