一元二次方程与二次函数综合题

第四讲 一元二次方程与二次函数

第一部分 真题精讲

【1】已知：关于x的方程mx23(m1)x2m30．

⑴、求证：m取任何实数时，方程总有实数根；

2ymx3(m1)x2m3的图象关于y轴对称． ⑵、若二次函数1①求二次函数y1的解析式；

②已知一次函数y22x2，证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1≥y2均成立；

⑶、在⑵条件下，若二次函数y3ax2bxc的图象经过点(5，0)，且在实数范围内，对于x的同一个值，

2yaxbxc的解析式． y≥y3≥y231这三个函数所对应的函数值，均成立，求二次函数

22(m1)x2(m2)x10. x【2】关于的一元二次方程

（1）当m为何值时，方程有两个不相等的实数根；

1（2）点A1，是抛物线y(m21)x22(m2)x1上的点，求抛物线的解析式；

（3）在（2）的条件下，若点B与点A关于抛物线的对称轴对称，是否存在与抛物线只交于点B的直线，若存在，请求出直线的解析式；若不存在，请说明理由.

2y2xbx1上的两点． 3,mm【3】已知P（)和Q（1，）是抛物线

（1）求b的值；

2（2）判断关于x的一元二次方程2xbx1=0是否有实数根，若有，求出它的实数根；若没有，请说

明理由；

2y2xbx1的图象向上平移k（k是正整数）个单位，使平移后的图象与x轴无交点，（3）将抛物线

求k的最小值．

2yax4ax4a2【4】已知抛物线，其中a是常数．

（1）求抛物线的顶点坐标；

25，且抛物线与x轴交于整数点（坐标为整数的点），求此抛物线的解析式．

（2）若

am1x2m2x10x【5】已知：关于的一元二次方程（m为实数）

（1）若方程有两个不相等的实数根，求m的取值范围；

ym1x2m2x1m（2）在（1）的条件下，求证：无论取何值，抛物线总过x轴上的一个固定点；

（3）若mm1x2m2x10x是整数，且关于的一元二次方程有两个不相等的整数根，把抛物线

ym1x2m2x1向右平移3个单位长度，求平移后的解析式．

第二部分 发散思考

2【思考1】已知关于x的一元二次方程2x4xk10有实数根，k为正整数.

（1）求k的值；

2y2x4xk1的图象向下平移8个单位，x（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于的二次函数

求平移后的图象的解析式；

（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象.请你结合这个新的图象回答：当直线

b的取值范围.

y1xbbk2与此图象有两个公共点时，

22x2(2m3)x4m14m80 x【思考2】已知：关于的一元二次方程

（1）若m0,求证：方程有两个不相等的实数根；

（2）若12＜m＜40的整数，且方程有两个整数根，求m的值．

【思考3】已知: 关于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根为正实数，二次函数y=ax2－bx+kc（c≠0）

的图象与x轴一个交点的横坐标为1.

（1）若方程①的根为正整数，求整数k的值；

(kc)2b2abakc（2）求代数式

的值；

（3）求证: 关于x的一元二次方程ax2－bx+c=0 ②必有两个不相等的实数根.

2x(2m1)xmm20． x【思考4】. 已知：关于的一元二次方程

2（1）求证：不论m取何值，方程总有两个不相等的实数根；

m2m1，求m的值．

（2）若方程的两个实数根x1，x2满足

x1x21