一、选择题(每小题5分) 1．下列结论正确的是( ) A．过一点有且只有一个平面与已知平面垂直
B．过一条直线有且只有一个平面与已知平面垂直
C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D．过一点有且只有一条直线与已知平面垂直
解析：过一点如果有两条直线与已知平面垂直，根据直线与平面垂直的性质定理可知，这两条直线平行，矛盾，所以选项D中的结论正确；过一点有无数个平面与已知平面垂直，选项A中的结论不正确；当直线与平面垂直时，过该直线的任意平面即与已知平面垂直，选项B中的结论不正确；在空间，过一点与已知直线垂直的直线有无数条，选
项C中的结论不正确． 答案：D 2．正四面体ABCD中，AO⊥平面BCD，垂足为O，设M是线段AO上一AM点，且∠BMC＝90°，则MO的值为( ) A．1 B．2 12C.2 D.3 解析：如图，连接OB，设正四面体32的棱长为a，则OB＝3a，MB＝2a，61AM故OM＝6a＝2AO，则MO＝1. 答案：A 3．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，下列四个命题正确的是( ) A．m，n⊂α，m∥β，n∥β，则α∥ β B．m⊂α，α∥β，则m∥β C．若m⊥α，α⊥β，n∥β，则m⊥n D．若α⊥γ，β⊥γ，则α⊥β 解析：对于A，根据面面平行的判定定理可知缺少条件“m与n相交”，故A不正确；对于B，若α∥β，则α，β无交点，又m⊂α，所以m，β无交点，即m∥β，故B正确；对于C，若α⊥β，n∥β，则n可以垂直于α，又m⊥α，所以m可以平行于n，故C不正确；对于D，α⊥γ，β⊥γ时，α，β也可能平行，故D不正确． 答案：B 4．已知三棱柱的三个侧面均垂直于底面，底面为正三角形，且侧棱长与底面边长之比为21，顶点都在一个球面16π上，若该球的表面积为3，则此三棱柱的侧面积为( ) 3A.3 B.2 C．8 D．6 解析：如图，根据球的表面积可得4球的半径为r＝3，设三棱柱的底面边42232＝x＋，解得x＝长为x，则x331，故该三棱柱的侧面积为3×1×2＝6. 答案：D 5. 在正方体ABCD－A1B1C1D1中，已知M，N分别是A1B1，BB1的中点，过点M，N，C1的截面截正方体所得的几何体如图所示，那么该几何体的侧视图是( ) 解析：C1N的投影线为虚线，该几何体的侧视图是选项B中的图． 答案：B 6．已知某几何体的三视图如图所示，三视图是边长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几何体的体积为( ) 1112A.6 B.3 C.2 D.3 解析：该几何体的直观图如图，为单位正方体中的三棱锥B－A′C′D′，1其体积为正方体体积的6，即该几何体的1体积为6. 答案：A 7．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成角的大小为( ) ππA.6 B.4 ππC.3 D.2 解析：分别取BC，B1C1的中点D，D1，连接AD，DD1，AD1.显然DD1⊥B1C1，AD1⊥B1C1，故B1C1⊥平面ADD1，故平面AB1C1⊥平面ADD1，故DD1在平面AB1C1内的射影在AD1上，∠AD1D即为直线DD1与平面AB1C1所成的角．在Rt△AD1D中，AD＝3，DD1＝3，所以tan3π∠AD1D＝3，所以∠AD1D＝6.因为BB1∥DD1，所以直线BB1与平面AB1C1所成π角的大小为6. 答案：A 8．在三棱锥S－ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，SA＝SC＝2，二面角S－3AC－B的余弦值是－3，若S，A，B，C都在同一球面上，则该球的表面积是( ) A．22π B．4π C．6π D．8π 解析：取AC的中点D，连接SD，BD，∵AB＝BC＝2，∴BD⊥AC，∵SA＝SC＝2，∴SD⊥AC，∴∠SDB为二面角S－AC－B的平面角．在△ABC中，AB⊥BC，AB＝BC＝2，∴AC＝2.取等边△SAC的中心E，作EO⊥平面SAC，过D作DO⊥平面ABC，则O为外接球3球心，∴ED＝3.又二面角S－AC－B的 3余弦值是－3， 62∴cos∠EDO＝3，OD＝2，∴BO622＝BD＋OD＝2，∴外接球的半径为6，其表面积为6π. 2答案：C 9．在四面体ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点，则下列命题正确的是( ) A．E，F，G，H四点不共面 B．四边形EFGH是梯形 C．EG⊥FH D．四边形EFGH是矩形 解析：如图，显然，四边形EFGH是平行四边形．取BD的中点P，连接CP，AP，因为AB＝AD，CB＝CD，所以AP⊥BD，CP⊥BD，根据直线与平面垂直的判定定理，可得BD⊥平面APC，所以BD⊥AC，又FG∥BD，EF∥AC，所以FG⊥EF，所以四边形EFGH是矩形． 答案：D 10．正三角形ABC的边长为23，将它沿高AD翻折，使点B与点C间的距离为3，此时四面体ABCD的外接球的半径为( ) 13A.13 B.2 C．23 D.3 解析：球心O一定在与平面BCD垂直且过底面正三角形中心O′的直线上，也在平面ADO中AD的垂直平分线32上，如图，OE＝O′D＝3×2×3＝1，1133DE＝2AD＝2×23×2＝2，故所求外31322接球的半径r＝1＋2＝2. 答案：B
二、填空题(每小题5分)
11．如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为__________．
解析：由题可知该几何体由两个相同的半圆柱和一个长方体拼接而成，因此该几何体的体积V＝1×2×4＋
2
π×1×2＝8＋2π.
答案：8＋2π
12．如图，四棱锥P－ABCD中，∠ABC＝∠BAD＝90°，BC＝2AD，△PAB和△PAD都是等边三角形，则异面直线
CD与PB所成角的大小为__________． 解析：如图，取BC的中点E，连接AE，ED，BD，PE.设BD∩AE＝O，连接PO. 2设AB＝a，则OA＝OB＝2a. 又PB＝PA＝PD，O为BD的中点，222所以BD⊥PO，所以PO＝a－a22＝2a，所以PO⊥OA，所以PO⊥平面ABCD，所以PO⊥AE.由已知可得四边形ABED为正方形，所以BD⊥AE，所以AE⊥平面PBD，所以AE⊥PB.又CD∥AE，所以CD⊥PB，即异面直线CD与PB所成角的大小为90°. 答案：90° 13．已知球的直径SC＝4，A，B是该球球面上的两点，AB＝3，∠ASC＝∠BSC＝30°，则三棱锥S－ABC的体积为__________． 解析：如图，设球心为O，△ABC的外心为O′，根据球的性质得OO′⊥平面ABC，且∠SBC＝∠SAC＝90°，所以BC＝AC＝2.在△ABC中，根据余弦定4＋4－35理得cos∠ACB＝＝8，所以sin2×2×2393∠ACB＝8.根据正弦定理得＝2r(r3984为△ABC外接圆的半径)，所以r＝，1316366所以OO′＝4－13＝13＝.△13313ABC的边AB上的高为4－4＝2.所11以三棱锥S－ABC的体积为3×2×31312×2×＝3. 13答案：3 14．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD＝60°，Q为AD的中点．若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝PD＝AD＝2，点M在线段PC上，且PM＝2MC，则四棱锥P－ABCD与三棱锥P－QBM的体积之比是__________． 解析：过点M作MH∥BC交PB于点H. ∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PQ⊥AD， ∴PQ⊥平面ABCD. ∵PA＝PD＝AD＝AB＝2，∠BAD＝60°， ∴PQ＝BQ＝3. 11∴VP－ABCD＝3PQ·S菱形ABCD＝3×3×2×3＝2。 又PQ⊥BC，BQ⊥AD，AD∥BC， ∴BQ⊥BC，又QB∩QP＝Q， ∴BC⊥平面PQB，又MH∥BC，PM＝2MC， MHPM2∴MH⊥平面PQB，BC＝PC＝3， 4∵BC＝2，∴MH＝3， 11∴VP－QBM＝VM－PQB＝3×2×3×342×3＝3， ∴VP－ABCDVP－QBM＝31. 答案：31 15．已知正方体ABCD－A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别为棱AA′与CC′的中点，过直线EF的平面分别与BB′，DD′相交于点M，N.设BM＝x，x∈[0,1]，有以下结论： ①平面MENF⊥平面BDD′B′； 1②当x＝2时，四边形MENF的面积最小； ③四边形MENF的周长L＝f(x)，x∈[0,1]是单调函数； ④四棱锥C′－MENF的体积V＝g(x)为常函数． 其中正确结论的序号是__________(将正确结论的序号都填上)． 解析：如图，①连接BD，B′D′，则由正方体的性质可知，EF⊥平面BDD′B′，所以平面MENF⊥平面BDD′B′，所以①正确． ②连接MN，因为EF⊥平面BDD′B′，所以EF⊥MN，四边形MENF的对角线EF是固定的，所以要使四边形MENF的面积最小，则只需MN的长度最小即可，当M为棱BB′的中1点，即x＝2时，MN的长度最小，对应四边形MENF的面积最小，所以②正确． ③因为EF⊥MN，所以四边形MENF1是菱形，当x∈0，2时，EM的长度由1大变小，当x∈2，1时，EM的长度由小变大，所以函数L＝f(x)不单调，所以③错误． ④连接C′E，C′M，C′N，则四棱锥C′－MENF被分割为两个小三棱锥，它们是以C′EF为底，分别以M，N为顶点的两个小三棱锥．因为三角形C′EF的面积是常数，M，N到平面C′EF的距离是常数，所以四棱锥C′－MENF的体积V＝g(x)为常函数，所以④正确．故答案为①②④. 答案：①②④ 三、解答题(第16,17,18,19题每题12分，第20题13分，第21题14分) 16．如图，矩形CDEF和梯形ABCD互相垂直，∠BAD＝∠ADC＝90°，AB＝1AD＝2CD，BE⊥DF. (1)若M为EA的中点，求证：AC∥平面MDF； (2)求平面EAD与平面EBC所成锐二面角的大小． 解：(1)设EC与DF交于点N，连接MN，在矩形CDEF中，点N为EC的中点， 因为M为EA的中点，所以MN∥AC，又因为AC⊄平面MDF，MN⊂平面MDF，所以AC∥平面MDF. (2)因为平面CDEF⊥平面ABCD，平面CDEF∩平面ABCD＝CD，且DE⊂平面CDEF，DE⊥CD， 所以DE⊥平面ABCD. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设DA＝a，DE＝b，则B(a，a,0)，E(0,0，b)，C(0,2a,0)，F(0,2a，b)， →→BE＝(－a，－a，b)，DF＝(0,2a，b)，→BC＝(－a，a,0)，因为BE⊥DF， →→所以BE·DF＝(－a，－a，b)·(0,2a，22b)＝b－2a＝0，b＝2a. 设平面EBC的法向量m＝(x，y，z)，→m·BE＝－ax－ay＋2az＝0由，可得→BC＝－ax＋ay＝0m·到m的一个值为m＝(1,1，2)，注意到平面EAD的一个法向量n＝(0,1,0)，而m·n1cos〈m，n〉＝|m|·＝，所以平面EAD|n|2与平面EBC所成锐二面角的大小为60°. 17．如图，三棱柱ADE－BCG中，四边形ABCD是矩形，F是EG的中点， EA⊥AB，AD＝AE＝EF＝1，平面ABGE⊥平面ABCD. (1)求证：AF⊥平面FBC； (2)求二面角B－FC－D的正弦值． 解：(1)∵四边形ABCD是矩形，∴BC⊥AB， 又平面ABGE⊥平面ABCD，∴BC⊥平面ABGE， ∵AF⊂平面ABGE，∴BC⊥AF. 在△AFB中，AF＝BF＝2，AB＝2，222∴AF＋BF＝AB，即AF⊥BF，又BF∩BC＝B，∴AF⊥平面FBC. (2)分别以AD，AB，AE所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则A(0,0,0)，D(1,0,0)，C(1,2,0)，E(0,0,1)，→→B(0,2,0)，F(0,1,1)，∴DE＝(－1,0,1)，DC＝(0,2,0)，设n1＝(x，y，z)为平面CDEF→n1·DC＝0的法向量，则→DE＝0n1·y＝0－x＋z＝0 ，即 . 令x＝1，得z＝1，即n1＝(1,0,1)， →取n2＝AF＝(0,1,1)为平面BCF的一个法向量， n1·n21∴cos〈n1，n2〉＝|n||n|＝2， 123∴二面角B－FC－D的正弦值为2. 18．四棱锥E－ABCD中，AD∥BC，AD＝AE＝2BC＝2AB＝2，AB⊥AD，平面EAD⊥平面ABCD，点F为DE的中点． (1)求证：CF∥平面EAB； (2)若CF⊥AD，求二面角D－CF－B的余弦值． 解：(1)取AE的中点G，连接GF，GB. ∵点F为DE的中点， 1∴GF∥AD，且GF＝2AD， 又AD∥BC，AD＝2BC， ∴GF∥BC，且GF＝BC， ∴四边形CFGB为平行四边形，则CF∥BG. 而CF⊄平面EAB，BG⊂平面EAB，∴CF∥平面EAB. (2)∵CF⊥AD，∴AD⊥BG，而AB⊥AD， ∴AD⊥平面EAB， ∴AD⊥EA. 又平面EAD⊥平面ABCD，平面EAD∩平面ABCD＝AD， ∴EA⊥平面ABCD， 以A为坐标原点，分别以AB，AD，AE为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,2,0)，F(0,1,1)． 设平面BCF的法向量为n1＝(x，y，→n1·BC＝0z)，则→CF＝0n1· ， 0，1，0＝0x，y，z·即－1，0，1＝0x，y，z· ， 不妨令x＝1，可得n1＝(1,0,1)． 设平面CDF的法向量为n2，同理可求得n2＝(1,1,1)， n1·n26∴cos〈n1，n2〉＝|n|·＝. 31|n2|∵二面角D－CF－B为钝二面角，6∴二面角D－CF－B的余弦值为－3. 19．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB上的一点． (1)求证：平面EAC⊥平面PBC； (2)若E是PB的中点，且二面角P6－AC－E的余弦值为3，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值． 解：(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD， ∴AC⊥PC， ∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝2， 222∴AC＋BC＝AB，∴AC⊥BC， 又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC， ∵AC⊂平面EAC， ∴平面EAC⊥平面PBC. (2)以C为原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)， 11a设P(0,0，a)(a>0)，则E2，－2，2，→→→CA＝(1,1,0)，CP＝(0,0，a)，CE＝11a→，－，，PA＝(1,1，－a)． 222→显然m＝CB＝(1，－1,0)为平面PAC的一个法向量， 设n＝(x，y，z)为平面EAC的法向→→量，则n·CA＝n·CE＝0，即x＋y＝0，取x＝a，y＝－a，z＝x－y＋az＝0－2，则n＝(a，－a，－2)， |m·n|a∴|cos〈m，n〉|＝|m||n|＝2＝a＋26，则a＝2，于是n＝(2，－2，－2)，3 →PA＝(1,1，－2)． 设直线PA与平面EAC所成角为θ， →|PA·n|→则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝|2－2＋4|6×12＝23，即直线PA弦值为23. |P→A||n|EAC所成角的正与平面
20．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1
中，B1B＝B1A＝AB＝BC，∠B1BC＝90°，D为AC的中点，AB⊥B1D.
(1)求证：平面ABB1A1⊥平面ABC； (2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值．
解：(1)取AB的中点为O，连接OD，OB1，
因为B1B＝B1A，所以OB1⊥AB. 又AB⊥B1D，OB1∩B1D＝B1， 所以AB⊥平面B1OD，
因为OD⊂平面B1OD，所以AB⊥OD，
由已知，BC⊥BB1，又OD∥BC， 所以OD⊥BB1，因为AB∩BB1＝B， 所以OD⊥平面ABB1A1.
又OD⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面ABB1A1.
(2)由(1)知，OB，OD，OB1两两垂直，以O为坐标原点，OB为单位长度，建立如图所示的空间直角坐标系O－xyz. 由题设知B1(0,0，3)，D(0,1,0)，A(－1,0,0)，C(1,2,0)，C1(0,2，3)． →→则B1D＝(0,1，－3)，AC＝(2,2,0)，→CC1＝(－1,0，3)． 设平面ACC1A1的法向量为m＝(x，→→y，z)，则m·AC＝0，m·CC1＝0，即x＋y＝0，－x＋3z＝0，可取m＝(3，－3，1)． 设直线B1D与平面ACC1A1所成的角为θ， →m21B1D·故sinθ＝＝. 7→|m||B1D|·21．已知四棱锥P－ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等边三角形，E为棱PD的中点．
(1)证明：PB∥平面AEC；
(2)若侧面PAD⊥底面ABCD，PB⊥AC，求二面角B－AC－E的大小．
解：(1)连接BD交AC于点F，连接EF，
∵底面ABCD为矩形，∴F为BD的中点，
又∵E为PD的中点，∴EF∥PB. 又PB⊄平面AEC，EF⊂平面AEC， ∴PB∥平面AEC.
(2)取AD的中点O，连接PO，则PO⊥AD，
又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO⊂平面PAD，
∴PO⊥平面ABCD，
取BC的中点M，连接OM，则OM
⊥AD， 以O为坐标原点，以OA，OM，OP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系O－xyz，不妨设OA＝1，AB＝m(m>0)，则O(0,0,0)，A(1,0,0)，B(1，m,0)，C(－1，m,0)，D(－1,0,0)，P(0,0，133)，E－，0，， 22 →→∴PB＝(1，m，－3)，AC＝(－2，m,0)， →→2∵PB⊥AC，∴PB·AC＝－2＋m＝0， ∴m＝2， 平面ABC的一个法向量m＝(0,0,1)， 设平面ACE的法向量n＝(x，y，z)， →→∵AC＝(－2，2，0)，AE＝3－，0，23， 2→→由AC·n＝0，AE·n＝0得： －2x＋2y＝03， 3－2x＋2z＝0令x＝1，得n＝(1，2，3)， m·n2∴cos〈m，n〉＝|m|·＝， |n|2∵二面角B－AC－E为钝二面角， ∴所求二面角的大小为135°.
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