关于一个分式型不等式的推广

2008年3月　　　　　　　　　　　　　　JournalofWeifangUniversity　　　　　　　　　　　　　　　　Mar.2008

关于一个分式型不等式的推广

李兴国

(潍坊一中,山东　潍坊　261031)

3

摘　要:利用导数及函数的单调性证明了一个分式不等式猜想,并将这个不等式推广到一般形式。关键词:导数;均值不等式;柯西不等式

中图分类号:O122.3　　　　文献标识码:A　　　　文章编号:1671-4288(2008)02-0103-02文献[1]提出一个分式不等式猜想:

设ai>0,bi>0(i=1,2,…,n),a1+…an=p,x>0,则

n

∑a

i=1

bi

x+1x

i

≥(b1+…+bn)

p

x

x+1

(1)

当且仅当ai=pbi/(b1+…+bn)(i=1,2,…,n)时(1)取等号。

我们首先利用导数(函数的单调性)证明这一猜想。

定理1　设ai>0,λi>0(i=1,2,…,n),a1+…+an=1,λ1+…+λn=1,x>0,则

n

∑

i=1

λxi+1

ai

x

≥1(2)

当且仅当ai=λi(i=1,2,…,n)时(2)取等号。

n

证明　令　f(x)=

n

∑

i=1

1

λx+i

n

ai)

x

=

x

∑

i=1

λ

λi(i)x,x∈[0,+∞),显然f(x)在[0,+∞)上连续可导,

ai

n

(x)=f′

λ(1n∑a

i

i=1

λi

i

λi

ai

(x)=,f″

λ(1n∑a

i

i=1

λi

i

)

2

λi

ai

x

,

(x)≥0,当且仅当ai=λi(i=1,2,…,n)时f″(x)=0,所以f′(x)在[0,+∞)上单调增加,显然f″

(x)≥f′(0),当且仅当ai=λi(i=1,2,…,n)时f′(x)=f′(0),又故x>0时,f′

n

(0)=f′

∑

i=1p

λi(1n

λi

ai

)=1n[(

λ1

a1

)

λ1

λnλ

…()],

n

an

利用均值不等式的加权形式:

a11a22…ann≤p1a1+…+pnan,

p

p

(3)

a

其中p1+…+pn=1,pi>0(i=1,2,…,n),当且仅当a1=a2=…=an时(3)取等号。得到　()

λ1

a1a1

λ1

nλ1n

…()≤λ+…+λn=11

λλ1λnn

n

aa

λ1λλnλ

即　　()1…()≥1

n

an

(4)

λ1λ2λn

当且仅当==…=时(4)取等号。

a1

a2

an

(x)≥0,当且仅当ai=λi(i=1,2,…,n)时f′(x)=0,故f(x)在[0,+∞)上单所以x>0时,f′

n

调增加,从而x>0时,f(x)≥f(0)=1,所以

∑

i=1

1

λx+i

ai

x

≥1,当且仅当ai=λi(i=1,2,…,n)时取等号。

3收稿日期:2007-10-20

作者简介:李兴国(1970-),男,山东昌乐人,潍坊一中教师。

—103—

潍坊学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年3月

在定理1中令λi=bi/(b1+…+bn)(i=1,2,…,n),则有推论1　设ai>0,bi>0(i=1,2,…,n),a1+…an=1,x>0,则

n

∑a

i=1n

bi

x+1xi

x+1

≥(b1+b2+…+bn)

(5)

当且仅当ai=bi/(b1+…+bn)(i=1,2,…,n)时(5)取等号。推论2　设ai>0,bi>0(i=1,2,…,n),a1+…+an=p,x>0,则

∑a

i=1

n

bi

x+1xi

≥(b1+…+bn)

p

x

x+1

(6)

当且仅当ai=pbi/(b1+…+bn)(i=1,2,…,n)时(6)取等号。证明　令ci=ai/p,(i=1,2,…,n),则c1+…+cn=1,由推论1知

p

x

∑

i=1

bi

x+1

n

a

xi

=

∑

i=1

bi

x+1

c

xi

x+1

≥(b1+b2+…+bn)

所以(6)成立,当且仅当ci=bi/(b1+…+bn)(i=1,2,…,n),

即ai=pbi/(b1+…+bn)(i=1,2,…,n)时(6)取等号。推论2即是文献[1]提出的一个猜想。笔者在研究不等式(1)时发现,不等式(1)中的指数幂还可以推广,利用均值不等式和柯西不等式,得到不等式(1)的一般形式。引理[2]　(均值不等式)　设xi>0,(i=1,2,…,n),则

1)　2)　

1

n

n

∑x

i=1n

α

i

≥≤

1

n

n

∑x

i=1n

α

i

α>1或α<0)　(

　(0<α<1)

1

n

∑x

i=1

α

i

1

n

∑x

i=1

α

i

其中1)或2)中等号成立当且仅当x1=x2=…=xn。

定理2　设ai>0,bi>0(i=1,2,…,n),β>0,γ≥β+1,或γ<0,0<β≤1,则

n

n

∑b

i=1

ai

i

γ

(

β

≥n

1-γ+β

∑a

i=1ni=1

i

)

γ

(7)

β

i

(

∑b)

其中(7)等号成立当且仅当

1)γ>β+1或γ<0,0<β≤1时,a1=a2=…an,b1=b2=…=bn。2)γ=β+1时,(a1,…an)=k(b1,…,bn),ϖk>0。

11[2]

证明　当β>0,γ≥β+1时,对γ>1,存在γ′>1,使得+=1,由柯西不等式知

γγ′

n

n

i

∑a

i=1

=

∑b

i=1

ai

βγi

b≤

βγi

n

∑b

i=1

ai

i

1γγ

n

β

∑b

i=1

1

β

γ′γ′γi

(8)

且(8)等号成立当且仅当

aib

βγi

γ

=k1bγi

β

γ

γ-1β

′,(ϖk1>0)(i=1,2,…,n),即ai=k′bi(i=1,2,…,n),其中k′=k11

γ-1

>0。

γ-1

又β>0,γ≥β+1,所以≥1,由引理知

β

n

n

n

∑

i=1

bi=

∑

i=1n

b

βγ-1γ-1βi

≥

∑b

i=1

βγ-1

β

γ-1i-1

nβ

γ-1

当β>0,γ>β+1时,上式等号成立当且仅当b1=b2=…bn。所以　—104—

∑

i=1

b

βγ-1i

γ-1

≤n

γ-1-β

n

∑

i=1

bi

β

(下转第110页)

潍坊学院学报　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2008年3月

5　结束语

本文尝试分析了设计基模运转的高功率连续固体激光器谐振腔的基本原则,制定了设计内含热透镜的基模运转的热稳腔的基本思路和步骤,并以

Nd:YAG固体激光器为例,从理论上求出其最佳腔参数。对于设计固体激光器谐振腔具有一定的参考价值。

参考文献:

[1]WalterK.Solid-statelaserengineering[M].Beijing:SciencePress,2002,171:-207.

[2]翟华金.激光棒位置对热不敏凹凸腔运转特性的影响[J].光学学报,1994,14(10):1026-1030.[3]VittorioM.1January1986/Vol.25,No.1/Appliedoptics,107-117.

[4]吕文华.高功率热稳定及不对准低敏感TEM00模谐振腔设计[J].激光杂志,2004,25(1):8-10.

DesignofResonatorsforHigh-PowerCWSolid-State

LasersOperatingatFundamentalMode

LVWen-hua

(WeifangUniversity,Weifang261061,China)

Abstract:Afewcriticaltheoriesandrulesconcerningthedesignofresonatorsusedforhigh-powercwsolid-statelasersoperatingatfundamentalmodewerepresentedinthispaper.Followingtheserulesandtheories,weanalyzedthedetailedproceduresfordesigningthistypeofresonator.Basedonthese,wedesignNd:YAGsolid-statelasers,andderivedoptimalcavityconfigurationparameters.Keywords:resonator,thermalfocallength,thermalstability

(责任编辑:刘乃生)

(上接104页)

n

(

∑

i=1

ai)

γ

n

≤

∑b

i=1

ai

i

γβ

n

∑

i=1

b

β

γγ-1γ′i

≤n

γ-1-β

n

∑b

i=1

ai

i

γβ

n

(

∑

i=1

bi)

β

所以(7)成立,等号成立的充要条件由证明过程即可得出。当γ<0,0<β≤1时,即为文献[3]定理1。

显然当β=x,γ=x+1时即为不等式(1),因此不等式(7)是(1)的推广。

参考文献:[1]杨　飞.从一道习题到两个优美的不等式[J].数学通报,1999,(9):19-20.[2]匡继昌.常用不等式(第三版)[M].济南:山东教育出版社,2004:10.

[3]李建潮.一个分式型不等式定理及其应用的注记[J].数学通报,2001,(7):39.

TheImprovementforoneFractionalInequality

LIXing-guo

(No.1WeifangMiddleSchool,Weifang261031,China)

Abstract:OnefractionalinequalityguessedbyYangfeiisprovedwiththewaysoffunctionalderivativeandmono2tone,andthegeneralinequalityforthefractionalinequalityisrevisedandimproved.Keywords:derivative,averagevalueinequality,cauchy’sinequality

(责任编辑:刘乃生)—110—