理论力学

第一章 静力学公理和物体受力分析

§1-1 力和刚体的概念

§1-2 静力学基本公理

§1-3 约束和约束力

§1-4 物体的受力分析²受力图

1. 静力学研究作用在物体上力系的平衡。具体研究以下三个问题。 （1）物体的受力分析： （2）力系的等效替换和简化： （3）力系的平衡条件及其应用。

2. 力是物体间相互的机械作用，这种作用使物体的运动状态发生变化或使物体产生变形。

力的作用效应由力的大小、方向和作用点决定，称为力的三要素。力是定位矢量。作用在刚体上的力可沿作用线移动，是滑动矢量。

3. 刚体是在力作用下不变形的物体，它是实际物体的抽象化模型。在静力学中把物体看成刚体，从而简化了平衡问题的研究。

4. 静力学公理是力学的最基本、最普遍的客观规律。 公理1 力的平行四边形法则。

公理2 二力平衡公理。

以上两个公理，阐明了作用在一个物体上力系最简单的合成方法及其平衡条件。

公理3 加减平衡力系公理。

此公理是研究力系等效变换的依据。公理2、公理3只适用于刚体。 公理4 作用和反作用定律。

此公理阐明了两物体间相互作用力的关系。 公理5 刚化公理。

此公理阐明了变形体抽象成刚体的条件，并指出刚体平衡的必要和充分条件只是变形体平衡的必要条件。

5. 约束和约束力

限制非自由体某些位移的周围物体，称为约束，如：绳索、铰链、滚动支座、球铰链及止推轴承等。约束对非自由体施加的力称为约束力。约束力的方向与该约束所能限制的位移方向相反。应根据约束本身的特性确定其约束力。

6. 物体的受力分析和受力图是研究物体平衡和运动的前提。

画物体受力图时，首先要明确研究对象、取分离体；再画出作用在物体上的主动力和约束力。当分析多个物体组成的系统受力时，要注意分清内力与外力，内力成对可不画；还要注意作用力与反作用力之间的相互关系。

第二章 平面汇交力系与平面力偶系

§2-1 平面汇交力系合成与平衡的几何法

§2-2 平面汇交力系合成与平衡的解析法

§2-3 力对点之矩的概念及计算

§2-4 平面力偶理论

1.

平面汇交力系合成为通过汇交点的一个合力

，其大小、方向等于各分力的矢量和，即

（1）在几何法中，合力的大小、方向由力多边形的封闭边表示。

（2）在解析法中，根据合力投影定理，利用各分力在两个正交轴上投影的代数和，按下列公式计算合力的大小和方向余弦：

；

，

2.

平面汇交力系平衡的必要和充分条件是合力（1）平衡的几何条件：力多边形自行封闭。

（2）平衡的解析条件：各分力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零，即

等于零。

两个独立的平衡方程，可解两个未知量。

3.

力矩是度量力对物体转动效应的物理量。平面问题中，力对点之矩是代数量。

力臂是指矩心到力作用线的距离，取逆时针转向为正，反之为负。

4.

合力矩定理 平面汇交力系的合力

对平面内任一点之矩等于各分力对该点之矩的代数和，即

5.

力偶是等值，反向，不共线的两个平行力组成的特殊力系。力偶无合力，也不能与一个力平衡。力偶对物体只产生转动效应。

6. 力偶矩是度量力偶对物体转动效应的物理量，即

力偶臂

是两力作用线间的距离，取逆时针转向为正，反之为负。

７.

力偶对任一点之矩等于力偶矩，而与矩心位置无关。

8.

同平面内力偶的等效条件：同平面内的两个力偶，如力偶矩相等，则两力偶等效。

9. 平面力偶系的合成与平衡

平面力偶系可合成为一个合力偶。合力偶矩等于各分力偶矩的代数和，即

平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零，即

一个独立的平衡方程，解一个未知量。

第三章 平面力系

§3-1 力的平移定理 §3-4 平面力系的平衡条件和平衡方程

§3-2 平面力系向一点简化 §3-5 物体系的平衡²静定与静不定概念

§3-3 平面力系简化结果分析 §3-6 平面简单桁架

1. 力的平移定理 作用在刚体上某点A 的力F 可平行移动到任意点B,平移时需附加一个力偶，该力偶的力偶矩等于力F 对平移点B 的力矩。 2. 平面力系的简化 根据力的平移定理，将平面力系向平面内任一点简化，得到一个力和一个力偶。力的大小、方向等于力系的主矢，力偶的矩等于力系对简化中心的主矩。主矢与简化中心位置无关，主矩与简化中心位置有关。 3. 力系的简化结果归结为计算两个基本物理量--主矢和主矩。它们的解析表达式分别为 4. 平面力系向一点简化有三种可能情形： 主矢 主矩 简化结果 平衡 力偶 合力 5. 合力矩定理 合力对某一点之矩等于力系中各力对该点之矩的代数和。 6. 平面力系平衡的必要与充分条件 力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：

7. 平面力系的平衡方程有三种形式：

基本形式：

二矩式：

（A 、B 连线不能与x 轴垂直）

三矩式：

三个独立的平衡方程，可解三个未知量。

（A 、B 、C 三点不共线）

8. 求解力系平衡问题的方法和步骤。 （1）选取研究对象；

（2）分析研究对象受力，画受力图；

（3）根据力系的类型列写平衡方程，选取适当的坐标轴和矩心，以使方程中未知量个数最少； （4）求未知量，分析和讨论计算结果。

9.

分析物体系统平衡时，注意分清内力和外力，并注意灵活选择研究对象及平衡方程，以便简捷求解。如系统是由n 个受平面力系作用的物体组成，则独立的平衡方程数为

个。

10.

桁架由二力杆铰接而成，求平面简单桁架各杆内力有节点法和截面法。

平面汇交力系

一、填空题

1. 力系简化的主要依据是 。

2. 不为零的力在某轴上的投影等于零，则该力与轴的夹角应为 ___________ 。

3．平面汇交力系的力多变形如图所示，各力系的合力分别为 。

4、平面汇交力系平衡的充分必要条件是_____________________________。 二、选择题

10. 如图所示系统只受F作用而处于平衡。欲使A支座约束反力的作用线与AB

0

成30角，则斜面的倾角α应为（ ）

A 00 B 300 C 450 D 600

三、计算题

1、右图所示平面刚架ABCD在B点受一水平力F作用。设F=20kN，不计刚架本身的重量，求A与D两支座的反力。

2、求图示三角支架中杆AB、BC所受的力。

3、如图所示，球重G1=100N,置于光滑水平桌面上。物体D重G2=150N。当球处于静止状态时，用解析法求拉力T和桌面对球的约束反力。

第二章 平面汇交力系

一、内容提要

本章讲述了研究平面汇交力系的合成和平衡条件的两种方法：几何法和解析法。 1.求平面汇交力系的合力

(1) 几何法求合力。

根据力多边形法则求合力，即力多边形缺口的封闭边代表合力的大小和方向。 FR =ΣF

合力的作用线通过原力系各力的汇交点。

(2) 解析法求合力。 根据合力投影定理，利用力系中各分力在两个正交轴上的投影的代数和，来确定合力的大小和方向为

FRFRXFRYtanFRYFRX22FX2FYFXFY

2

α为合力FR与x轴所夹的锐角。合力FR的指向由ΣFY和ΣFX的正负号来确定，合力

的作用线通过原力系各力的汇交点。

2.平面汇交力系的平衡条件

(1) 平衡的必要和充分条件：平面汇交力系的合力为零，即

FR=ΣF=0

(2) 平衡的几何条件：平面汇交力系的力多边形自行封闭。

(3) 平衡的解析条件：平面汇交力系中所有各力在两个坐标轴上投影的代数和分别等于零。即

ΣFX=0 ΣFY=0

通过这两个独立的平衡方程，可求解出两个未知量。 3.力在坐标轴上的投影为

FX =±Fcosα

FY=±Fsinα

式中α为力F与坐标轴x所夹的锐角。

二、典型例题解析

例 简易起重机如图2-1a所示。B、C为铰支座，钢丝绳的一端缠绕在卷扬机的点D上。杆件AB、AC及滑轮的自重不计，滑轮的半径也不计。试求杆件AB、AC所受的力。 （空13行） 图2-1

知识点：平面汇交力系的平衡条件及应用。

解 （1）取铰A为研究对象。杆AB、AC均为二力杆，可设为拉力。由于A处为定滑轮，故钢丝绳两端的拉力相等，都等于物体的重量W = 20kN。不计滑轮半径，则铰A的受力图如图2-1b所示。 （2）几何法求解

作闭合的力多边形。在选定比例尺后，先画已知力FTD和W，考虑到实际情况，FNC应该为压力，所以应向上，且与水平成60°角。过a点作水平线平与FNC交与d。则两未知力FNC和FNB的大小，可量得

FNC = 19.7kN FNB = 2.8 kN

(3) 解析法求解

根据图b列平衡方程

∑Fy = 0 -10 -10³

2222- FNC³

3212= 0

∑Fx = 0 -FNB -10³- FNC³

= 0

解得 FNB =2.79 kN FNC = -19.71kN

FNC为负值，说明AC 杆实际受力方向与假设方向相反，为压力。

正如教材中所言，几何法具有简捷、直观的优点，解析法则计算精确。两种方法在今后的学习中都有应用，不可偏废。 三、思考题提示或解答

2-1 两平面汇交力系如图所示，两个力多边形中各力的关系如何?

（空8行） 思 2-1图

答：图a中各力首尾相接，力系平衡；

图b中F2 是F3、F4、F1的合力。

2-2 某物体受平面汇交力系的作用如图所示，试问这两个力多边形求得的合力是否一样? 这两个力多边形为何不同?

（空10行）

思 2-2图

答：求得的合力一样。

两个力多边形之所以不同是由于力合成的顺序不同。 2-3 合力一定比分力大吗? 答：不一定。

2-4 如图所示，各物体受三个不等于零的力作用，各力的作用线都汇交于一点，图a中力F1和F2共线。试问它们是否可能平衡?

（空10行） 思 2-4图 答：图b可能平衡，图a、c不可能平衡。 四、习题解答

2-1 略 2-2 略

2-3 已知一钢管重W = 10 kN，放置于斜面中，如图所示。 试用几何法求斜面的反力F NA、F NB。

（空10行）

题 2-3图

解 取钢管为研究对象，A、B两处均为光滑接触面约束，做出受力如图b所示。选定比例尺后，画出闭合的力多边形如图c所示。量得

FNA = 7.2 kN FNB = 8.9 kN 2-4 已知F1 = F2 = 100kN，F3 = F4 = 200kN，各力方向如图所示。试分别计算各力在x轴和y轴上的投影。

解 各力投影的正负号直接判断 。 （空10行*18字距）

F1x = -100³

2222= -70.7 kN 题 2-4图

F1y = 100³= 70.7 kN

F2x = -100³F2y = -100³

3212= -86.6kN

= -50 kN

F3x = 200³F3y = -200³

3212=173.2 kN

= -100 kN

F4x = 0

F4y =200 kN

2-5 已知在梁AB的跨中部作用一力F = 30kN，方向如图所示。试用解析法求支座A、B的反力。

(空10行)

题2-5图

解 取梁为研究对象。它受到主动力F及支座反力F A、F B三个力作用。利用三力平衡汇交定理，可画出梁的受力图，如图b所示。图中F A、F B的指向为假设。

列平衡方程：

由ΣFx = 0 得 F A ³

22-FB ³

22 = 0

由ΣFY = 0 得 F A ³解方程得：

22+ FB ³

22-30 = 0

F A = FB = 21.2 kN

2-6 已知三铰刚架如图所示，受水平力F作用。当F = 200kN时，求固定铰支座A、B的反力。刚架自重不计。

(空10行) 题2-6图

解 取刚架整体为研究对象，BC部分只在B、C两铰处有力作用，为二力构件，故可知FB 应过B、C两点，假设为压力，斜向上；根据三力平衡汇交定理可知，铰A处的反力必过F与FB 的交点C。通过以上分析可画出受力图如图b所示。列平衡方程

ΣFx = 0 - F A ³

22-FB ³

22+ 200 = 0

ΣFY = 0 - F A ³解方程得

22+ FB ³

22 = 0

F A =FB =141.4 kN

2-7 已知图示支架，杆两端均为铰接，作用重力W = 20kN，求杆AB、AC所受到的力。各杆的自重均不计。

（空10行） 题2-7图

解 此类支架问题中，由于各杆中间均无其他力作用，故都是二力杆。求解杆内力时可取铰A为研究对象，受力图如图所示。

（空10行） 题解2-7图

a) 列平衡方程

ΣFx = 0 - FAB + FAC³

12=0

ΣFY = 0 - 20 + FAC³

32=0

解方程得 FAB = 11.5 kN FAC = 23.1 kN

b) 坐标轴选取如图所示，这样比较简便。列平衡方程

ΣFx = 0 FAC - 20³

12= 0

32ΣFY = 0 FAB - 20³= 0

解方程得 FAB = 17.32 kN FAC = 10 kN

c) 列平衡方程

ΣFx = 0 - FAB³ΣFY = 0 FAB³

3212+ FAC³

1232= 0

+ FAC³

- 20 = 0

解方程得 FAB = FAC =20 kN