颍上县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学

一、选择题

1． 如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，则CD1与EF所成角为（ ）

班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________ ___________________________________________________________________________________________________

A．0° B．45° C．60° D．90°

有公共点，那么直线l的斜率k的取值范围是（ ）

2． 如果过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆 A．

B．

C．

D．

3． 下列命题正确的是（ ）

A．很小的实数可以构成集合.

B．集合y|yx21与集合x,y|yx21是同一个集合. C．自然数集 N中最小的数是. D．空集是任何集合的子集.

4． 设集合A={x|2x≤4}，集合B={x|y=lg（x﹣1）}，则A∩B等于（ ） A．（1，2） B．[1，2]

C．[1，2） D．（1，2]

x2y25． 已知双曲线C:221(a0,b0)，F1,F2分别在其左、右焦点，点P为双曲线的右支上

abPM所在直线与轴的交点坐标为(1,0)，与双曲线的一条渐 的一点，圆M为三角形PF1F2的内切圆，

近线平行且距离为

2，则双曲线C的离心率是（ ） 2A．5 B．2 C．2 D．6． 已知a，b都是实数，那么“a2＞b2”是“a＞b”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

2 27． 某大学数学系共有本科生1000人，其中一、二、三、四年级的人数比为4：3：2：1，要用分层抽样的方法从所有本科生中抽取一个容量为200的样本，则应抽取三年级的学生人数为（ ） A．80

B．40

C．60

D．20

的解集为（ ）

8． 不等式

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A．C．

或或

B．D．

9． 已知曲线C:y24x的焦点为F，过点F的直线与曲线C交于P,Q两点，且FP2FQ0，则OPQ的面积等于（ ） A．22 B．32 C．

3232 D． 2410．数列1，，，，，，，，，，…的前100项的和等于（ ） A．

B．

C．

D．

11．奇函数f（x）在（﹣∞，0）上单调递增，若f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集是（ ） A．（﹣∞，﹣1）∪（0，1） B．（﹣∞，﹣1）（∪1，+∞） C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣1，0）∪（1，+∞）

x1,y12．若x,yR，且yx,则z的最小值等于（ ）

xx2y30. A．3 B．2 C．1 D．

1 2二、填空题

13．定义在[1，+∞）上的函数f（x）满足：（1）f（2x）=2f（x）；（2）当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|，则集合S={x|f（x）=f（34）}中的最小元素是 ．

14．一个圆柱和一个圆锥的母线相等，底面半径也相等，则侧面积之比是 ．

15．利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是 ． 16．某辆汽车每次加油都把油箱加满，如表记录了该车相邻两次加油时的情况． 加油时间 加油量（升） 加油时的累计里程（千米） 35000 2015年5月1日 12 48 2015年5月15日 35600 注：“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程． 在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为 升．

17．“黑白配”游戏，是小朋友最普及的一种游戏，很多时候被当成决定优先权的一种方式．它需要参与游戏的人（三人或三人以上）同时出示手势，以手心（白）、手背（黑）来决定胜负，当其中一个人出示的手势与其它人都不一样时，则这个人胜出，其他情况，则不分胜负．现在甲乙丙三人一起玩“黑白配”游戏．设甲乙丙三人每次都随机出“手心（白）、手背（黑）”中的某一个手势，则一次游戏中甲胜出的概率是 ．

2

18．以抛物线y=20x的焦点为圆心，且与双曲线：

的两条渐近线都相切的圆的方程为 ．

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三、解答题

19．衡阳市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者，现从符合条件的志愿者中 随机抽取100名后按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第 5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示.

（1）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，则应从第3，4，5组 各抽取多少名志愿者？

（2）在（1）的条件下，该市决定在第3，4组的志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组 至少有一名志愿者被抽中的概率.

20．已知m∈R，函数f（x）=（x2+mx+m）ex． （1）若函数f（x）没有零点，求实数m的取值范围；

23

（3）当m=0时，求证：f（x）≥x+x．

（2）若函数f（x）存在极大值，并记为g（m），求g（m）的表达式；

21．在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（﹣1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于﹣．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

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（Ⅱ）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．

22．已知函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，且对定义域内的任意x，y都有f（x﹣y）=成立，且f（1）=1，当0＜x＜2时，f（x）＞0． （1）证明：函数f（x）是奇函数；

（2）试求f（2），f（3）的值，并求出函数f（x）在[2，3]上的最值．

23．在某大学自主招生考试中，所有选报Ⅱ类志向的考生全部参加了“数学与逻辑”和“阅读与表达”两个科目的考试，成绩分为A，B，C，D，E五个等级．某考场考生的两科考试成绩的数据统计如图所示，其中“数学与逻辑”科目的成绩为B的考生有10人．

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（Ⅰ）求该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩为A的人数；

（Ⅱ）若等级A，B，C，D，E分别对应5分，4分，3分，2分，1分，求该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分；

（Ⅲ）已知参加本考场测试的考生中，恰有两人的两科成绩均为A．在至少一科成绩为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，求这两人的两科成绩均为A的概率．

24．已知等差数列{an}，等比数列{bn}满足：a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1． （Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；

（Ⅱ）记cn=anbn，求数列{cn}的前n项和Sn．

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25．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的一个长轴顶点为A（2，0），离心率为，直线y=k（x﹣1）与

椭圆C交于不同的两点M，N， （Ⅰ）求椭圆C的方程； （Ⅱ）当△AMN的面积为

26．在平面直角坐标系xOy中，过点C(2,0)的直线与抛物线y24x相交于点A、B两点，设

时，求k的值．

A(x1,y1)，B(x2,y2)．

（1）求证：y1y2为定值；

（2）是否存在平行于y轴的定直线被以AC为直径的圆截得的弦长为定值？如果存在，求出该直线方程 和弦长，如果不存在，说明理由．

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颍上县高中2018-2019学年高三下学期第三次月考试卷数学（参考答案）

一、选择题

1． 【答案】C

【解析】解：连结A1D、BD、A1B，

∵正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E，F分别是AA1，AD的中点，∴EF∥A1D， ∵A1B∥D1C，∴∠DA1B是CD1与EF所成角， ∵A1D=A1B=BD， ∴∠DA1B=60°． 故选：C．

∴CD1与EF所成角为60°．

【点评】本题考查异面直线所成角的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

2． 【答案】D 【解析】解：设过点M（﹣2，0）的直线l的方程为y=k（x+2）， 联立

2222

，得（2k+1）x+8kx+8k﹣2=0，

∵过点M（﹣2，0）的直线l与椭圆

422

∴△=64k﹣4（2k+1）（8k﹣2）≥0，

有公共点，

，

]．

整理，得k解得﹣

2

， ．

≤k≤

∴直线l的斜率k的取值范围是[﹣故选：D．

【点评】本题考查直线的斜率的取值范围的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意根的判别式的合理运用．

3． 【答案】D 【解析】

试题分析：根据子集概念可知，空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，所以选项D是正确，故选D.

考点：集合的概念；子集的概念.

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4． 【答案】D

x

【解析】解：A={x|2≤4}={x|x≤2}， 由x﹣1＞0得x＞1

∴B={x|y=lg（x﹣1）}={x|x＞1} ∴A∩B={x|1＜x≤2} 故选D．

5． 【答案】C 【解析】

试题分析：由题意知1,0到直线bxay0的距离为线，离心率为2.故本题答案选C. 1 考点：双曲线的标准方程与几何性质．

【方法点睛】本题主要考查双曲线的标准方程与几何性质.求解双曲线的离心率问题的关键是利用图形中的几何条件构造a,b,c的关系,处理方法与椭圆相同,但需要注意双曲线中a,b,c与椭圆中a,b,c的关系不同.求双曲线离心率的值或离心率取值范围的两种方法：（1）直接求出a,c的值,可得；（2）建立a,b,c的齐次关系式,将用a,c表示,令两边同除以或a化为的关系式,解方程或者不等式求值或取值范围.

22b2，那么，得ab，则为等轴双曲2222ba6． 【答案】D

22

【解析】解：∵“a＞b”既不能推出“a＞b”； 22

反之，由“a＞b”也不能推出“a＞b”． 22

∴“a＞b”是“a＞b”的既不充分也不必要条件．

故选D．

7． 【答案】B

【解析】解：∵要用分层抽样的方法从该系所有本科生中抽取一个容量为200的样本， ∴三年级要抽取的学生是故选：B．

【点评】本题考查分层抽样方法，本题解题的关键是看出三年级学生所占的比例，本题也可以先做出三年级学生数和每个个体被抽到的概率，得到结果．

8． 【答案】A 【解析】 令

得

，

；

或

，故选A

其对应二次函数开口向上，所以解集为

答案：A

9． 【答案】C

×200=40，

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【解析】

∴(x11,y1)2(x21,y2)(0,0)， ∴y12y20③， 联立①②③可得m∴y1y2∴S2

1， 8(y1y2)24y1y232．

132． OFy1y222y1y24y122y122（由，得或）

y2y012y22y22考点：抛物线的性质． 10．【答案】A 【解析】解：

=1×

故选A．

11．【答案】A

【解析】解：根据题意，可作出函数图象：

∴不等式f（x）＜0的解集是（﹣∞，﹣1）∪（0，1） 故选A．

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12．【答案】B

二、填空题

13．【答案】 6

【解析】解：根据题意，得； ∵f（2x）=2f（x）， ∴f（34）=2f（17） =4f（=16f（

）=8f（）；

）

又∵当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|， ∴f（

）=1﹣|

﹣3|=，

∴f（2x）=16×=2；

当2≤x≤4时，f（x）=1﹣|x﹣3|≤1，不存在； 当4≤x≤8时，f（x）=2f（）=2[1﹣|﹣3|]=2， 解得x=6； 故答案为：6．

【点评】本题考查了根据函数的解析式求函数值以及根据函数值求对应自变量的最小值的应用问题，是基础题目．

14．【答案】 2：1 ．

【解析】解：设圆锥、圆柱的母线为l，底面半径为r， 所以圆锥的侧面积为：圆柱的侧面积为：2πrl

所以圆柱和圆锥的侧面积的比为：2：1 故答案为：2：1

=πrl

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15．【答案】 ．

【解析】解：由题意得，利用计算机产生1到6之间取整数值的随机数a和b，基本事件的总个数是6×6=36，即（a，b）的情况有36种， 事件“a+b为偶数”包含基本事件：

（1，1），（1，3），（1，5），（2，2），（2，4），（2，6）， （3，1），（3，3），（3，5），（4，2），（4，4），（4，6）

（5，1），（5，3），（5，5），（6，2），（6，4），（6，6）共18个， “在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2”包含基本事件： （1，5），（2，6），（5，1），（6，2）共4个， 故在a+b为偶数的条件下，|a﹣b|＞2发生的概率是P=故答案为：

【点评】本题主要考查概率的计算，以条件概率为载体，考查条件概率的计算，解题的关键是判断概率的类型，从而利用相应公式，分别求出对应的测度是解决本题的关键．

16．【答案】 8 升．

【解析】解：由表格信息，得到该车加了48升的汽油，跑了600千米，所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8．故答案是：8．

17．【答案】

．

3

【解析】解：一次游戏中，甲、乙、丙出的方法种数都有2种，所以总共有2=8种方案， 而甲胜出的情况有：“甲黑乙白丙白”，“甲白乙黑丙黑”，共2种， 所以甲胜出的概率为故答案为．

【点评】本题考查等可能事件的概率，关键是分清甲在游戏中胜出的情况数目．

18．【答案】 （x﹣5）2+y2=9 ．

2

【解析】解：抛物线y=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：

=

的两条渐近线方程为3x±4y=0

由题意，r

=3，则所求方程为（x﹣5）2+y2=9

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22

故答案为：（x﹣5）+y=9．

【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．

三、解答题

19．【答案】（1）3,2,1；（2）【解析】111]

试题分析：（1）根据分层抽样方法按比例抽取即可；（2）列举出从名志愿者中抽取名志愿者有10种情况，其中第组的名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有种，进而根据古典概型概率公式可得结果. 1

7 . 10（2）记第3组的3名志愿者为A1,B2，则从5名志愿者中抽取2名志愿者1,A2,A3，第4组的2名志愿者为B有(A1,B1)，(A1,A2)，(A1,A3)，(A1,B2)，(A2,B1)，(A2,B2)，(A3,B1)，(A1,B2)，2,A3)，(A3,B2)，(B共10种，其中第4组的2名志愿者B1,B2至少有一名志愿者被抽中的有(A1,B1)，(A2,B2)，(A1,B2)，(A2,B1)，

(A3,B1)，(A3,B2)，(B1,B2)，共7种，所以第4组至少有一名志愿都被抽中的概率为

考点：1、分层抽样的应用；2、古典概型概率公式. 20．【答案】

7. 102x2

【解析】解：（1）令f（x）=0，得（x+mx+m）e=0，所以x+mx+m=0． 2

因为函数f（x）没有零点，所以△=m﹣4m＜0，所以0＜m＜4． x2xx

（2）f'（x）=（2x+m）e+（x+mx+m）e=（x+2）（x+m）e，

令f'（x）=0，得x=﹣2，或x=﹣m， 当m＞2时，﹣m＜﹣2．列出下表： x

（﹣∞，﹣m） ﹣m （﹣m，﹣2） ﹣2

0

﹣

0 ↘

me﹣m

f'（x） + f（x） ↗

（﹣2，+∞） +

2

（4﹣m）e﹣ ↗

m

当x=﹣m时，f（x）取得极大值me﹣．

2x

当m=2时，f'（x）=（x+2）e≥0，f（x）在R上为增函数，

所以f（x）无极大值．

当m＜2时，﹣m＞﹣2．列出下表：

x （﹣∞，﹣2） ﹣2 （﹣2，﹣m） ﹣m （﹣m，+∞） f'（x） + f（x） ↗

0

﹣

0 ↘

+ me﹣m

↗

2

（4﹣m）e﹣

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当x=﹣2时，f（x）取得极大值（4﹣m）e﹣，

2

所以

2xxx

（3）当m=0时，f（x）=xe，令ϕ（x）=e﹣1﹣x，则ϕ'（x）=e﹣1，

当x＞0时，φ'（x）＞0，φ（x）为增函数；当x＜0时，φ'（x）＜0，φ（x）为减函数， 所以当x=0时，φ（x）取得最小值0．

2x2323

因此xe≥x+x，即f（x）≥x+x．

xx

所以φ（x）≥φ（0）=0，e﹣1﹣x≥0，所以e≥1+x，

【点评】本题考查的知识点是利用导数研究函数的单调性，利用函数研究函数的极值，其中根据已知函数的解析式，求出函数的导函数是解答此类问题的关键．

21．【答案】

设点P的坐标为（x，y）

22

化简得x+3y=4（x≠±1）．

22

故动点P轨迹方程为x+3y=4（x≠±1）

【解析】解：（Ⅰ）因为点B与A（﹣1，1）关于原点O对称，所以点B得坐标为（1，﹣1）．

（Ⅱ）解：若存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0） 则

因为sin∠APB=sin∠MPN， 所以所以

=

．

．

22

即（3﹣x0）=|x0﹣1|，解得22

因为x0+3y0=4，所以

故存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等，此时点P的坐标为

【点评】本题主要考查了轨迹方程、三角形中的几何计算等知识，属于中档题．

22．【答案】

【解析】（1）证明：函数f（x）的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称． 又f（x﹣y）=

，

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所以f（﹣x）=f[（1﹣x）﹣1]= = =

= = =，

故函数f（x）奇函数．

（2）令x=1，y=﹣1，则f（2）=f[1﹣（﹣1）]=令x=1，y=﹣2，则f（3）=f[1﹣（﹣2）]=∵f（x﹣2）=∴f（x﹣4）=则函数的周期是4．

先证明f（x）在[2，3]上单调递减，先证明当2＜x＜3时，f（x）＜0， 设2＜x＜3，则0＜x﹣2＜1， 则f（x﹣2）=设2≤x1≤x2≤3，

则f（x1）＜0，f（x2）＜0，f（x2﹣x1）＞0， 则f（x1）﹣f（x2）=∴f（x1）＞f（x2），

即函数f（x）在[2，3]上为减函数，

则函数f（x）在[2，3]上的最大值为f（2）=0，最小值为f（3）=﹣1．

【点评】本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及函数的最值及其几何意义等有关知识，综合性较强，难度较大．

23．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）因为“数学与逻辑”科目中成绩等级为B的考生有10人， 所以该考场有10÷0.25=40人，

所以该考场考生中“阅读与表达”科目中成绩等级为A的人数为： 40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3人；

（Ⅱ）该考场考生“数学与逻辑”科目的平均分为：

，

，即f（x）=﹣

＜0，

=

，

，

=

=

=

，

，

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×=2.9；

（Ⅲ）因为两科考试中，共有6人得分等级为A，又恰有两人的两科成绩等级均为A， 所以还有2人只有一个科目得分为A，

设这四人为甲，乙，丙，丁，其中甲，乙是两科成绩都是A的同学，

则在至少一科成绩等级为A的考生中，随机抽取两人进行访谈，基本事件空间为：

Ω={{甲，乙}，{甲，丙}，{甲，丁}，{乙，丙}，{乙，丁}，{丙，丁}}，一共有6个基本事件．

设“随机抽取两人进行访谈，这两人的两科成绩等级均为A”为事件B，所以事件B中包含的基本事件有1个， 则P（B）=

．

【点评】本小题主要考查统计与概率的相关知识，具体涉及到频率分布直方图、平均数及古典概型等内容．

24．【答案】 【解析】解：（I）设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q：∵a1=b1=1，a2=b2，2a3﹣b3=1．

2

∴1+d=q，2（1+2d）﹣q=1，解得

或

．

∴an=1，bn=1；

n﹣1

．

或an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，bn=3（II）当当

时，cn=anbn=1，Sn=n．

n1

时，cn=anbn=（2n﹣1）3﹣，

2n1

∴Sn=1+3×3+5×3+…+（2n﹣1）3﹣，

3Sn=3+3×32+…+（2n﹣3）3n﹣1+（2n﹣1）3n，

2n1n

∴﹣2Sn=1+2（3+3+…+3﹣）﹣（2n﹣1）3=n

∴Sn=（n﹣1）3+1．

nn

﹣1﹣（2n﹣1）3=（2﹣2n）3﹣2，

【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

25．【答案】

【解析】解：（Ⅰ）∵椭圆一个顶点为A （2，0），离心率为，

∴

∴b=

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∴椭圆C的方程为；

（Ⅱ）直线y=k（x﹣1）与椭圆C联立2222

，消元可得（1+2k）x﹣4kx+2k﹣4=0

设M（x1，y1），N（x2，y2），则x1+x2=∴|MN|=

∵A（2，0）到直线y=k（x﹣1）的距离为∴△AMN的面积S=∵△AMN的面积为∴∴k=±1．

，

=

，

【点评】本题考查椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查三角形面积的计算，解题的关键是正确求出|MN|．

26．【答案】（1）证明见解析；（2）弦长为定值，直线方程为x1. 【解析】

（2）根据两点间距离公式、点到直线距离公式及勾股定理可求得弦长为4(1a)x18a4a ，进而得

2a1时为定值.

myx2,试题解析：（1）设直线AB的方程为myx2，由2

y4x,2得y4my80，∴y1y28，

因此有y1y28为定值．111]

x12y1,)，AC(x12)2y12， 22111(x12)2y12x124，E点到直线xa的距离因此以AC为直径圆的半径rAC222x2d|1a|，

2（2）设存在直线：xa满足条件，则AC的中点E(第 16 页，共 17 页

所以所截弦长为2rd222x212(x14)(1a)2x124(x122a)2 424(1a)x18a4a2．

当1a0，即a1时，弦长为定值2，这时直线方程为x1．

考点：1、直线与圆、直线与抛物线的位置关系的性质；2、韦达定理、点到直线距离公式及定值问题.

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