平面向量及其应用经典例题百度文库(1)

一、多选题

1．下列说法中正确的是（ ） A．对于向量a,b,c，有abcabc

B．向量e11,2，e25,7能作为所在平面内的一组基底

C．设m，n为非零向量，则“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件

D．在ABC中，设D是BC边上一点，且满足CD2DB，CDABAC，则0

2．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，ABC的面积为S.下列

ABC有关的结论，正确的是（ ）

A．cosAcosB0

B．若ab，则cos2Acos2B

2C．S4RsinAsinBsinC，其中R为ABC外接圆的半径

D．若ABC为非直角三角形，则tanAtanBtanCtanAtanBtanC

3．已知ABC的面积为3，在ABC所在的平面内有两点P，Q，满足2PAPC0，

QA2QB，记APQ的面积为S，则下列说法正确的是（ ）

A．PB//CQ B．

BP21BABC33

C．PAPC0 D．S2

10,1，P24,4.当P是线段PP12的一个三等分点4．已知在平面直角坐标系中，点P时，点P的坐标为（ ）

4,2A．3 4,3B．3

C．2,3

8,3D．3

5．ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，b满足AB2a，AC2ab，则下列结论正确的是（ ）

A．a是单位向量 B．BC//b

C．ab1 D．

BC4ab

6．已知ABC是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC、AB上的两点，且

AEEB，AD2DC，BD与CE交于点O，则下列说法正确的是（ ）

A．ABCE1 B．OEOC0

C．

OAOBOC32 7D．ED在BC方向上的投影为6

7．在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且

ab:ac:bc9:10:11，则下列结论正确的是（ ）

A．sinA:sinB:sinC4:5:6

B．ABC是钝角三角形

C．ABC的最大内角是最小内角的2倍

87D．若c6，则ABC外接圆半径为7

8．在ABC中，a15，b20，A30，则cosB=（ ）

A．

53

2B．3 2C．3

5D．3 9．下列命题中，结论正确的有（ ）

A．0a0

B．若ab，则|ab||ab|

C．若AB//CD，则A､B､C､D四点共线；

D．在四边形ABCD中，若ABCD0，ACBD0，则四边形ABCD为菱形.

10．给出下列命题正确的是（ ）

A．一个向量在另一个向量上的投影是向量

B．

ababa与b方向相同

C．两个有共同起点的相等向量，其终点必定相同

D．若向量AB与向量CD是共线向量，则点A,B,C,D必在同一直线上

11．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是A(3,7),B(4,6),C(1,2)．则第四个顶点的坐标为（ ）

A．(0,1) B．(6,15) C．(2,3) D．(2,3)

12．在ABCD中，设ABa，ADb，ACc，BDd，则下列等式中成立的是（ ）

A．abc B．adb C．bda D．

abc

13．如图所示，梯形ABCD为等腰梯形，则下列关系正确的是（ ）

ABDCABDCA． B．

C．ABDC D．BC∥AD

14．化简以下各式,结果为0的有( )

A．ABBCCA B．ABACBDCD

C．OAODAD

D．NQQPMNMP15．题目文件丢失！

二、平面向量及其应用选择题

a2bc3，则sinA2sinBsinC的值等于（ ）

16．在ABC中，A60，b1，SABC239A．3 263B．3 83C．3

D．23 17．已知ABC所在平面内的一点P满足PA2PBPC0，则S△PAB:S△PAC:S△PBC（ ）

A．1∶2∶3 B．1∶2∶1 C．2∶1∶1 D．1∶1∶2

18．在ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为ABC的面积，满足

bcosAacosB，且角B是角A和角C的等差中项，则ABC的形状为（ ）

A．不确定 B．直角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

19．下列说法中说法正确的有（ ）

①零向量与任一向量平行；②若a//b，则ab(R)；

③(ab)ca(bc)④|a||b||ab|；⑤若ABBCCA0，则A，B，C为一个三角形的三个顶点；⑥一个平面内只有一对不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；

A．①④ B．①②④ C．①②⑤ D．③⑥

abc20．在△ABC中，内角A、B、C所对边分别为a、b、c，若2cosA3cosB5cosC，则

∠B的大小是（ ）

C．4

A．12

B．6

D．3

21．已知a,b是两个单位向量，则下列等式一定成立的是( )

A．ab0 B．ab1 C．

ab D．ab0

22．已知范围是( )

a2b0x2axab0x，且关于的方程有实根，则a与b的夹角的取值

0,A．6 ,3 B．2,C．33

,6 D．23．在ABC中，若acosAbcosB，则ABC的形状一定是（ ）

A．等腰直角三角形 B．直角三角形

C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形

24．下列命题中正确的是（ ）

aA．若ab，则a在b上的投影为

B．若acbc(c0)，则ab

C．若A,B,C,D是不共线的四点，则ABDC是四边形ABCD是平行四边形的充要条件

D．若ab0，则a与b的夹角为锐角；若ab0，则a与b的夹角为钝角

25．在ABC中|ABAC||ABAC|,AB3,AC4,则BC在CA方向上的投影为（ ）．

A．4 B．3 C．-4 D．5

26．在ABC中，ABACBABCCACB，则ABC的形状为（ ）．

A．钝角三角形 B．等边三角形

C．直角三角形 D．不确定

27．ABC中，ABAC5，BC6，则此三角形的外接圆半径是（ ）

25C．8

A．4

7B．2 25D．9

28．如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角为45，沿倾斜角为30的山坡向山顶走1000米到达S点，又测得山顶的仰角为75，则山高BC=（ ）

A．500米 B．1500米

C．1200米

D．1000米

29．在ABC中，角A、B、C所对的边分别是a、b、c，若c1，B45，

cosA35，则b等于（ ）

3A．5 10B．7 5C．7 52D．14

30．如图，四边形ABCD是平行四边形，E是BC的中点，点F在线段CD上，且

CF2DF，AE与BF交于点P，若APAE，则（ ）

3A．4

5B．8

3C．8

2D．3

2231．ABC中，a:btanA:tanB，则ABC一定是（ ）

A．等腰三角形 B．直角三角形

C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形

32．已知m,n是两个非零向量，且

m1，|m2n|3，则|mn|+|n|的最大值为

A．5 B．10 C．4 D．5

33．在ABC中，点，若

AM1AC2,AB2,BAC120,AEAB,AFAC，M为线段EF的中

，则的最大值为（ ）

7A．3 27B．3

C．2 D．213 34．已知ABC的内角A、B、C满足

sin2AsinABCsinCAB12，面积S满

足1S2，记a、b、c分别为A、B、C所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）

bcbc8abab162A． B． C．6abc12 D．12abc24

abOPOCmasinBbsinA，mR，则点P的35．在ABC中，CBa，CAb，且

轨迹一定通过ABC的（ ）

A．重心 B．内心 C．外心 D．垂心

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一、多选题

1．BCD

【分析】

．向量数量积不满足结合律进行判断

．判断两个向量是否共线即可

．结合向量数量积与夹角关系进行判断

．根据向量线性运算进行判断

【详解】

解：．向量数量积不满足结合律，故错误，

．，

解析：BCD

【分析】

A．向量数量积不满足结合律进行判断

B．判断两个向量是否共线即可

C．结合向量数量积与夹角关系进行判断

D．根据向量线性运算进行判断

【详解】

解：A．向量数量积不满足结合律，故A错误，

1257，向量e1(1,2)，e2(5,7)不共线，能作为所在平面内的一组基底，故

B．B正确，

C．存在负数，使得mn，则m与n反向共线，夹角为180，此时mn0成立，

当mn0成立时，则m与n夹角满足90180，则m与n不一定反向共线，即“存在负数，使得mn”是“mn0”的充分而不必要条件成立，故C正确，

222CDCBCDABAC333D．由得，

则

222203，3，则33，故D正确

故正确的是BCD，

故选：BCD．

【点睛】

本题主要考查向量的有关概念和运算，结合向量数量积，以及向量运算性质是解决本题的关键，属于中档题．

2．ABD

【分析】

对于A，利用及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由，可得，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用和正弦定理化简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.

【

解析：ABD

【分析】

对于A，利用AB及余弦函数单调性，即可判断；对于B，由ab，可得

sinAsinB，根据二倍角的余弦公式，即可判断；对于C，利用

S1absinC2和正弦定理化

简，即可判断；对于D，利用两角和的正切公式进行运算，即可判断.

【详解】

对于A，∵AB，∴0AB，根据余弦函数单调性，可得

cosAcosBcosB，∴cosAcosB0，故A正确；

2222对于B，若absinAsinB，则sinAsinB，则12sinA12sinB，即

cos2Acos2B，故B正确；

对于C，

S11absinC2RsinA2RsinBsinC2R2sinAsinBsinC22，故C错误；

对于D，在ABC为非直角三角形，

tanAtanBCtanBtanC1tanBtanC，则

tanAtanBtanCtanAtanBtanC，故D正确.

故选：ABD.

【点睛】

本题主要考查了正弦定理在解三角形中的应用，三角函数基本性质．考查了推理和归纳的能力．

3．BCD

【分析】

本题先确定B是的中点，P是的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出，故选项D正确.

【详解】

解：因为，，

所以B是的中点，P是的

解析：BCD

【分析】

本题先确定B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，判断选项A错误，选项C正确；

再通过向量的线性运算判断选项B正确；最后求出

S△APQ2，故选项D正确.

【详解】

解：因为2PAPC0，QA2QB，

所以B是AQ的中点，P是AC的一个三等分点，如图：故选项A错误，选项C正确；

121BCBABABC333，故选项B正确；

因为

BPBAAPBAS△APQ因为

S△ABC112ABh32213ABhS22，所以，△APQ，故选项D正确.

故选：BCD

【点睛】

本题考查平面向量的线性运算、向量的数量积、三角形的面积公式，是基础题.

4．AD

【分析】

设，则，然后分点P靠近点，靠近点两种情况，利用平面向量的线性运算求解.

【详解】

设，则，

当点P靠近点时，，

则，

解得，

所以，

当点P靠近点时，，则，

解得，

所以，

故选：

解析：AD

【分析】

PPPx,yPPx,y1,PP24x,4y设，则1，然后分点P靠近点1，靠近点2两种情

况，利用平面向量的线性运算求解.

【详解】

Px,yPPx,y1,PP24x,4y设，则1，

当点P靠近点

P1时，

PP11PP22，

1x4x2y114y2则，

4x3解得y2，

4P,2所以3，

当点P靠近点

P212PP2， 时，PPx24xy124y， 则

8x3解得y3，

8P,3所以3，

故选：AD

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5．ABD

【分析】

A. 根据是边长为2的等边三角形和判断；B.根据，，利用平面向量的减法运算得到判断；C. 根据，利用数量积运算判断；D. 根据， ，利用数量积运算判断.

【详解】

A. 因为是边长

解析：ABD

【分析】

A. 根据ABC是边长为2的等边三角形和AB2a判断；B.根据AB2a，AC2ab，利用平面向量的减法运算得到BC判断；C. 根据根据bBC， ab1，利用数量积运算判断.

a1AB,bBC2，利用数量积运算判断；D.

【详解】

AB2A. 因为ABC是边长为2的等边三角形，所以，又AB2a，所以 a是单位向

量，故正确；

B. 因为AB2a，AC2ab，所以BCACABb，所以BC//b，故正确；

111AB,bBCabABBC22cos1201222，所以，故错误；

C. 因为

aD. 因为bBC， ab1，所以

BC4abBC4abb4ab4abb4402，所以

，故正确.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查平面向量的概念，线性运算以及数量积运算，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

6．BCD

【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.

【详解】

由题E为AB中点，则，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

所以，，

解析：BCD

【分析】

以E为原点建立平面直角坐标系，写出所有点的坐标求解即可.

【详解】

由题E为AB中点，则CEAB，

以E为原点，EA，EC分别为x轴，y轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示：

123E(0,0),A(1,0),B(1,0),C(0,3),D(,)33所以，，

123O(0,y),y(0,3),BO(1,y),DO(,y)33，BO∥DO， 设

所以

y3231yy2， 33，解得：

即O是CE中点，OEOC0，所以选项B正确；

OAOBOC2OEOCOE32，所以选项C正确；

因为CEAB，ABCE0，所以选项A错误；

123ED(,)33，BC(1,3)，

ED在BC方向上的投影为

12EDBC3726BC，所以选项D正确.

故选：BCD

【点睛】

此题考查平面向量基本运算，可以选取一组基底表示出所求向量的关系，对于特殊图形可以考虑在适当位置建立直角坐标系，利于计算.

7．ACD

【分析】

先根据已知条件求得，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.

【详解】

因为

所以可设：（其中），解得：

所以，所以A正确；

由上可知：边最大，所以三角形中角最大，

又 ，所以角为

解析：ACD

【分析】

先根据已知条件求得a:b:c4:5:6，再根据正余弦定理计算并逐一判断即可.

【详解】 因为ab:ac:bc9:10:11

所以可设：

ab9xac10xbc11x（其中x0），解得：a4x,b5x,c6x

所以sinA:sinB:sinCa:b:c4:5:6，所以A正确；

由上可知：c边最大，所以三角形中C角最大，

a2b2c2(4x)2(5x)2(6x)21cosC02ab24x5x8又 ，所以C角为锐角，所以B错误；

由上可知：a边最小，所以三角形中A角最小，

c2b2a2(6x)2(5x)2(4x)23cosA2cb26x5x4， 又

所以

cos2A2cos2A118，所以cos2AcosC

C0,2 由三角形中C角最大且C角为锐角,可得：2A0,，

所以2AC，所以C正确；

由正弦定理得：

62R37csinC1cos2C8 sinC，又

2R所以

8737R7，所以D正确. 8 ，解得：

故选:ACD.

【点睛】

本题考查了正弦定理和与余弦定理，属于基础题.

8．AD

【分析】

利用正弦定理可求得的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得的值.

【详解】

由正弦定理，可得，

，则，所以，为锐角或钝角.

因此，.

故选：AD.

【点睛】

本题考查利用正弦定理与同

解析：AD

【分析】

利用正弦定理可求得sinB的值，再利用同角三角函数的平方关系可求得cosB的值.

【详解】

1bsinAba22sinBa153， 由正弦定理sinBsinA，可得

20ba，则BA30，所以，B为锐角或钝角.

因此，

cosB1sin2B53.

故选：AD.

【点睛】

本题考查利用正弦定理与同角三角函数的基本关系求值，考查计算能力，属于基础题.

9．BD

【分析】

根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；

【详解】

解：对于A，，故A错误；

对于B，若，则，所以，，故，即B正确；

对于C，，则或与共线，故C错误；

对于D，在四边形中，若

解析：BD

【分析】

根据平面向量的数量积及平行向量共线定理判断可得；

【详解】

解：对于A，0a0，故A错误；

对于B，若ab，则ab0，所以|ab|ab2abab，|ab|ab2abab，故|ab||ab|，即B正确；

22222222对于C，AB//CD，则AB//CD或AB与CD共线，故C错误；

对于D，在四边形ABCD中，若ABCD0，即ABDC，所以四边形ABCD是平行四边形，又ACBD0，所以ACBD，所以四边形ABCD是菱形，故D正确；

故选：BD

【点睛】

本题考查平行向量的数量积及共线定理的应用，属于基础题.

10．C

【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；

对B，两边平方化简；

对C，根据向量相等的定义判断；

对D，根据向量共线的定义判断.

【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A

解析：C

【分析】

对A，一个向量在另一个向量上的投影是数量；

对B，两边平方化简

abab；

对C，根据向量相等的定义判断；

对D，根据向量共线的定义判断.

【详解】

A中，一个向量在另一个向量上的投影是数量，A错误；

B中，由

abab，得2|a||b|2ab，得|a||b|(1cos)0，

则|a|0或|b|0或cos1，当两个向量一个为零向量，一个为非零向量时，a与b方向不一定相同，B错误；

C中，根据向量相等的定义，且有共同起点可得，其终点必定相同，C正确；

D中，由共线向量的定义可知点A,B,C,D不一定在同一直线上，D错误.

故选：C

【点睛】

本题考查了对向量共线，向量相等，向量的投影等概念的理解，属于容易题.

11．ABC

【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是，分类讨论点在平行四边形的位置有：，，，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】

第四个顶点为，

当时，，

解得，此时第四个顶点的坐标为；

当时，，

解得

解析：ABC

【分析】

设平行四边形的四个顶点分别是A(3,7),B(4,6),C(1,2),D(x,y)，分类讨论D点在平行四边形的位置有：ADBC，ADCB，ABCD，将向量用坐标表示，即可求解.

【详解】

第四个顶点为D(x,y)，

当ADBC时，(x3,y7)(3,8)，

解得x0,y1，此时第四个顶点的坐标为(0,1)；

当ADCB时，(x3,y7)(3,8)，

解得x6,y15，此时第四个顶点的坐标为(6,15)；

当ABCD时，(1,1)(x1,y2)，

解得x2,y3，此时第四个项点的坐标为(2,3)．

∴第四个顶点的坐标为(0,1)或(6,15)或(2,3)．

故选:ABC.

【点睛】

本题考查利用向量关系求平行四边形顶点坐标，考查分类讨论思想，属于中档题.

12．ABD

【分析】

根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.

【详解】

由向量加法的平行四边形法则，知成立，

故也成立；

由向量加法的三角形法则，知成立，不成立.

故选：ABD

【点睛】

本题主要考查

解析：ABD

【分析】

根据平行四边形及向量的加法法则即可判断.

【详解】

由向量加法的平行四边形法则，知abc成立，

故

abc也成立；

由向量加法的三角形法则，知adb成立，bda不成立.

故选：ABD 【点睛】

本题主要考查了向量加法的运算，数形结合，属于容易题.

13．BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；

【详解】

解：与显然方向不相同，故不是相等向量，故错误；

与表示等腰梯形两腰的长度，所以，故正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故

解析：BD

【分析】

根据向量的模及共线向量的定义解答即可；

【详解】

解：AB与DC显然方向不相同，故不是相等向量，故A错误；

AB

与

DC表示等腰梯形两腰的长度，所以

ABDC，故B正确；

向量无法比较大小，只能比较向量模的大小，故C错误；

等腰梯形的上底BC与下底AD平行，所以BC//AD，故D正确；

故选：BD.

【点睛】

本题考查共线向量、相等向量、向量的模的理解，属于基础题.

14．ABCD

【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可.

【详解】

;

;

;

.

故选：ABCD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

解析：ABCD

【分析】

根据向量的线性运算逐个选项求解即可.

【详解】

ABBCCAACCA0;

ABACBDCD(ABBD)(ACCD)ADAD0;

OAODAD(OAAD)ODODOD0;

NQQPMNMPNPPMMNNMNM0.

故选：ABCD

【点睛】

本题主要考查了向量的线性运算,属于基础题型.

15．无

二、平面向量及其应用选择题

16．A

【解析】

分析：先利用三角形的面积公式求得c的值，进而利用余弦定理求得a，再利用正弦定理求解即可.

详解：由题意，在ABC中，

11SABCbcsinA1csin600322利用三角形的面积公式可得，

解得c4，

1132，解得a13，

又由余弦定理得

a2b2c22bccosA116214a2bca13239sinA2sinBsinCsinA332由正弦定理得，故选A.

点睛：本题主要考查了利用正弦定理和三角函数的恒等变换求解三角形问题，对于解

三角形问题，通常利用正弦定理进行“边转角”寻求角的关系，利用“角转边”寻求边的关系，利用余弦定理借助三边关系求角，利用两角和差公式及二倍角公式求三角函数值. 利用正、余弦定理解三角形问题是高考高频考点，经常利用三角形内角和定理，三角形面积公式，结合正、余弦定理解题.

17．B

【分析】

延长PB至D，可得出点P是ADC的重心，再根据重心的性质可得出结论。

【详解】

延长PB至D，使得PD2PB，于是有PAPDPC0，即点P是ADC的重心，依据重心的性质，有S△PADS△PACS△PDC.由B是PD的中点，得S△PAB:S△PAC:S△PBC1:2:1.

故选：B

【点睛】

本题考查了三角形重心和向量的关系，主要是用向量表达重心的数量关系。另外本题是奔驰定理直接推导得出。

18．D

【分析】

先根据bcosAacosB得到A,B之间的关系，再根据B是A,C的等差中项计算出B的大小，由此再判断ABC的形状.

【详解】

因为bcosAacosB，所以sinBcosAsinAcosB，

sinBA0所以，所以AB，

3，

又因为2BACB，所以

B所以

AB3，所以ABC是等边三角形.

故选：D.

【点睛】

本题考查等差中项以及利用正弦定理判断三角形形状，难度一般.（1）已知b是a,c的等差中项，则有2bac；（2）利用正弦定理进行边角互化时，注意对于“齐次”的要求.

19．A

【分析】

直接利用向量的基础知识的应用求出结果.

【详解】

对于①：零向量与任一向量平行，故①正确；

对于②：若a//b，则abR，必须有b0，故②错误；

abcabc对于③：，a与c不共线，故③错误；

对于④：

abab，根据三角不等式的应用，故④正确；

对于⑤：若ABBCCA0，则A,B,C为一个三角形的三个顶点，也可为0，故⑤错误；对于⑥：一个平面内，任意一对不共线的向量都可以作为该平面内所有向量的基底，故⑥错误.

综上：①④正确.

故选：A.

【点睛】

本题考查的知识要点：向量的运算的应用以及相关的基础知识，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．

20．D

【分析】

111tanAtanBtanC35根据正弦定理，可得2，令tanA2k，tanB3k，tanC5k，再

结合公式tanBtan(AC)，列出关于k的方程，解出k后，进而可得到B的大小.

【详解】

abc解：∵2cosA3cosB5cosC，

sinAsinBsinC∴2cosA3cosB5cosC，

111tanAtanBtanC35即2，

令tanA2k，tanB3k，tanC5k，显然k0，

tanAtanCtanAtanC1，

∵

tanBtan(AC)∴

3k37kk3， 10k21，解得

∴tanB3k3，B＝3．

故选：D.

【点睛】

本题考查正弦定理边角互化的应用，考查两角和的正切，用k表示tanA2k，

tanB3k，tanC5k是本题关键

21．C

【分析】

取a,b夹角为3，计算排除ABD，得到答案.

【详解】

1abab1a,bab023取夹角为，则，，排除ABD，易知.

故选：C.

【点睛】

本题考查了单位向量，意在考查学生的推断能力.

22．B

【分析】

12，根据

根据方程有实根得到

a4abcos02，利用向量模长关系可求得

cos向量夹角所处的范围可求得结果.

【详解】

关于x的方程

x2axab0有实根

a4ab02

设a与b的夹角为，则

a4abcos02

12

又

a2b0

2b4bcos0

cos,0,3 又

本题正确选项：B

【点睛】

本题考查向量夹角的求解问题，关键是能够利用方程有实根得到关于夹角余弦值的取值范围，从而根据向量夹角范围得到结果.

23．D

【分析】

首先利用正弦定理求得sin2Asin2B，进一步利用三角函数的诱导公式求出结果．

【详解】

abc2R解：已知：acosAbcosB，利用正弦定理：sinAsinBsinC，

解得：sinAcosAsinBcosB，即sin2Asin2B，

所以：2A2B或2A1802B，解得：AB或AB90

所以：ABC的形状一定是等腰或直角三角形

故选：D．

【点评】

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，三角函数的诱导公式的应用，属于中档题．

24．C

【分析】

根据平面向量的定义与性质，逐项判断，即可得到本题答案.

【详解】

因为ab，所以a,b的夹角为0或者，则a在b上的投影为|a|cos|a|，故A不正确；设c(1,0),b(0,0),a(0,2)，则有acbc(c0)，但ab，故B不正确；

ABDC,|AB||DC|且AB//DC，又A,B,C,D是不共线的四点，所以四边形ABCD为

平行四边形；反之，若四边形ABCD为平行四边形，则AB//DC且|AB||DC|，所以

ABDC，故C正确；ab0时，a,b的夹角可能为0，故D不正确.

故选：C

【点睛】

本题主要考查平面向量的定义、相关性质以及数量积.

25．C

【分析】

先对等式

ABACABAC两边平方得出ABAC，并计算出BCCA，然后利用投影

的定义求出BC在CA方向上的投影．

【详解】

对等式

ABACABAC两边平方得，

ABAC2ABACABAC2ABAC，整理得，ABAC0，则ABAC，

2222BCCAACABCAACCAABCAAC162，

设向量BC与CA的夹角为，

BCcosBCBCCABCCABCCACA所以，BC在CA方向上的投影为

1644，

故选C．

【点睛】

本题考查平面向量投影的概念，解本题的关键在于将题中有关向量模的等式平方，这也是向量求模的常用解法，考查计算能力与定义的理解，属于中等题．

26．B

【分析】

根据向量运算可知三角形中中线与垂线重合，可知三角形为等腰三角形，即可确定三角形形状.

【详解】

ABACBC0因为ABACBABC，所以，

ABCACB0即，

所以在ABC中，AB与AB边上的中线垂直，则

CACB，

BCACAB0ACAB同理，，

所以

ACABCB，ABC是等边三角形．

故选：B

【点睛】

本题主要考查了向量的数量积，向量垂直，考查了运算能力，属于中档题.

27．C

【分析】

725，再由平方关系得

在ABC中，根据ABAC5，BC6，由余弦定理求得到sinA，然后由正弦定理

2RBCsinA求解.

cosA

【详解】

在ABC中，ABAC5，BC6，

AB2AC2BC25252627cosA2ABAC25525， 由余弦定理得：

所以

sinA1cos2A2425，

2R由正弦定理得：

258，

BC625sinA24425，

所以

R25此三角形的外接圆半径是8

故选：C

【点睛】

本题主要考查余弦定理，正弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.

28．D

【分析】

作出图形，过点S作SEAC于E，SHAB于H，依题意可求得SE在BDS中利用正弦定理可求BD的长，从而可得山顶高BC．

【详解】

解：依题意，过S点作SEAC于E，SHAB于H，

SAE30，AS1000米，CDSEASsin30500米，

依题意，在RtHAS中，HAS453015，HSASsin15，

在RtBHS中，HBS30，BS2HS2000sin15，

在RtBSD中，BDBSsin752000sin15sin752000sin15cos151000sin30500米，

BCBDCD1000米，

故选：D．

【点睛】

本题主要考查正弦定理的应用，考查作图与计算的能力，属于中档题．

29．C

【分析】

利用同角三角函数基本关系式可得sinA，进而可得cosC(cosAcosBsinAsinB)，再利用正弦定理即可得出．

【详解】

35，A(0,180)．

解：

cosAsinA1cos2A45，

32422cosCcos(AB)(cosAcosBsinAsinB)()525210．

sinC1cos2C7210．

bc由正弦定理可得：sinBsinC，

2csinB25bsinC77210．

1

故选：C．

【点睛】

本题考查了同角三角函数基本关系式、正弦定理、两角和差的余弦公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

30．A

【分析】

2m1AB1mAD3，再

设出

APmAB1mAFmAB1mADDF，求得

AP利用向量相等求解即可.

【详解】

连接AF，因为B，P，F三点共线，

所以

APmAB1mAFmAB1mADDF，

11DFDCAB33因为CF2DF，所以，

所以

AP2m1AB1mAD3.

因为E是BC的中点，

11AEABBCABAD22所以.

因为APAE，

2m11AB1mADABAD2， 所以32m131m12， 则解得

34.

故选：A

【点睛】

本题主要考查平面向量的线性运算，考查了平面向量基本定理的应用，属于基础题.

31．D

【分析】

22由已知a:btanA:tanB，利用正弦定理及同角的三角函数的基本关系对式子进行化

简，然后结合三角函数的性质再进行化简即可判断．

【详解】

22∵a:btanA:tanB，

sinAsinAtanAsinBsinAcosB2sinBsinBtanBsinBcosAcosB由正弦定理可得，，

2∵sinAsinB0，

sinAcosBsinBcosA， ∴

∴sinAcosAsinBcosB即sin2Asin2B，∵

A,B0,,AB0,，

∴2A2B或2A2B，

2，即三角形为等腰或直角三角形，

∴AB或

AB故选D．

【点睛】

本题考查同角三角函数的基本关系及正弦定理的应用，利用正弦定理进行代数式变形

是解题的关键和难点．

32．B

【分析】

先根据向量的模将|mn|+|n|转化为关于|n|的函数，再利用导数求极值，研究单调性，进而得最大值.

【详解】

|m|=1，|m2n|3，m2n24n4mn192mnm2mnn=5-n,nmn2,

22222,

|mn|+|n|5nn2，

2x25x2令

0xnx(0x5),fx5xx2,则

f'x1，令

f'x0，得

x10,2当

101010xx5f'x02时， fx取得最大2时， f'x0，当2时， ， 当

10f210值，故选B.

【点睛】

向量的两个作用：①载体作用：关键是利用向量的意义、作用脱去“向量外衣”，转化为我们熟悉的数学问题；②工具作用：利用向量可解决一些垂直、平行、夹角与距离问题.

33．C

【分析】

2化简得到

AMAB2AC，根据

AM1221，得到的最大值. 得到

【详解】

1AEAFABAC222，

AMAMABAC224cos120221222故

22故

122322324，故2.

当1时等号成立.

故选：C.

【点睛】

本题考查了向量的运算，最值问题，意在考查学生的综合应用能力.

34．A

【分析】

11sinAsinBsinC2化简得出8，设ABC的外

由条件

sin2AsinABCsinCAB接圆半径为R，根据1S2求得R的范围，然后利用不等式的性质判断即可.

【详解】

12，

ABC的内角A、B、C满足

sin2AsinABCsinCAB即

sin2AsinABCsinABC12，

即

sin2AsinABCsinABC12，

即

2sinAcosA2sinAcosBC12，

即

2sinAcosBC2sinAcosBC12，

即

2sinAcosBCcosBC4sinAsinBsinC11sinAsinBsinC2，8，

abc2RABCsinAsinBsinCR设的外接圆半径为，则，

S111absinC2RsinA2RsinBsinCR21,2224，2R22，

abc8R3sinAsinBsinCR38,162，C、D选项不一定正确；

对于A选项，由于bca，

bcbcabc8，A选项正确；

abab162对于B选项，

abababc8，即

abab8成立，但不一定成立.

故选：A.

【点睛】

本题考查了利用三角恒等变换思想化简、正弦定理、三角形的面积计算公式、不等式的基本性质等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．

35．A

【分析】

mabCH，再利用平行四边形法则可知，P在中线

设

asinBbsinACH，则

CPCD上，即可得答案；

【详解】

如图，

mmabCPabCHCH，，

asinBbsinACH，∴

OPOC由平行四边形法则可知，P在中线CD上，

P的轨迹一定通过ABC的重心.

故选：A.

【点睛】

本题考查三角形重心与向量形式的关系，考查数形结合思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意向量加法几何意义的运用.