一、选择题
1。函数f（x）＝2x3－6x2－18x－7在[1,4］上的最小值为（ ） A.－64
B。－61
C。－56
D.－51
解析 f′（x)＝6x2－12x－18＝6（x2－2x－3)＝6(x－3）(x＋1）， 由f′（x)＞0,得x＞3或x＜－1； 由f′（x）＜0,得－1＜x＜3，
故函数f(x）在[1，3]上单调递减，在[3,4]上单调递增, ∴f(x）min＝f（3）＝2×27－6×9－18×3－7＝－61。 答案 B
2.函数f(x）＝x3＋3x2＋3x－a的极值点的个数是（ ） A。2
B.1
C.0
D.由a确定
解析 ∵f′(x)＝3x2＋6x＋3＝3(x2＋2x＋1)＝3（x＋1）2≥0，∴函数f（x)在R上单调递增，故f（x）无极值点。 答案 C
3。设函数f(x)＝ax2＋bx＋c（a,b,c∈R）.若x＝－1为函数f（x）ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f（x)图象的是（ )
解析 因为[f(x）ex］′＝f′（x)ex＋f（x）(ex）′＝[f（x）＋f′（x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f（－1）＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1）＞0，f′（－1)＞0，不满足f′（－1)＋f(－1）＝0。 答案 D
4.（2015·泰安模拟）函数f（x)＝x3－3bx＋3b在（0，1)内有极小值，则( ）
A.b＜错误! B。b＜1 C.b＞0 D.0＜b＜1
解析 由f（x）＝x3－3bx＋3b，得f′(x）＝3x2－3b。
由已知可得f′（x）＝3x2－3b在（0，1）上与x轴有交点,且满足错误!即错误!∴0＜b＜1。 答案 D
5。（2016·长沙模拟）已知函数f(x)＝x3＋ax2＋（a＋6)x＋1有极大值和极小值，则实数a的取值范围是（ ） A.(－1，2） C.(－3,6)
B。（－∞，－3）∪(6，＋∞) D。（－∞,－1）∪（2，＋∞)
解析 ∵f′（x）＝3x2＋2ax＋（a＋6)， 由已知可得f′（x）＝0有两个不相等的实根， ∴Δ＝4a2－4×3×（a＋6)＞0,即a2－3a－18＞0。 ∴a＞6或a＜－3。 答案 B 二、填空题
6。已知函数f(x）＝x3－12x＋8在区间［－3，3]上的最大值与最小值分别为M，m，则M－m＝________.
解析 由题意，得f′(x）＝3x2－12，令f′（x）＝0，得x＝±2，又f(－3)＝17，f(－2）＝24，f(2)＝－8，f（3）＝－1，所以M＝24，m＝－8，M－m＝32. 答案 32
7.（2016·广州模拟)已知f(x）＝x3＋3ax2＋bx＋a2在x＝－1时有极值0，则a－b＝________。
解析 由题意得f′（x）＝3x2＋6ax＋b，则
错误!解得错误!或错误!
经检验当a＝1，b＝3时，函数f(x）在x＝－1处无法取得极值，而a＝2，b＝9
满足题意，故a－b＝－7。 答案 －7
8.(2015·荆州模拟)函数（fx)＝ax3＋bx2＋cx＋d在x＝0处有极大值1,在x＝2处有极小值0，则常数a，b,c，d分别为________。 解析 f′(x）＝3ax2＋2bx＋c， 则错误!即错误!
解得a＝错误!，b＝－错误!，c＝0,d＝1。 答案 a＝错误!,b＝－错误!，c＝0，d＝1 三、解答题
9.(2015·柳州、北海、钦州三市联考)求函数f(x)＝－错误!x3＋2ax2－3a2x＋1(0＜a＜1)的极大值。
解 ∵f′（x）＝－x2＋4ax－3a2，且0＜a＜1.
当f′(x）＞0时，得a＜x＜3a；当f′（x）＜0时，得x＜a或x＞3a; ∴f(x)的单调递增区间为(a，3a）；
f(x)的单调递减区间为(－∞,a）和（3a,＋∞）。
故当x＝3a时，f（x）有极大值，其极大值为f(3a）＝1.
10。(2016·郑州质量预测）当a∈错误!时，函数f(x)＝ax－1＋ln x在区间（0,e）上的最大值为－4，求a的值.
11解 由题意f′（x)＝a＋x，令f′（x)＝0，解得x＝－a。 ∵a∈错误!，∴0＜－错误!＜e，
由f′（x)＞0，解得0＜x＜－错误!，由f′(x)＜0，解得－错误!＜x＜e。
从而f(x）的单调增区间为错误!,减区间为错误!.∴f（x)max＝f错误!＝－1－1＋ln错误!＝－4，解得a＝－e2.
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11.已知函数f(x)＝－x3＋ax2－4在x＝2处取得极值,若m，n∈[－1，1］,则f(m）
＋f′(n)的最小值是（ ） A.－13
B.－15
C。10
D。15
解析 对函数f(x)求导得f′（x）＝－3x2＋2ax， 由函数f(x）在x＝2处取得极值知f′（2）＝0, 即－3×4＋2a×2＝0，∴a＝3.
由此可得f(x）＝－x3＋3x2－4,f′(x)＝－3x2＋6x， 易知f(x）在(－1,0）上单调递减，在(0，1)上单调递增， ∴当m∈［－1，1]时，f（m)min＝f（0）＝－4. 又∵f′（x)＝－3x2＋6x的图象开口向下， 且对称轴为x＝1，∴当n∈[－1，1]时，
f′(n）min＝f′(－1)＝－9。故f(m)＋f′(n)的最小值为－13。 答案 A
12。(2016·福州质量检测)若函数f(x)＝错误!－错误!x2＋x＋1在区间错误!上有极值点,则实数a的取值范围是( ) A。错误!
B.错误!
C.错误!
D。错误!
解析 若函数f（x）在区间错误!上无极值，
则当x∈错误!时，f′(x）＝x2－ax＋1≥0恒成立或当x∈错误!时，f′(x)＝x2－ax＋1≤0恒成立.当x∈错误!时，y＝x＋错误!的值域是错误!；当x∈错误!时,f′（x）＝x2－ax＋1≥0，即a≤x＋错误!恒成立，a≤2；
当x∈错误!,f′（x）＝x2－ax＋1≤0，即a≥x＋错误!恒成立，a≥错误!.因此要使函数f（x)在错误!上有极值点，实数 a的取值范围是错误!，故选C。 答案 C
13。（2015·太原二模)已知f′（x）＝a(x＋1)（x－a）是函数f（x)的导函数，若f(x）在x＝a处取得极大值，则实数a的取值范围是________。
解析 ∵f′（－1）＝f′（a）＝0，∴当a＜－1时，x＜a时，f′（x)＜0，f(x)单调递减；a＜x＜－1时,f′（x）＞0,f（x）单调递增；x＞－1时，f′（x)＜0,f（x)单调递减，此时f（x）在x＝a处取得极小值，不符合题意。当－1＜a＜0时，x＜－1时，f′(x)＜0，f(x）单调递减；－1＜x＜a时，f′(x)＞0，f（x）单调递增；x＞a时，f′(x）＜0,f(x)单调递减，此时f（x)在x＝a处取得极大值，符合题意.当a＞0时,x＜－1时,f′（x）＞0,f（x)单调递增；－1＜x＜a时,f′(x)＜0,f（x)单调递减；x＞a时，f′（x）＞0,f(x）单调递增，此时f(x）在x＝a处取得极小值，不符合题意.∴实数a的取值范围是（－1，0). 答案 (－1，0)
14。(2015·成都诊断)已知a∈R，函数f（x)＝错误!＋ln x－1。 （1)当a＝1时，求曲线y＝f(x)在点(2，f（2))处的切线方程； (2)求f(x）在区间（0,e］上的最小值。
解 （1）当a＝1时，f（x)＝错误!＋ln x－1，x∈（0，＋∞）， 所以f′（x)＝－错误!＋错误!＝错误!，x∈(0，＋∞）.
因此f′(2)＝错误!，即曲线y＝f（x)在点(2,f(2))处的切线斜率为错误!。 又f（2)＝ln 2－错误!，
所以曲线y＝f（x）在点(2，f(2))处的切线方程为 y－错误!＝错误!(x－2)，即x－4y＋4ln 2－4＝0。 (2)因为f(x）＝错误!＋ln x－1，
所以f′(x）＝－错误!＋错误!＝错误!，x∈(0，＋∞）。 令f′(x)＝0，得x＝a.
①若a≤0,则f′(x）＞0,f（x）在区间(0，e］上单调递增，此时函数f（x)无最小值。
②若0＜a＜e，当x∈（0，a）时,f′（x)＜0，
函数f(x）在区间（0，a）上单调递减,当x∈（a,e］时， f′（x)＞0，函数f(x)在区间（a，e］上单调递增，
所以当x＝a时，函数f(x）取得最小值ln a。
③若a≥e，则当x∈(0，e］时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0，e］上单调递减， 所以当x＝e时，函数f(x)取得最小值错误!.
综上可知，当a≤0时，函数f(x)在区间（0，e］上无最小值； 当0＜a＜e时，函数f(x)在区间（0，e]上的最小值为ln a； 当a≥e时，函数f（x）在区间(0，e］上的最小值为错误!。
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