投稿邮耱：ｓｘｊｋ＠ｖｉｐ ’６３ ＣＯｒｎ 数学教学通讯（教师版）…一… …一………试题研究＞知识延伸 经过圆锥曲线外一点的切线方程公式 陈劲松 李世臣 河南周口师范学院数学与信息科学系４６６００１ 河南周口市川汇区教体局教研室４６６００１ 出 睫酬 经过圆锥曲线外一点求圆锥曲线 Ｐ（ｘｏ，ｙｏ）的切线万程为 ，（ ，ｙ） ＋ ＋乱＋２ｙ＋３＝０ｋｌ￣－ｌ３：Ｊ的直 的切线方程是一件比较麻烦的事情． （Ａｘｏ＋Ｂｙｏ＋Ｄ） ＋（Ｂｘｏ＋Ｃｙｏ＋Ｅ） ＋ 线方程． 本文利用定比分点公式较为简捷地推 （Ｄｘｏ＋Ｅｙｏ＋Ｆ）＝０． 解析因Ｄｆ（０，１）＝６，Ｈ＝４ｘ＋２ｙ＋４， 导出了圆锥曲线外一点的切线方程公 将曲线特殊化．鼬 腔 容易得到以下推论． 由公式（１）得（乱＋ ＋４） ＝６（ ＋４ ＋ 式．该公式结构优美．便于记忆．应用 推论１ 过定点Ｐ（ 。， 。）向椭圆 ＋ ４ｘ＋２ｙ＋３）， 方便．并且很容易将其拓展到三维空 即５ ＿ ＋ ＋ 一１＝０，分解因式 间．得到经过二次曲面外一点的切锥 １引切线，当点Ｐ（‰， 。）不在椭圆上 （ －—，，＋１）（５ ＋ｙ一１）＝０， 面方程公式． 所求切线方程为 －ｙ＋ｌ＝Ｏ，５ 一１＝ 定理 已知定点Ｐ（‰，Ｙｏ）和非退化 时，切线方程为（ ＋ 一１）。＝ Ｑ 曲线， ，ｙ）＝Ａｘ％２Ｂｘｙ＋Ｃｙ２＋２Ｄｘ＋２Ｅｙ＋ Ｆ＝０，则经过点Ｐ（ 。，ｙ０）与曲线，相切的 （ ＋旁一－）（薯＋ 一·）；当点Ｐ（ 。） 例２求过点Ｐ（４，一８）与圆锥曲线 ， （ ，ｙ） ＋ ＋ 一２ｙ—ｌ＝０￣ｅ）Ｊ的直线 切线方程满足日 ， ｏ， ）……（１）， 在椭圆上时，切线方程为竽＋（ｒ Ｄ ＝Ｌ 方程． 其中Ｈ＝（Ａｘ０＋Ｂｙ０＋Ｄ） ＋（启ｋ０＋Ｃｙ０＋Ｅ）ｙ＋ 解析 因为推论２过定点ＪＰ（粕，Ｙ０）向双曲线 厂（４，一８）＝６３，Ｈ＝７（１一 ｔＤｘ Ｅｙ ． ｙ），由公式（１）得［７（１ ）］ ＝６３（ ＋ 证明 设Ｑ（ ，ｙ）是经过点Ｐ（ ｏ，ｙｏ） 旷 ｏ岳：１引切线，当点Ｐ（ ‰，Ｙ０）不在双 产 一１）， 的直线上的任一点，直线 与曲线，： ￣＇Ｐ９ｘ％９ｘｙ＋ 一１６＝０分解因式 ｆ（ｘ，ｙ）＝０交于点尺（ｍ，ｎ），点Ｒ分司所成 曲线上时，切线方程为（ ＸｏＸ一。 一１） ＝ （３ 十 ）（３ｘ＋２ ）：０， 的比为Ａ．由定比分点公式得ｍ：—ｘｏ＋Ａｘ（ 一暑一１）（ ａ２一 ｂ２—１）；当点Ｐ（ｘｏ，Ｙｏ） 所求切线方程为３ －４＝０，３ｘ＋２ｙ＋ １＋Ａ ４＝０． 该定理可推广到三维空间． ｎ＝ ｙｏ＋Ａｙ在双曲线上时，切线方程为ＴＸｏＸ一 ＝１． １十Ａ 『－代入曲线ｆ ，ｙ）－０，整理得 Ｄ‘ ）兰Ⅱｌｌ ＋ｃ ２２ｙ２＋ｎ３乒 ＋ ｆ（ｘ，ｙ）Ａ２＋２ＨＡ Ｘ０，ｙｏ）＝０……（２）． 推论３过定点Ｐ（‰，Ｙｏ）向抛物线 若约定Ｆ（ｘ，Ｙ，２ａ１：ｘｙ＋２ｏａｚｙｚ＋２￣ＩＺＸ＋２ａ１４ ＋２ｏｚｔｙ＋２ｃｂ ＋ 由于直线尸Ｑ与曲线，相切的充要条 引切线，当点Ｐ（ ｏ，Ｙ。）不在抛物线 ０４４， （ ，Ｙ， ）＝０ｌ ＋口２ ＋ｎ３ ＋ｃ （ ： ， ＝１— 件是：关于Ａ的一元二次方程（２）有相等 上时，切线方程为［ｙｏＹ－Ｐ（ ０ ）］ ２４’』：ｌ一４），则有如下推广： 实数根，ｔ￣ｐ＇Ａ＝４Ｈ２＿４ｆ（ｘ，ｙ）ｆ（ｘ０，ｙｏ）＝０，整 Ｘｏ）（ 一ｚｐ ）；＂３－点Ｐ（ ， ）在抛物线上 设点Ｐ（‰，ｙｏ， ）不在常态二次曲面 理得日 气ｒ（ ，ｙ： ０， ）． 时，切线方程ｙｏｙ＝ｐ（ ）． ∑：Ｆ（ｘ，ｙ，ｚ）＝０ ｈ，则从点Ｐ作二次曲面 当ｐ（ｘ０，ｙ０）在曲线， （ ，ｙ）＝０时， 以上结论，形式优美，简洁易记，使 的切锥面方程为日 ＝Ｆ（ ，），，ｚ）Ｆ（ｘ０，ｙｏ， ｆ（ｘ０，ｙｏ）＝０，（１）式变￣ｓＨ＝０． 用方便． ＺＯ），其中，Ｈ＝ｘＦ￣（‰，Ｙｏ， ）＋ （粕，Ｙｏ， 所以，经过曲线， ，ｙ）＝０．２－一点 例１求过点Ｐ（０．１）与圆锥曲线，： 。０）柠 （Ｘｏ，Ｙｏ， ）十 （Ｘｏ，Ｙｏ，Ｚ－ｏ）．