《数学分析选讲》第五次作业解答

《数学分析选讲》第五次作业解答

一、判断下列命题的正误

1. 若f(x)在[a,b]上有无限多间断点，则f(x)在[a,b]上一定不可积.（错误）

f(x)dxf()(ba)f(x)[a,b](a,b)a2．若在上连续，则存在，使．（正确）

b3．若f(x)与g(x)在[a,b]上都可积，则f(x)g(x)在[a,b]上也可积. （正确）

4．若af(x)dx收敛，则xlimf(x)0.（错误）

5．若

limun0,n则

un1n发散. （正确）

二、选择题

1．f(x)在[a,b]上连续是

baf(x)dx存在的（ B ）

A 必要条件； B 充分条件； C 充要条件 ； D 既不充分也不必要

2．若10(xk)dx2，则k（ D ）

3A 0 ； B 1 ； C 1 ； D 2

x3．F(x)=

F(x)(t1)(t3)dt0,则F(2)( B )

A 3 ； B 1 ； C 3 ； D 1

4．设f(u)连续，已知

nxf(2x)dxtf(t)dt0012，则n应是（ C ）

1A 2 ； B 1 ； C 4 ； D 4

5．函数f(x)是奇函数，且在[a,a]上可积，则（ B ）

aA aaf(x)dx20f(x)dx ； B aaf(x)dx0；

aaC

af(x)dx20f(x)dx ； D

aaf(x)dx2f(a)

6．0xex2dx( D )

1A 0 ； B 1 ； C

2 ； D 17．若级数

n1np1收敛，则必有（ D ）.

A p2 ； B p2 ； C p2 ； D p2

12

xnnn2n18．幂级数的收敛半径是 ( D )

11A 4 ； B 2 ； C 4 ； D 2

三、计算题

1．求定积分

104x2dx.

解: 令x2sint，则

10sin2t32(t)62324x2dx46cos2tdt26(1cos2t)dt000

1dx0exex2．求定积分 .

1111xx1dxdearctanearctanexx0e2x104 解： 0ee13．求定积分

e1e|lnx|dx．

解：

e1e|lnx|dx1lnxdxlnxdxx(lnx1)1x(lnx1)1e1e1e1e

12212ee

4．求定积分

11sin3xcosx41dx21x.

解：

11sin3xcosx41dx1x211sin3xcosx4dx1x2111x2dx

111dxarctanx111x22

1四、证明题

2xf(t)dt1[0,1]f(x)[0,1]f(x)10设在上连续，且.证明 在上只有一个解.

x证 令

F(x)2xf(t)dt1,f(x)1,F(x)2f(x)0,0 从而

xF(x)在[0,1]上严格单增. 又F(0)10,F(1)10f(t)dt0[1f(t)]dt0,

11所以F(x)0即原方程在[0,1]上只有一个解.