实验11-数据统计与分析

实验十一 数据的统计与分析

姓名：芦琛璘 班级：化33 学号：2013011934

实验目的：

1、 掌握数据的统计描述和参数估计、假设检验的基本概念与原理，以及用MATLAB实现的

方法。 

2、 练习用这些方法解决实际问题 

实验内容：

【问题1】炮弹射击的目标为一个半径为100m的圆形区域，弹着点以圆心为中

心呈二维正态分布，其中x方向的标准差为80m，y方向的标准差为50m相关系 数r=0.4，求炮弹命中圆形区域的概率。

【模型建立】

设目标中心坐标x=0;y=0,圆的半径为100，则圆形区域表示为：

Ω：x󰬶󰵅y󰬶󰵑R󰬶

二维正态分布的概率密度函数为：

11󰝔󰬶󰝔󰝕󰝕󰬶

f󱈺x,y󱈻󰵌exp󰀃󱉊󰵆󱉈󰬶󰵆2󰝎󰵅󰬶󱉉󱉋

2󱈺1󰵆󰝎󰬶󱈻󰟪󰯫󰟪󰯫󰟪󰯬󰟪󰯬2󰟨󰟪󰯫󰟪󰯬√1󰵆󰝎󰬶代入数据得：󰀃

11󰝔󰬶󰝔󰝕󰝕󰬶

f󱈺x,y󱈻󰵌exp󰀃󱉊󰵆󱉈󰵆2∗0.4󰵅󱉉󱉋

2󱈺1󰵆0.4󰬶󱈻80󰬶80∗5050󰬶2󰟨∗80∗50√1󰵆0.4󰬶

所以概率为

P=∬exp󱉄󰵆󱈺󱉂󰵆2∗0.4󰬼󰬴∗󰬹󰬴󰵅󰬹󰬴󰰮󱉃󱉅󰝀󰝔󰝀󰝕(积分区域Ω） 󰬶󰬵󰬿󰬴.󰬸󰰮󱈻󰬼󰬴󰰮󰬶󰰗∗󰬼󰬴∗󰬹󰬴√󰬵󰬿󰬴.󰬸󰰮由于该积分难以求解，所以采用蒙特卡罗方法计算P

【模型求解】

由于该积分难以求解，所以采用蒙特卡罗方法计算P，用matlab编写如下程序： daba.m:

sx=80; sy=50; r=0.4;

n=10000000;

x=unifrnd(-100,100,1,n); y=unifrnd(-100,100,1,n); m=0;z=0; for i=1:n;

if x(i)^2+y(i)^2<=100^2

u=exp(-(x(i)^2/sx^2-2*r*x(i)*y(i)/(sx*sy)+y(i)^2/sy^2)/(2*(1-r^2))); z=z+u; m=m+1;

󰬵

󰬵

󰯫󰰮

󰯫󰯬

󰯬󰰮

化学工程系 化33 芦琛璘 

清华大学《数学实验》实验报告 

end end

p=200*200*z/(2*pi*sx*sy*sqrt(1-r^2))/n

【结果如下】

运行多次结果如下：

次数

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

P

0.6981 0.6981 0.6977 0.6978 0.6978 0.6982 0.6982 0.6981 0.6978 0.6979

求取平均值得到P=0.6980; 从结果中可以看到蒙特卡罗方法的计算结果具有随机性，而且n很大具有比较大的计算量。

【问题2】轧钢有粗轧和精轧两道工序，粗轧的均值可由轧机调控，得到的钢材长度成正态分布，粗轧后钢材若长于规定钢材长度，则进行精轧，多于长度 为浪费，若粗轧后钢材长度小于规定长度，则整段钢材均浪费，问题：已知规 定长度l和粗轧钢材长度的均方差σ，求粗轧的钢材均值m，使总浪费最小。 L=2m，σ=0.20m

（1） 每粗轧一段钢材的浪费最小；

（2） 每得到一根规定长度钢材的浪费最小。

【模型建立】

设z为每粗轧一根长为x的钢材的浪费长度为：

󰝔󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰝔󰵏󰀃󰝈

z󱉄

󰝔󰵆󰝈󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰀃󰝔󰵒󰝈

【结果如下】

(1) 题设要求每粗扎一段钢材的浪费最小，即每次粗轧的浪费后在进行精轧的浪费最小。 可用粗产n根钢材的浪费总长度除以粗轧的钢材数n得到每粗轧一段钢材的浪费。编写如下程序：

gang.m:

function y=gang(m); s=0.2; n=100000;

x=normrnd(m,s,1,n);

化学工程系 化33 芦琛璘 

清华大学《数学实验》实验报告 

z=0;

for i=1:n; if x(i)>=2; z=z+x(i)-2; else z=z+x(i); end end y=z/n;

执行以下程序：

[m,fv]=fminsearch(@gang,2)

【结果如下】：

项目 1. 2. 3. 4. 5. 均值

m fv 2.3375 0.4261

2.3236 0.4262 2.3250 0.4254

2.3390 0.4262 2.3291 0.4257

2.33084 0.42592

所以m=2.33时，浪费的钢材最少，为0.425米

（2）题设要求每得到一根规定长度钢材的浪费最小。即每粗轧出一根能进行精轧钢管时消 耗的钢材最短，可用粗轧n段钢材所浪费的总长度，除以n段钢材中可以进行精轧，即长度 不小于两米的钢材数n，得每得到一根规定长度钢材的浪费。改变求每根浪费长度时的分母 即可，编写如下程序 gang.m: 

function y=gang1(m); s=0.2; n=100000;

x=normrnd(m,s,1,n); z=0; k=0;

for i=1:n; if x(i)>=2; z=z+x(i)-2; k=k+1; else z=z+x(i); end end y=z/k; 执行以下程序：

化学工程系 化33 芦琛璘 

清华大学《数学实验》实验报告 

[m,fv]=fminsearch(@gang,2)

【结果如下】

项目 6. 7. 8. 9. 10. 均值

m fv 2.3563 0.4441

2.3562 0.4450 2.3691 0.4452

2.3558 0.4445 2.3625 0.4445 2.35998 0.44466 

所以m=2.36时，浪费的钢材最少，为0.445米  

实验小结：

通过本次实验，我们复习了相关的概率统计了的内容，练习了MATLAB中各个概率统计命令，由于在上个学期学习过相关的概率统计知识，所以在原理的理解上比较容易。对这部分知识的原理掌握还算可以。例如，第一道题中的x、y，由于其并不相互独立，所以不能完全照着老师上课所给的模型，而是要结合二维的正态分布的概率密度公式进行计算， 同时由于x、y的不相互独立，不能利用对称规则进行处理。通过这次实验，也体会到了蒙特卡罗方法对于求解概率密度函数复杂时的概率的问题所显现出的优势，但是也有一定的缺点比如计算量大，结果具有随机性。

󰀃

化学工程系 化33 芦琛璘