平面向量例题精选习题精炼

例1．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由.

①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上； ②单位向量都相等；

③任一向量与它的相反向量不相等；

④四边形ABCD是平行四边形当且仅当AB＝DC ⑤一个向量方向不确定当且仅当模为0； ⑥共线的向量，若起点不同，则终点一定不同. 例2．下列命题正确的是（ ）

A.ａ与ｂ共线，ｂ与ｃ共线，则ａ与c也共线

B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点. C.向量ａ与ｂ不共线，则ａ与ｂ都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行

例3．已知两个力F1，F2的夹角是直角，且已知它们的合力F与F1的夹角是60，|F|=10N求F1和F2的大小.

例4．一艘船以5km/h的速度在行驶，同时河水的流速为2km/h，则船的实际航行速度大小最大是

km/h，最小是

km/h

例5．已知向量OA= a， OB= b， OC= c， OD= d，求作向量ab、cd. 例6．平行四边形ABCD中，ABa，ADb，用a、b表示向量AC、DB. 例7．.在△ABC中， BC=a， CA=b，则AB等于( )

A.a+b B.-a+(-b) C.a-b D.b-a

例8．如右图所示，O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a、b、c、d的方向（用箭头表示），使a+b=AB，c-d=DC，并画出b-c和a+d. 例9．设e1、e2是同一平面内的两个向量，则有( ) A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等

C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)

D.若e1、e2不共线，则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)

例10．已知矢量a = e1-2e2，b =2e1+e2，其中e1、e2不共线，则a+b与c =6e1-2e2的关系

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A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定

例11．已知三个力F1 (3， 4)， F2(2， 5)， F3(x， y)的合力F1+F2+F3=0，求F3的坐标.

1MN， 求P点的坐标 2例13．已知a=(4，2)，b=(6， y)，且a∥b，求y.

例12．若M(3， -2) N(-5， -1) 且 MP例14．已知A(-1， -1)， B(1，3)， C(1，5) ，D(2，7) ，向量AB与CD平行吗？直线

AB与平行于直线CD吗？

例15．若a=(2，3)，b=(4，-1+y)，且a∥b，则y=（ ）

例16．已知a=(1，2)，b=(x，1)，若a+2b与2a-b平行，则x的值为 . 例17 判断正误，并简要说明理由.

①ａ·0＝0；②0·ａ＝０；③0－AB＝BA；④｜ａ·ｂ｜＝｜ａ｜｜ｂ｜；⑤若ａ≠0，则对任一非零ｂ有ａ·ｂ≠０；⑥ａ·ｂ＝０，则ａ与ｂ中至少有一个为0；⑦对任意向量ａ，ｂ，

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с都有（ａ·ｂ）с＝ａ（ｂ·с）；⑧ａ与ｂ是两个单位向量，则ａ＝ｂ. 例18 已知｜ａ｜＝３，｜ｂ｜＝６，当①ａ∥ｂ，②ａ⊥ｂ，③ａ与ｂ的夹角是60°时，分别求ａ·ｂ. 例19．已知向量a、b的夹角为

，|a|=2，|b|=1，则|a+b|·|a-b|= . 3例20．设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量a=2m+n与b=2n-3m的夹角 例21．已知a、b都是非零向量，且a + 3b与7a  5b垂直，a  4b与7a  2b垂直，求a与b的夹角.

例22． 求证：平行四边形两条对角线平方和等于四条边的平方和

例23．已知|a|=6，|b|=4，a与b的夹角为６０°，则(a+2b)·(a-3b)等于（ ） A.72 B.-72 C.36 D.-36

例24．设|a|=3，|b|=5，且a+λb与a－λb垂直，则λ＝ . 例25．已知|a|=3，|b|=4，且a与b的夹角为150°，则(a+b)＝ . 例26． 已知a = (3， 1)，b = (1， 2)，求满足xa = 9与xb = 4的向量x. 例27． 已知a＝（１，3），b＝（3＋１，3－１），则a与b的夹角是多少? 例28． 在△ABC中，AB=(2， 3)，AC=(1， k)，且△ABC的一个内角为直角，求k值. 例29． 如图，以原点和A(5， 2)为顶点作等腰直角△OAB，使B = 90，求点B和向量AB的坐标.

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一、 选择题(共8小题,每题5分)

1. 下列命题正确的是 （ ）

A．单位向量都相等 B． 任一向量与它的相反向量不相等 C．平行向量不一定是共线向量 D．模为0的向量与任意向量共线 2．已知向量a＝（3,4），b＝（sinα，cosα），且a∥b，则tanα等于（ ） A．

3344 B． C． D． 44333．在以下关于向量的命题中，不正确的是 （ ）

A．若向量a=(x，y)，向量b=(－y，x)(x、y≠0)，则a⊥b

B．四边形ABCD是菱形的充要条件是AB=DC，且|AB|=|AD| C．点G是△ABC的重心，则GA+GB+CG=0 D ．△ABC中，AB和CA的夹角等于180°－A

4．设P（3，6），Q（5，2），R的纵坐标为9，且P、Q、R三点共线，则R点的横坐标为 （ ） A．9 B．6 C．9 D．6

5．若|a|1,|b|2,cab，且ca，则向量a与b的夹角为( ) A．30° B．60° C．120° D．150°

6．在△ABC中，A＞B是sinA＞sinB成立的什么条件（ ） A．充分不必要

B．必要不充分

C．充要

D．既不充分也不必要

7．若将函数ysin2x的图象按向量a平移后得到函数ysin(2x4)-1的图象,

则向量a可以是： （ ）

A． (,1) B． (,1) C． (,1) D．(,1)

84848．在△ABC中，已知|AB|4,|AC|1,SABC3,则ABAC的值为（ ） A．－2

B．2 C．±4 D．±2

二、 填空题(共4小题,每题5分)

9．已知向量a、b的模分别为3，4，则｜a-b｜的取值范围为 ．

O

10．已知e为一单位向量，a与e之间的夹角是120,而a在e方向上的投影为－2，则

a . 11．设e1、e2是两个单位向量，它们的夹角是60，则(2e1e2)(3e12e2) 012．在ABC中，a =5，b=3,C=120,则sinA 三、 解答题(共40分)

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13．设e1,e2是两个垂直的单位向量，且a(2e1e2),be1e2

(1)若a∥b，求的值； (2)若ab，求的值.（12分）

14．设函数f(x)ab，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， （1）若f(x)=1－3且x∈[－

3sin2x)，x∈R.

，]，求x； （2）若函数y=2sin2x的图象按向量33c=(m，n) (|m|<

)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值. （14分） 2

15. 已知△ABC三个内角A、B、C的对边分别为a、b、c，向量

m(cosCCCC,sin)，n(cos,sin)，且m与n的夹角为.

32222733，△ABC的面积S，求ab的值. （14分） 22（1）求角C的值； （2）已知c 4