空间中直线与平面之间的位置关系

空间中直线与平面之间的位置关系

知识点一 直线与平面的位置关系

1、直线和平面平行的定义

如果一条直线和一个平面没有公共点，那么这条直线和这个平面平行。 2、直线与平面位置关系的分类

（1）直线与平面位置关系可归纳为

(2)在直线和平面的位置关系中，直线和平面平行，直线和平面相交统称直线在平面外，我们用记号a来表示a∥和aA这两种情形． (3)直线与平面位置关系的图形画法：

①画直线a在平面内时，表示直线的直线段只能在表示平面的平行四边形内，而不能有部分在这个平行四边形之外，这是因为这个用来表示平面的平行四边形的四周应是无限延伸而没有边界的，因而这条直线不可能有某部分在某外；

②在画直线a与平面相交时，表示直线a的线段必须有部分在表示平面a的平行四边形之外，这样既能与表示直线在平面内区分开来，又具有较强的立体感；

③画直线与平面平行时，最直观的画法是用来表示直线的线在用来表示平面的平行四边形之外，且与某一边平行。

例1、下列命题中正确的命题的个数为 。 ①如果一条直线与一平面平行，那么这条直线与平面内的任意一条直线平行；②如果一条直线与一平面相交，那么这条直线与平面内的无数条直线垂直；③过平面外一点有且只有一条直线与平画平行；④一条直线上有两点到一个平面的距离相等，则这条直线平行于这个平面。

变式1、下列说法中正确的是 。

①直线l平行于平面内无数条直线，则l//； ②若直线a在平面外，则a//; ③若直线a//b，直线b，则a//;

④若直线a//b，直线b，那么直线a就平行于平面内的无数条直线。

变式2、下列命题中正确的个数是( )

①若直线l上有无数个点不在平面α内，则l∥α

②若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都平行

③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行，那么另一条也与这个平面平行 ④若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任意一条直线都没有公共点 A.0 B.1 C.2 D.3 分析：如图2,

图2

我们借助长方体模型，棱AA1所在直线有无数点在平面ABCD外，但棱AA1所在直线与平面ABCD相交，所以命题①不正确；

A1B1所在直线平行于平面ABCD，A1B1显然不平行于BD，所以命题②不正确； A1B1∥AB,A1B1所在直线平行于平面ABCD，但直线AB平面ABCD,所以命题③不正确；

l与平面α平行,则l与α无公共点,l与平面α内所有直线都没有公共点,所以命题④正确. 答案：B

变式3、 若直线l上有两个点到平面α的距离相等，讨论直线l与平面α的位置关系.

图3

解：直线l与平面α的位置关系有两种情况（如图3），直线与平面平行或直线与平面相交. 例2、若两条相交直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 解：如图5,另一条直线与平面α的位置关系是在平面内或与平面相交.

图5

用符号语言表示为：若a∩b=A,bα,则aα或a∩α=A.

变式1、若两条异面直线中的一条在平面α内，讨论另一条直线与平面α的位置关系. 分析：如图6,另一条直线与平面α的位置关系是与平面平行或与平面相交.

图6

用符号语言表示为：若a与b异面,aα,则b∥α或b∩α=A.

例3、若直线a不平行于平面α,且aα,则下列结论成立的是( )

A.α内的所有直线与a异面 B.α内的直线与a都相交

C.α内存在唯一的直线与a平行 D.α内不存在与a平行的直线 分析：如图7,若直线a不平行于平面α,且aα,则a与平面α相交.

图7

例如直线A′B与平面ABCD相交，直线AB、CD在平面ABCD内，直线AB与直线A′B相交，直线CD与直线A′B异面，所以A、B都不正确；平面ABCD内不存在与a平行的直线，所以应选D.

变式1、不在同一条直线上的三点A、B、C到平面α的距离相等，且Aα,以下三个命题： ①△ABC中至少有一条边平行于α;②△ABC中至多有两边平行于α；③△ABC中只可能有一条边与α相交. 其中真命题是_____________.

分析：如图8,三点A、B、C可能在α的同侧，也可能在α两侧，

图8

其中真命题是①.

变式2、若直线aα,则下列结论中成立的个数是( )

(1)α内的所有直线与a异面 (2)α内的直线与a都相交 (3)α内存在唯一的直线与a平行 (4)α内不存在与a平行的直线

A.0 B.1 C.2 D.3 分析：∵直线aα,∴a∥α或a∩α=A.

如图9,显然(1)(2)(3)(4)都有反例,所以应选A.

图9

答案：A.

知识点二 直线与平面平行

1、直线与平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。

⑴定理可简述为“线线平行，则线面平行”，可以用符号表示为a//b,a,ba//； ⑵该定理判断直线a与平面平行时，必须具备三个条件：

① 直线a在平面外，即a；②直线b在平面内，即b；

③直线a，b平行，即a∥b，这三个条件缺一不可。

⑶定理的作用：将直线和平面平行的判定转化为直线与直线的平行关系的判定。

2、直线与平面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这

个平面相交，那么这条直线就和交线平行。

用符号表示为：若a//，,b,则a//b，即“线面平行，则线线平行”。 (1)定理的作用

线面平行的性质定理的作用在于：把线线平行的判定转化为线面平行的判定，因此，我们要证明（或判定）两条直线平行时，若直线证明难以成功，此时，不妨考虑转化为证明（或判定）线面平行的问题．

(2)直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线和直线的位置关系．直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论． (3)线面平行的其他性质：

①平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，则另一条也平行于这个平面； ②若过平面内一点的直线平行于与此平面平行的一条直线，则此直线在这个平面内。 例4、如图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，点N在BD上，点M在B1C上，且CM＝DN，

求证：MN//平面AA1B1B。

变式1、已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、

CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行。

例5、过正方体AC1的棱BB1作一平面交平面CDD1C1于EE1，求证：BB1//EE1。

变式1、ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取

一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP//GH。

知识点三 直线与平面垂直

1、直线与平面垂直的概念

如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，则称这条直线和这个平面互相垂直．其中直线叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足. (1)若直线a与平面互相垂直，记作a

(2要注意 “任何一条直线”这个词语，它与“所有直线”是同义词，但与“无数条直线”不同，即当直线与平面垂直时，该直线就垂直于这个平面内的任何直线。

(3)画法：画直线与平面垂直时，一般使直线与表示平面的平行四边形一边垂直，如下图所示，

2、直线与平面垂直的判定定理

如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。

简记为：“线线垂直，则线面垂直。”

(1)判定定理的条件中，“平面内的两条相交直线”是关键性词语，一定要记准。 (2)命题1：如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线垂直于这个平面； 命题2：如果一条直线垂直于平面的无数条直线，那么这条直线垂直于这个平面． 以上两个命题都是错误的，因为对于这两个命题，都没有体现出两直线相交这一特性， (3)要判定一条直线和一个平面是否垂直，取决于在这个平面内能否找出两条相交线和已知直线垂直，至于这两条相交直线是否和已知直线有公共点，这是无关紧要的。 (4)其他判定直线和平面垂直的方法：

两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面。 3、直线与平面垂直的性质定理

如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行。 直线与平面垂直还有如下性质：

(1)如果一条直线和一个平面垂直，则这条直线和这个平面内任一条直线垂直。 (2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于同一个平面。 (3)若l于A，APl，则AP。 例6、给出以下结论：

①若直线a垂直平面内的无穷多条直线，则直线a垂直平面；②无论直线a与平面

是否垂直，a总垂直平面内的无穷多条直线；③若直线a垂直平面内的两条直线，则

直线a垂直平面；④若直线a垂直平面内的所有直线，则直线a垂直平面 其中正确的结论为 。（写出序号即可）．

例7、如右图，已知空间四边形ABCD的边BC＝AC，AD＝BD，引BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H，求证：AH⊥平面BCD。

变式1、如右图，已知P是△ABC所在平面外一点，PA，PB，PC两两垂直，H是△AC的

垂心，求证：PH⊥平面ABC。

例8、如右图，已知矩形ABCD，过A作SA⊥平面AC，再过A作AE⊥SB交SB于E，过

E作EF⊥SC交SC于F， （1）求证：AF⊥SC；

（2）若平面AEF交SD于G，求证：AG⊥SD。

变式1、如右图，正方体ABCD－A1B1C1D1中，ACBD0,A1C1B1D1O1，

求证：OO1⊥平面ABCD。

巩固练习一：

一、 选择题

1、下面四种说法中：（１）两条平行直线中的一条平行于一个平面，则另一条也平行于这个平面；（２）平行于平面内一条直线的直线平行于该平面；（３）过平面外一点只有一条直线和这个平面平行；（４）若一条直线和一个平面平行，则这条直线和这个平面内所有直线都平行、正确说法的个数为（ ） Ａ、０；Ｂ、１；Ｃ、２；Ｄ、３ 2、下列命题中正确的是（ ）

Ａ、平行于同一平面的两条直线平行；Ｂ、垂直于同一条直线的两条直线平行； Ｃ、若直线ａ于一个平面内的一条直线ｂ平行，则ａ平行于这个平面；Ｄ、若一条直线平行于两相交平面的交线，则这条直线至少平行于两个平面中的一个 3、 异面直线a，b分别在平面,内，若Ａ、分别与a，b相交B、与a，b都不相交

C、至少与a，b中之一相交 D、至多与a，b中之一相交 4、下列命题中有几个是正确的？其个数为（ ） （1）分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 （2）在空间不相交的两条直线一定是异面直线

（3）不同在一个平面内的两条射线所在直线一定是异面直线 （4）既不平行也不相交的两条线段所在直线一定是异面直线

l，则直线l必定与

A、4个B、3个C、2个D、1个

5、如果点P在直线l上，而直线l又在平面内，则可记作（ ） A、Pl B、Pl C、PlD、Pl 6、已知相交直线AB、AC确定的平面，则下列说法不正确的是（ ） Ａ、直线AB、AC都不在平面内B、平面经过直线AB、AC

C、只有A、B、C三点在平面内D、直线AB、AC上所有的点都在平面内 7、下列命题中，真命题是（ ）

Ａ、两条相交直线上的三个点确定一个平面 B、两两相交的三条直线共面 Ｃ、不共面的四点中可以有三点在同一直线上 D、三角形和梯形一定是平面图形 8、 不共面的四个点中，（ ）

Ａ、可能有三个点共线 B、至少有三个点共线 Ｃ、任何三个点都不共线 D、只有三个点不共线

9、 用斜二测法画平面图形的直观图，对其中三条线段结论错误的是（ ） A、 原相交的仍相交B、原垂直的仍垂直C、原平行的仍平行D、原共点的仍共点 10、两两相交的四条直线确定平面的个数最多的是 A、4个 B、5个 C、6个

D、8个

（ ）

11、平面过△ABC的重心，B、C在的同侧，A在的另一侧，若A、B、C到平面的距离分别为a、b、c，则a、b、c间的关系为 ( )

A、2a=b+c B、a=b+c C、2a=3(b+c) D、3a=2(b+c)． 二、填空题

12、不共线的三个平面两两相交，可将空间分成的部分可能是________________个 13、已知a，c异面，b，c异面,则a,b的位置关系是__________________ 14、已知aA,b，则a,b的位置关系是_______________ 答案： 一、选择题

1、 A；2、D；3、C；4、D；5、C；6、A；7、D；8、C；9、B；10、C；11、A 二、填空题 12、4，7，8

13、平行，异面或相交 14、相交或异面

巩固练习二：

一、 选择题

1、下列命题正确的个数是（ ）

（１）若直线ｌ上有无数个点不在平面内，则ｌ平行这个平面；（２）若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的所有直线都平行；（３）两条平行线中的一条与一个平面平行，则另一条也和这个平面平行；（４）若一条直线与一个平面内的无穷多条直线都平行，则这条直线与这个平面平行

Ａ、０个； Ｂ、１个； Ｃ、２个； Ｄ、３个、 2、直线在平面外指的是（ ）

Ａ、直线与平面没有公共点； Ｂ、直线与平面相交；

Ｃ、直线与平面平行； Ｄ、直线与平面最多只有一个公共点 3、设有如下三个命题：

甲：相交两直线ｌ、ｍ都在平面α内，并且都不在平面β内

乙：ｌ、ｍ之中至少有一条与平面β相交 丙：α和β相交 当甲成立时 Ａ、乙是丙的充分而不必要条件； Ｂ、乙是丙的必要而不充分条件； Ｃ、乙是丙的充分且必要条件； Ｄ、乙既不是丙的充分条件又不是必要条件

4、一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，则两角的关系是（ ）

A、 相等 B、互补 C、互余 D、不能确定 5、 空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，设

1 (BCAD)1，那么（ ）

2Ａ、ＭＮ＞１ B、ＭＮ＜１ C、ＭＮ＝１ D、ＭＮ与１的大小关系不能确定

6、 在正方体的棱所在的１２条直线中，取定一条，那么，其它的１１条直线可与它构成异

面直线的共有A、４条 B、５条 C、６条 D、７条

7、下面四个条件中能得出∥b的是（ ）

A、a,b,c,且和c，b和c均无公共点

B、和b无公共点 C、和b与c成等角 D、ac,bc 8、过平面内一点及平面外一点的直线与平面内的任一条直线的位置关系是（ ） A、相交 B、平行 C、异面 D、相交或异面 9、已知a,b是异面直线，直线c平行于直线a，那么c与b（ ）

A、 定是异面直线B、定是相交直线C、不可能是平行直线D、不可能相交直线 10、四条线段顺次首尾相连，它们最多可确定的平面个数有 A、4个

B、3个 C、2个 D、1个

（ ）

11、A,B,C,D是空间四点,AB与CD是异面直线,则必有( )

A、AC与BD异面,AD与BC共面 B、 AC与BD共面,AD与BC异面 C、AC与BD异面,AD与BC异面 D、 AC与BD共面,AD与BC共面 二、填空题

12、若E、F、G、H顺次为空间四边形ABCD四条边AB、BC、CD、DA的中点，且EG=3，FH=4，则AC+BD= .

13、已知aA,bB，且Ａ，Ｂ不重合，则a,b位置关系是______________ 14、平面和相交，在，内各取两点，这四点都不在交线上，则这四个点能确定______平面。 三、解答题

15、试证明：过两条异面直线中的一条直线有且只有一个平面与另一条直线平面、 答案： 一、选择题

1、A；2、D；3、C；4、D；5、B；6、A；7、A；8、D；9、C；10、A；11、C 二、填空题

12、50 13、平行，异面或相交 14、1或4 三、解答题

15、证明：证存在一个平面与另一条直线平行（存在性）、

设a、b为异面直线，A为a上任一点，过b与A作一平面，在内过A作直线c∥b，

2

2

则由a、c确定的平面∥b、存在一个平面与b平行、 再证有唯一一个平面与另一条直线平行（唯一性）、 假设还有过a且不与重合的平面∥b，∩=d、 ∵三个平面两两相交，且a、c交于A，∴其三条交线 交于一点，即点A，而d∥b，∴c∥d、即过A存在两条 直线c、d都与b平行，这与平行公理相矛盾、 故只有唯一一个平面与另一条直线平行、

b   c a A 

空间中直线与平面之间的位置关系

一、选择题

1．直线l与平面α不平行，则( ) A．l与α相交 B．l⊂α C．l与α相交或l⊂α D．以上结论都不对 【解析】 若l与α不平行，则l与α相交或l⊂α. 【答案】 C

2．直线a在平面γ外，则( ) A．a∥γ

B．a与γ至少有一个公共点 C．a∩γ＝A

D．a与γ至多有一个公共点

【解析】 直线a在平面γ外，其包括直线a与平面r相交或平行两层含义，故a与r至多有一个公共点．

【答案】 D

3．在长方体ABCD－A1B1C1D1的六个表面与六个对角面(面AA1C1C、面ABC1D1、面ADC1B1、面BB1D1D、面A1BCD1及面A1B1CD)所在的平面中，与棱AA1平行的平面共有( )

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【解析】 如图所示，结合图形可知AA1∥平面BC1，AA1∥平面DC1，AA1∥平面BB1D1D.

【答案】 B

4．下列说法中正确的是( )

A．如果两个平面α、β只有一条公共直线a，就说平面α、β相交，并记作α∩β＝a B．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于过A点的任意一条直线 C．两平面α、β有一个公共点A，就说α、β相交于A点，并记作α∩β＝A D．两平面ABC与DBC相交于线段BC

【解析】 B不正确，若A∈α∩β，则α，β相交于过A点的一条直线；同理C不正确；D不正确，两个平面相交，其交线为直线而非线段．

【答案】 A

5．如果空间的三个平面两两相交，那么( ) A．不可能只有两条交线 B．必相交于一点 C．必相交于一条直线 D．必相交于三条平行线

【解析】 空间三个平面两两相交，可能相交于一点，也可能相交于一条直线，还可能相交于三条平行线，故选A.

【答案】 A 二、填空题

6．已知平面α∥平面β，直线a⊂α，则直线a与平面β的位置关系为________． 【解析】 ∵α∥β，∴α与β无公共点， ∵a⊂α，∴a与β无公共点，∴a∥β. 【答案】 a∥β

7．过平面外两点作该平面的平行平面，可以作平面的个数是________． 【解析】 当这两点的连线不与平面平行时，过这两点不存在与已知平面平行的平面．当这两点的连线与已知平面平行时，能作一个平面与已知平面平行，故填0或1.

【答案】 0或1 8．(2012·银川高一评估)过三棱柱ABC－A1B1C1的任意两条棱的中点作直线，其中与平面ABB1A1平行的直线共有________条．

【解析】 如图所示，与平面ABB1A1平行的直线有6条：D1E1，E1E，ED，DD1，D1E，DE1.

【答案】 6 三、解答题

9．已知直线l∩平面α＝A，直线m⊂α，画图表示直线l和m的位置关系．

【解】 直线l和m的位置关系有异面和相交两种情况，l和m异面，如图a所示；l和m相交，如图b所示．

10．如图2－1－20，平面α、β、γ满足α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b，判断a与b、a与β的关系并证明你的结论．

图2－1－20

【解】 由α∩γ＝a知a⊂α且a⊂γ， 由β∩γ＝b知b⊂β且b⊂γ，

∵α∥β，a⊂α，b⊂β，∴a、b无公共点． 又∵a⊂γ且b⊂γ，∴a∥b. ∵α∥β，∴α与β无公共点． 又a⊂α，

∴a与β无公共点， ∴a∥β.

11．试画图说明三个平面可把空间分成几个部分？

【解】 三个平面可把空间分成4(如图①)、6(如图②③)、7(如图④)或8(如图⑤)个部分．

12、已知α∩β=l,aα且aβ,bβ且bα,又a∩b=P. 求证：a与β相交,b与α相交. 证明：如图10,∵a∩b=P,

图10

∴P∈a,P∈b. 又bβ,∴P∈β. ∴a与β有公共点P,即a与β相交. 同理可证,b与α相交.

13、过空间一点，能否作一个平面与两条异面直线都平行？

解：(1)如图11,C′D′与BD是异面直线，可以过P点作一个平面与两异面直线C′D′、BD都平行.如图12,

图11 图12 图13