2020年中考数学专题训练5.二次函数压轴题(含解析)

2

二次函数压轴题

1. 如图①，抛物线y＝ax＋(a＋2)x＋2(a≠0)与x轴交于点A(4，0)，与y轴交于点B，在x轴上有一动点P(m，0)(0(2)若PN∶MN＝1∶3，求m的值；

(3)如图②，在(2)的条件下，设动点P对应的位置是P1，将线段逆时针旋转得到OP2，旋转角为α(0°＜α<90°），连接AP2、的最小值．

图①

图②

第1题图

解：(1)∵A(4，0)在抛物线上，

∴0＝16a＋4(a＋2)＋2，解得a＝－1

2

；

1

OP1绕点O求AP3

2，2＋2BP2

BP123

(2)由(1)可知抛物线解析式为y＝－x＋x＋2，令x＝0可得y＝2，

∴OB＝2，∵OP＝m，∴AP＝4－m，∵PM⊥x轴，∴△OAB∽△PAN，∴OBPN2PN

OA＝PA，即4＝4－m，∴PN＝1

2(4－m)，

∵M在抛物线上，∴PM＝－12m2＋3

2m＋2，

∵PN∶MN＝1∶3，∴PN∶PM＝1∶4，

∴－12m2＋32m＋2＝4×1

2(4－m)，

解得m＝3或m＝4(舍去)，即m的值为3；

(3)如解图，在y轴上取一点Q，使

22OQOP2＝3

2

，2

第1题解图

由(2)可知P1(3，0)，且OB＝2，OP23∴＝，且∠P2OB＝∠QOP2，OB2∴△P2OB∽△QOP2，QP2OP23∴＝＝，BP2OB2

93

∴当Q(0，)时，QP2＝BP2，

223

∴AP2＋BP2＝AP2＋QP2≥AQ，

2

∴当A、P2、Q三点在一条直线上时，AP2＋QP2有最小值，9

又∵A(4，0)，Q(0，)，

2

92145

4＋（）＝，

22

2

∴AQ＝

3

3

即AP2＋BP2的最小值为

2145

.2

2

2. 如图，已知二次函数y＝ax＋bx＋4的图象与x轴交于

A(－2，0)，B(4，0)两点，与y轴交于点C，抛物线的顶点为D，点P是x轴上方抛物线上的一个动点，过(1)求二次函数表达式及顶点

P作PN⊥x轴于N，交直线BC于M.

D的坐标；

(2)当PM＝MN时，求点P的坐标；

(3)设抛物线对称轴与x轴交于点H，连接AP交对称轴于E，连接BP并延长交对称轴于F，试证明HE＋HF的值为定值，并求出这个定值．

第2题图

解：(1)∵A(－2，0)，B(4，0)在二次函数的图象上，将数表达式中，

4a＋（－2）b＋4＝016a＋4b＋4＝0

A，B点代入二次函

得，

4

解得

a＝－

12，b＝1∴二次函数的表达式为

y＝－12

x2

＋x＋4，

将其化为顶点式为y＝－12

92(x－1)＋2，

∴顶点D的坐标为(1，9

2

)；

(2)由抛物线表达式得点C的坐标为(0，4)，

设直线BC的解析式为y＝kx＋c(k≠0)，将点B(4，4k＋c＝0k＝－1

c＝4，解得c＝4

，

∴直线BC的解析式为y＝－x＋4，(5分)∵点P在x轴上方的抛物线上，

∴设点P的坐标为(t，－12t2

＋t＋4)(－2＜t＜4)，

∵PN⊥x轴于N，∴点N的坐标为(t，0)，∵PN交BC于M，

∴点M的坐标为(t，－t＋4)，(7分)

∵PM＝MN，点P在点M的上方，∴PN＝2MN，即－12

t2

＋t＋4＝2(－t＋4)，

5

0)，点，4)代入得C(0解得t1＝2，t2＝4(与B重合舍去)，

∴当PM＝MN时，点P的坐标为(2，4)；(8分)

第2题解图

(3)如解图，过点P作PG⊥x轴于点G，设点P的坐标为(t，－∵DH⊥x轴于点H，∴PG∥DH，∴△AHE∽△AGP，△BGP∽△BHF，∴EHPG＝AHAG，PGBGFH＝BH

，∴EH＝AH·PGAG，FH＝BH·PG

BG，(10分)

当点G在BH上时，

∵AH＝BH＝3，AG＝t＋2，BG＝4－t，PG＝－12

2

t＋t＋4，

6

12t2

＋t＋4)，

4－t＋t＋2PGPG1

∴EH＋FH＝3(＋＝9，)＝3·(－)(t＋2)(t－4)·

2（t＋2）（4－t）t＋24－t同理，当点G在AH上，由抛物线对称性可知，结果相同．综上可知，HE＋HF的结果为定值，且这个定值为

9.(14分)

3. 如图，在平面直角坐标系中，直线

12

y＝x＋1与抛物线y＝ax＋bx－3交

2

于A、B两点，点A在x轴上，点B的纵坐标为3.点P是直线AB下方的抛物线上一动点(不与点A、B重合)，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，作PD⊥AB于点D.

(1)求a、b及sin∠ACP的值；(2)设点P的横坐标为m.

①用含m的代数式表示线段PD的长，并求出线段PD长的最大值；②连接PB，线段PC把△PDB分成两个三角形，是否存在适合的这两个三角形的面积之比为说明理由．

m值，使

9 ∶10？若存在，直接写出m的值；若不存在，

7

第3题图

1

解：(1)由x＋1＝0，得x＝－2，

2∴A(－2，0)，

1

由x＋1＝3，得x＝4，∴B(4，3)．2∵y＝ax2＋bx－3经过A、B两点，

（－2）2·a－2b－3＝04·a＋4b－3＝31a＝

21b＝－

2

2

∴，

解得，

如解图，设直线AB与y轴交于点E，则E(0，1)．∵PC∥y轴，∴∠ACP＝∠AEO.

OA225

∴sin∠ACP＝sin∠AEO＝＝2＝；2AE52＋1(2)①由(1)知，抛物线的解析式为121

y＝x－x－3，

22121

∴P(m，m－m－3)，

221

C(m，m＋1)，

2

8

112112

∴PC＝m＋1－(m－m－3)＝－m＋m＋4.

2222

122552

在Rt△PCD中，PD＝PC·sin∠ACP＝(－m＋m＋4)×＝－(m－1)

255＋95

5.

∵－5

5

<0，

∴当m＝1时，PD有最大值95

5；

②存在，m＝52或32

9

.

【解法提示】如解图，分别过点D、B作DF⊥PC，点F、G.

第3题解图

由图中几何关系可知∠FDP＝∠DCP＝∠AEO，

9

BG⊥PC，垂足分别为OE15

∴cos∠FDP＝cos∠AEO＝＝2＝，2AE52＋1

512

在Rt△PDF中，DF＝cos∠FDP·PD＝PD＝－(m－2m－8)．

55又∵BG＝4－m，

1

－（m2－2m－8）5m＋2DF

＝＝＝.BG54－mm＋295＝＝时，解得m＝；

5102m＋21032＝＝时，解得m＝.

599

∴

S△PCDS△PBC

当

S△PCDS△PBC

当

S△PCDS△PBC

532

∴m＝或.

29

4. 如图，在平面直角坐标系中，四边形

OABC是矩形，OA＝3，AB＝4，

在OC上取一点E，使OA＝OE，抛物线y＝ax2＋bx＋c过A，E，B三点．(1)求B，E点的坐标及抛物线表达式；

(2)若M为抛物线对称轴上一动点，则当|MA－ME|最大时，求M点的坐标；(3)若点D为OA中点，过D作DN⊥BC于点N，连接AC，若点P为线段OC上一动点且不与C重合，PF⊥DN于F，PG⊥AC于G，连接GF，是否存在点P，使△PGF为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的坐标；若不存在，请说明理由．

P点

10

第4题图

解：(1)∵OA＝3，AB＝4, OA＝OE，∴A(0，3)，B(－4，3), E(－3，0)．将A，B，E三点坐标代入y＝ax2＋bx＋c中，

c＝3

9a－3b＋c＝0

a＝1c＝3

得16a－4b＋c＝3，解得b＝4，

∴抛物线的表达式为y＝x2＋4x＋3；(3分)

(2)∵抛物线y＝x＋4x＋3的对称轴为直线x＝－2，点A关于对称轴的对称点为点B，

∴当|MA－ME|最大时，M在直线BE与直线x＝－2的交点处，即连接BE并延长交直线x＝－2于点M，M点即为所求，如解图①，(5分)

2

11

第4题解图①

设直线BE的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，∵直线过B(－4，3)，E(－3，0)，∴－4k＋b＝3－3k＋b＝0，

∴

k＝－3b＝－9

，

∴直线BE的解析式为y＝－3x－9.当x＝－2时，y＝－3，∴M(－2，－3)；(7分)

(3)设P(x，0)(x＜0)，如解图②，过点P分别作PF⊥DN于点于点G，

过点G作GH⊥OC于点H，交DN于点Q，连接GF，

12

，PG⊥ACF第4题解图②

∵OA＝3，AB＝4，∠AOC＝90°，∴AC＝5，

∵D为OA的中点，DN⊥BC，3PGOA∴PF＝，sin∠1＝＝，

2PCACPG3

∴＝，x＋453（x＋4）

∴PG＝，

5CGOC

∵cos∠1＝＝，

PCACCG4∴＝，x＋454（x＋4）

∴CG＝.

5∵△CGH∽△CAO，

13

GHCGCH∴＝＝，AOCACOGHCGCH∴＝＝，

354

334（x＋4）12（x＋4）∴GH＝CG＝×＝，

55525444（x＋4）16（x＋4）

＝，(9分)CH＝CG＝×

55525

16（x＋4）9（x＋4）∴PH＝QF＝OC－CH－OP＝4－＋x＝，

252512（x＋4）3

－，GQ＝GH－QH＝

252∴在Rt△GQF中，

22

12（x＋4）81（4＋x）9（x＋4）36（x＋4）9322

－]＋＝－＋.GF＝[

25262525254

要使△PGF为等腰三角形，可分三种情况讨论：

2

＝GP，(ⅰ)当GF＝GP时，GF

2

9（x＋4）36（x＋4）99（x＋4）

∴－＋＝，

252542539

∴x＝－，

16

39

∴P1(－，0)；(11分)

16

(ⅱ)当FG＝FP时，FG2＝FP2，

22

14

9（x＋4）236（x＋4）99∴－＋＝，

252544∴x1＝－4，x2＝0.∵点P不与C重合，

∴x＝－4(舍去)，∴P2(0，0)；(12分)

3（x＋4）3

＝，(ⅲ)当PG＝PF时，

523

∴x＝－，

2

3

∴P3(－，0)．(13分)

2

393

综上所述，存在P1(－，0)，P2(0，0)使△PFG为等腰三角形．(140)，P3(－，

162分)

112

5. 已知：直线y＝2x－3与x轴、y轴分别交于A、B，抛物线y＝3x＋bx＋c经过点A、B，且交x轴于点C.(1)求抛物线的解析式；(2)点P为抛物线上一点，且点

P在AB的下方，设点P的横坐标为m.

①试求当m为何值时，△PAB的面积最大；

②当△PAB的面积最大时，过点P作x轴的垂线PD，垂足为点D，问在直线PD上是否存在点Q，使△QBC为直角三角形？若存在，直接写出符合

15

条件的Q点的坐标，若不存在，请说明理由．

第5题图备用图

解：(1)∵直线y＝1

2x－3与x轴、y轴分别交于则A(6，0)，B(0，－3)，

又∵抛物线y＝13x2

＋bx＋c经过点A、B，

0＝1

3则3×62＋6b＋c，

解得b＝－2，

－3＝c

c＝－3

16

A、B，

123

∴抛物线的解析式为y＝x－x－3；

32

123

(2)①∵点P的横坐标为m，∴P(m，3m－2m－3)，∵点P在直线AB下方，∴0＜m＜6，

第5题解图①

如解图①，过点P作x轴的垂线，交AB于点则E(m，1

2

m－3)，

∴PE＝12m－3－(13m2－32m－3)＝－13m2

＋2m，

∴S1

△PAB＝S△BPE＋S△PEA＝2PE·OA

＝112(－3m2

＋2m)×6＝－(m－3)2

＋9，

∴当m＝3时，△PAB的面积最大；

17

，交x轴于点，ED9

②在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形；点Q的坐标为(3，)

43

或(3，－)．

2

3

【解法提示】直线PD的解析式为：x＝3，易得C(－，0)，D(3，0)，

2COQD

当∠BCQ＝90°时，如解图②，易证△COB∽△QDC，则＝，可得Q(3，

94

)；当∠CBQ＝90°时，如解图③，易知3，得y＝－32，∴Q(3，－3

2

)；

第5题解图②

Q在AB上，将18

OBDCx＝3代入直线y＝1

2x－

第5题解图③

当∠BQC＝90°时，如解图④，易证△CDQ∽△QRB，则CDDQ

QR＝BR，＝DQ

3

，无解．

第5题解图④

综上所述，在直线PD上存在点Q，使△QBC为直角三角形，点为(3，93

4)或(3，－2

)．

19

9即

23－DQQ的坐标6. 如图，抛物线y＝x－4x－5与x轴交于A，B两点(点B在点A的右侧)，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D.(1)求A，B，C三点的坐标及抛物线的对称轴；

(2)如图①，点E(m，n)为抛物线上一点，且22

大值；

(3)如图②，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点P请说明理由．

图①

图②

第6题图

解：(1)把y＝0代入y＝x2－4x－5，得x2

－4x－5＝0，解得x1＝－1，x2＝5，∵点B在点A的右侧，

20

P，使以点P，B，C的坐标；若不存在，

∴A，B两点的坐标分别为(－1，0)，(5，0)，把x＝0代入y＝x2－4x－5，得y＝－5，∴点C的坐标为(0，－5)，∵y＝x2－4x－5＝(x－2)2－9，∴抛物线的对称轴为直线

x＝2；(4分)

(2)由题意可知，四边形EHDF是矩形，∵抛物线的对称轴为直线

2

x＝2，点E坐标为(m，m2－4m－5)，

∴EH＝－m＋4m＋5，EF＝m－2，

∴矩形EHDF的周长为2(EH＋EF)＝2(－m2＋4m＋5＋m－2)＝－2(m2－5m5237

－3)＝－2(m－)＋，

22∵－2<0，2537

∴当m＝时，矩形EHDF的周长最大，最大值为；(8分)

22

第6题解图

21

(3)存在点P，使以点P，B，C为顶点的三角形是直角三角形．如解图，设点P的坐标为(2，k)，

∵B和C两点的坐标分别为(5，0)，(0，－5)，∴BC＝52＋52＝52，①当∠CBP＝90°时，∵BC2＋BP2＝CP2，

∴(52)2＋(5－2)2＋(－k)2＝22＋(k＋5)2，解得k＝3，∴P1(2，3)；(10分)②当∠PCB＝90°，∵BC2＋PC2＝BP2，

∴(52)2＋22＋(k＋5)2＝(5－2)2＋(－k)2，解得k＝－7，∴P2(2，－7)；(12分)③当∠CPB＝90°时，∵PC＋PB＝BC，

∴2＋(k＋5)＋(5－2)＋k＝(52)，解得k＝1或k＝－6，∴P3(2，1)，P4(2，－6)，

22

2

2

2

2

2

2

2

2

综上所述，满足条件的点P的坐标为(2，3)，(2，－7)，(2，1)或(2，－6)．(14分)

12

7. 如图，抛物线y＝－x＋bx＋c经过A(2，0)，B(－4，0)两点，直线y＝

42x－2交y轴于点D，过点B作BC⊥x轴交直线CD于点C.(1)求抛物线的解析式；

(2)求点B关于直线y＝2x－2对称的点E的坐标，判断点E是否在抛物线上，并说明理由；

(3)点P是抛物线上一动点，过点

P作x轴的垂线，交直线CE于点F，是

否存在这样的点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

第7题图

12

解：(1)∵抛物线y＝－x＋bx＋c的图象经过点A(2，0)，B(－4，0)两点，

4

23

－1

4

×4＋2b＋c＝0∴

－1

，

4

×16－4b＋c＝0解得

b＝－

12，c＝2

∴抛物线的解析式为y＝－124x－1

2x＋2；

(2)点E在抛物线上，理由如下：

如解图①，设直线CD：y＝2x－2与x轴交于点N，过点垂足为点M，

令y＝2x－2＝0，解得x＝1，

∴点N的坐标为(1，0)，点D的坐标为(0，－2)，∵BN2＝25，BD2＝20，DN2＝5，BN2＝BD2＋DN2，∴BD⊥CD，

∵点B和点E关于点D对称，∴BE＝2BD，∴BE＝45，∵当x＝－4时，y＝2x－2＝－10，∴点C的坐标为(－4，－10)，∵BN＝5，BC＝10，∴CN＝55，

又∵∠MBE＝∠BCN，∠CBN＝∠BME，

24

作⊥x轴，EEM∴△CBN∽△BME，BEME45ME∴＝，即＝，CNBN555∴ME＝4，

根据勾股定理得BM＝BE2－ME2＝80－16＝8，∴BM＝8，∴OM＝4，∴点E的坐标为(4，－4)，当x＝4时，

y＝－14x2－12x＋2＝－14×16－1

2×4＋2＝－4，

∴点E在抛物线上；

第7题解图①

(3)存在，点P的坐标为(－1，9

－5＋3294)或(2，－3329＋151

8

)．

25

3329－151－5－8)或(

3292，【解法提示】如解图②，设直线CE的解析式为y＝kx＋b′，

3

－4k＋b′＝－10k＝

4，由(2)得点C(－4，－10)，E(4，－4)，∴，解得

4k＋b′＝－4

b′＝－7

第7题解图②

∴直线CE的解析式为y＝3

4

x－7.

∵PF⊥x轴，设点P的坐标为(a，－14a2－12a＋2)，则点－7)，

∴PF＝|－14a2－12a＋2－(3125

4a－7)|＝|－4a－4a＋9|，

要使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，∵PF∥BC，∴PF＝BC＝10.

当－124a－5

4

a＋9＝10时，

26

F的坐标为(a，3

4a

解得a1＝－4(舍去)，a2＝－1，9

∴点P的坐标为(－1，)，

4125

当－a－a＋9＝－10时，

44－5＋329解得a1＝，

2－5－329

，a2＝2

－5＋3293329－151－5－329

∴点P的坐标为(，，)或(

2823329＋151

－)，

8

综上所述，存在点P，使以点P、B、C、F为顶点的四边形为平行四边形，－5＋3293329－151－5－3299

点P的坐标为(－1，)或(，，－)或(

42823329＋151

)．8

8. 如图，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)过点A(3，－3)和点B(33，0)，过点A作直线AC∥x轴，交y轴于点C.(1)求抛物线的解析式；

(2)在抛物线上取一点P，过点P作直线AC的垂线，垂足为D.连接OA，使得以A，D，P为顶点的三角形与△AOC相似，求出相应点P的坐标；1

(3)抛物线上是否存在点Q，使得S△AOC＝S△AOQ？若存在，求出点Q的坐标；

3

27

若不存在，请说明理由．

第8题图

解：(1)将点A(3，－3)，B(33，0)分别代入y＝ax2＋bx中，得－3＝3a＋3b

0＝27a＋33b

，

a＝1解得2，

b＝－

332

∴抛物线的解析式为y＝1233

2x－2

x；

(2)设P点的坐标为P(m，12m2－33

2m)，则D(m，－3)，

∴PD＝|12m2－33

2m＋3|，AD＝|m－3|，

∵∠ACO＝∠ADP＝90°，

∴①当△ACO∽△ADP时，有ACAD

OC＝PD

，

28

|m－3|3

即＝，31233

|m－m＋3|221233

∴3|m－3|＝|m－m＋3|，

22

12331233

∴3(m－3)＝m－－m＋3或－3(m－3)＝mm＋3，整理得2222

2

－53m＋12＝0或m－3m＝0，m2

解方程m2－53m＋12＝0得：m1＝43，m2＝3(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；

解方程m－3m＝0得：m3＝0，m4＝3(点P与A点重合，△APD不存在，舍去)；

此时P点的坐标为P(0，0)或P(43，6)；ACPD②当△ACO∽△PDA时，有＝，

OCAD1233|m－m＋3|

232

即＝，3|m－3|1233∴3|m－m＋3|＝|m－3|，22

12331233∴3(m－－m＋3)＝m－3或－3(m2222m＋3)＝m－3，整理得3m2－11m＋83＝0或3m2－7m＋43＝0，

83解方程3m－11m＋83＝0，得：m1＝，m2＝3(点P与A点重合，△

3

22

APD不存在，舍去)；

29

4

解方程3m－7m＋43＝0，得：m1＝3，m2＝3(点P与A点重合，△

3

2

APD不存在，舍去)；

8344310

此时P点的坐标为P(，－)或P(，－)，

3333

综上可知：以点A、D、P为顶点的三角形与△AOC相似时，点P的坐标为：8344310

P(0，0)或P(43，6)或P(3，－3)或P(3，－3)；

(3)存在．在Rt△AOC中，OC＝3，AC＝3，根据勾股定理得∵S1331

△AOC＝2OC·AC＝2，S△AOC＝3S△AOQ，

∴S93

△AOQ＝2

，

∵OA＝23，∴△AOQ边OA上的高为9

2，

如解图，过点O作OM⊥OA，截取OM＝9

2

，

第8题解图

30

OA＝23，过点M作MN∥OA交y轴于点N，∵AC＝3，OA＝23，∴∠AOC＝30°，又∵MN∥OA

∴∠MNO＝∠AOC＝30°，

∴在Rt△OMN中，ON＝2OM＝9，即N(0，9)，过点M作MH⊥x轴交x轴于点H，

199393∵∠MNO＝30°，∴∠MOH＝30°，∴MH＝OM＝，OH＝，即M(，

24449

)，4

设直线MN的解析式为y＝kx＋9(k≠0)，993

把点M的坐标代入得＝k＋9，即k＝－3，44∴y＝－3x＋9，

y＝－3x＋9

联立得

1233，

y＝x－x

22

或

x＝－23y＝15

，即Q(33，0)或(－23，15)．

解得

x＝33y＝0

9. 如图，抛物线经过原点点B(2，－2)．(1)求抛物线的解析式；

O(0，0)，与x轴交于点A(3，0)，与直线l交于

31

(2)点C是x轴正半轴上一动点，过点C作y轴的平行线交直线l于点E，

交抛物线于点F，当EF＝OE时，请求出点C的坐标；(3)点D为抛物线的顶点，连接OD，在抛物线上是否存在点＝∠AOP？如果存在，请直接写出点

P，使得∠BOD

P的坐标；如果不存在，请说明理由．

第9题图备用图

解：(1)由题意可设抛物线的解析式为y＝ax＋bx，

2

将A(3，0)，B(2，－2)代入y＝ax2＋bx中，

32

得

9a＋3b＝0

，解得，

4a＋2b＝－2b＝－3

2

a＝1

∴抛物线的解析式为y＝x－3x；(2)设直线l的解析式为y＝kx，

将B(2，－2)代入y＝kx中，得－2＝2k，解得k＝－1，

∴直线l的解析式为y＝－x，

设点C的坐标为(n，0)，则点E的坐标为(n，－n)，点F的坐标为(n，n2－3n)．

①当点C在点A的左侧时，如解图①所示，EF＝－n－(n2－3n)＝－n2＋2n，

2

＋（－n）＝2n，OE＝n

2

∵EF＝OE，∴－n2＋2n＝2n，

解得n1＝0(C，E，F三点均与原点重合，舍去)，n2＝2－2，∴点C的坐标为(2－2，0)；

②当点C在点A的右侧时，如解图②所示，EF＝n2－3n－(－n)＝n2－2n，

2＋（－n）＝2n，OE＝n

2

∵EF＝OE，∴n2－2n＝2n，

解得n1＝0(C，E，F均与原点重合，舍去)，n2＝2＋2，

33

∴点C的坐标为(2＋2，0)；

综上所述，当EF＝OE时，点C的坐标为(2－2，0)或(2＋2，0)；14141616

(3)存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(，－)或(，)．

525525329

【解法提示】抛物线的解析式为y＝x－3x＝(x－)－，

24

2

39

∴顶点D的坐标为(，－)，设抛物线的对称轴交直线

24

l于点M，交x轴正

半轴于点N，过点D作DG⊥OB于点G，过点P作PH⊥x轴于点H，如解图③所示，

∵直线l的解析式为y＝－x，∴∠MON＝45°，

332

∴△ONM为等腰直角三角形，ON＝MN＝，OM＝2ON＝，

22933

∴DM＝－＝，

424在Rt△DGM中，

∵∠DMG＝∠NMO＝45°，∴Rt△DGM为等腰直角三角形，3232∴MG＝DG＝×＝，

428

3232152

∴OG＝OM＋MG＝＋＝.

288

34

设点P的坐标为(c，c2－3c)，当点P在x轴下方时，如解图③所示，OH＝c，HP＝3c－c2

，

第9题解图③

∵∠HOP＝∠BOD，∴tan∠HOP＝tan∠BOD，32∴HPDG

3c－c2

8OH＝OG，即c＝152

，8

解得c0(P点与O点重合，舍去)，c14

1＝2＝5，

∴点P的坐标为(1414

5，－25

)；

当点P在x轴上方时，如解图④所示，OH＝c，35

＝c2

－3c，

HP第9题解图④

32

2

c－3c8

同理可得＝，

c152

8

16

解得c1＝0(P点与O点重合，舍去)，c2＝，

51616

∴P点的坐标为(，)．

525

141416

综上所述，存在点P使得∠BOD＝∠AOP，点P的坐标为(，－)或(，

525516

)．25

1

10. 在平面直角坐标系中，直线y＝x－2与x轴交于点B，与y轴交于点C，

212

二次函数y＝x＋bx＋c的图象经过B，C两点，且与x轴的负半轴交于点

2A，动点D在直线BC下方的二次函数图象上．(1)求二次函数的表达式；

36

(2)如图①，连接DC，DB，设△BCD的面积为S，求S的最大值；(3)如图②，过点D作DM⊥BC于点M，是否存在点D，使得△CDM中的某个角恰好等于∠ABC的2倍？若存在，直接写出点D的横坐标．．．；若不存

在，请说明理由．

图①图②

第10题图

解：(1)直线y＝1

2x－2中，令y＝0，解得x＝4，

令x＝0，解得y＝－2，∴点B(4，0)，C(0，－2)，

将点B(4，0)，C(0，－2)代入y＝12

2x＋bx＋c中，得b＝－

3

2，c＝－2

∴二次函数的表达式为

y＝123

2x－2

x－2；

37

8＋4b＋c＝0c＝－2，解得

第10题解图①

(2)如解图①，过点D作DE∥y轴，交BC于点E，

1231

设点D的坐标为(x，x－x－2)(－1222112312

∴DE＝x－2－(x－x－2)＝－x＋2x，

2222

112

∴S＝S△CDE＋S△BDE＝(－x＋2x)×4＝－x2＋4x＝－(x－2)2＋4，

22∴当x＝2时，S有最大值，S的最大值为4；29

(3)存在，满足条件的点D的横坐标为2或.

11123

【解法提示】令y＝0，则x－x－2＝0，

22解得x1＝－1，x2＝4，∴A(－1，0)，

∵B(4，0)，C(0，－2)，

38

∴AB2＝52＝25，AC2＝12＋(－2)2＝5，BC2＝42＋22＝20，∴AB2＝AC2＋BC2，

∴△ABC是以∠ACB为直角的直角三角形，如解图②，取

AB的中点P，

第10题解图②

∴P(3

2

，0)，

∴PA＝PC＝PB＝5

2，

∴∠CPO＝2∠ABC，∴tan∠CPO＝OC

OP＝

tan2∠ABC＝4

3

，

过点D作x轴的平行线交y轴于点R，交BC的延长线于点①当∠DCM＝2∠ABC＝∠DGC＋∠CDG，∵DG∥x轴，

39

G，连接CR，∴∠DGC＝∠ABC，∴∠CDG＝∠ABC，

OC1CR1

∴tan∠CDG＝tan∠ABC＝＝，即＝，

OB2DR2123

设点D(x，x－x－2)，

22123

∴DR＝x，RC＝－x＋x，

22

123

－x＋x221∴＝，解得x1＝0(舍去)，x2＝2，

x2∴点D的横坐标为2；②当∠MDC＝2∠ABC，4

∴tan∠MDC＝，

3

设MC＝4k，∴DM＝3k，DC＝5k，3k1

∵tan∠DGC＝＝，

MG2

∴MG＝6k，∴CG＝2k，∴DG＝35k，∵∠MGD＝∠RGC，∠DMG＝∠CRG＝90°，∴△DMG∽△CRG，DMDG∴＝，CRCG

40

2545

∴CR＝k，RG＝2CR＝k，

55

3k35k45115

即＝，∴DR＝35k－k＝k，CR2k55115

k5DRx

∴＝＝，CR255k－1x2＋3

22x解得x＝0(舍去)，x29

12＝11，

∴点D的横坐标为29

11

，

综上所述，满足条件的点

D41

2或29

11

.

的横坐标为