《一次函数》知识点总结

一次函数知识点总结

【基本目标要求】

一、经历函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，发展学生的抽象思维能力．

二、初步理解函数的概念，了解函数的列表法、图象法和解析法的表示方法．

三、经历利用一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力．

四、能写出实际问题中的一次函数、正比例函数的解析式，掌握它们的图象及其性质，并利用它们解决简单的实际问题．

【基础知识导引】

一、函数

1．函数的概念

一般地，在某个变化过程中，有两个变量x和y，如果给定一个x值，相应地就确定了一个y值，那么我们称y是x的函数(function)，其中x是自变量，y是因变量．

2．函数值

对于自变量在取值范围内的一个确定的值x=a，函数都有惟一确定的对应值，这个对应值，叫作当x=a时的函数值．

3．函数的表示法

(1)解析法；(2)列表法；(3)图象法．

二、一次函数

1．定义 若两个变量x，y间的关系式可以表示成y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的形式，则称y是x的一次函数(1inear function)(x为自变量，y为因变量)．

2．图象 一次函数y=kx+b的图象是经过点(0，b)且平行于直线y=kx的一条直线，b叫作直线y=kx+b在y轴上的截距．

3．性质 当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小．

4．正比例函数

(1)定义 函数y=kx(k是常数，k≠0)叫正比例函数．

(2)图象 正比例函数y=kx的图象是经过原点和(1，k)两点的—条直线．

(3)性质 当k>0时，它的图象在第一、三象限内，y随x的增大而增大；当k<0时，它的图象在第二、四象限内，y随x的增大而减小．

【重点难点解析】

本章重点是理解一次函数的概念、图象、性质及其应用．

本章难点是对函数概念的理解及函数模型思想的领会．要掌握上述重、难点，必须注意以下问题：

一、函数的图象

1．函数图象的定义 把—个函数的自变量x与对应的因变量y的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象(graph)．

2．正比例函数及一次函数的图象

（1）正比例函数y=kx(k是常数,k≠0)的图象是过(0，0)，(1，k)两点的一条直线．

因此．依据一个独立条件可确定k，即可求出正比例函数．

b(2)一次函数y=kx+b(k，b为常数，k≠0)的图象是过(0，b)、(k，0)两点的一条直

线．

因此依据两个独立条件可确定k，b，即可求出一次函数．

(3)基本量 是数学对象的一个本质概念，如正比例函数含有一个基本量k；一次函数

含有两个基本量k、b；确定一个平行四边形需3个基本量；长方形和菱形的基本量是2；正方形的基本量是1；三角形的基本量是3．

二、每一个含一个字母的代数式都是这个字母的函数．

如2x-1是x的函数．

【发散思维分析】

本章的主要内容有：函数，一次函数，一次函数的图象，确定一次函数的表达式，一次函数图象的应用．

本章从丰富多彩的问题情境中渗透函数的模型思想，从中建立概念，总结规律，促进其应用与拓展，让学生从实际问题情境中抽象出函数以及一次函数的概念，进而探索出一次函数及其图象的性质，最后利用一次函数及其图象解决实际应用问题．

本章安排了逆向发散、解法发散和其他内容的发散思维题，逆向发散可化异为同，化生为熟，化繁为简，变难为易，从而得到结论．

解法发散要进行一题多解，一题多变，一题多得的训练，使学生思维具有流畅性、灵活性和独创性，从而把复杂的问题简单化，隐蔽的问题明朗化，抽象的问题直观化，直到问题解决．

【知识结构网络】

【学习方法指导】

1．培养数形结合的思想方法，提高数形结合的能力

本章教材注重学生形象思维能力的培养，形象思维能力是数学思维能力的一个重要方面，而加强数形结合的教学是培养学生形象思维的一个重要渠道．数形结合的思想方法就是把数量关系与图形结合起来进行思考分析的方法，它可以使抽象、复杂的问题变得直观、简单、明了．

2．转化的思想方法

把求函数值的问题转化为求代数式的值的问题，把求函数关系式的问题转化为列代数式的问题，把实际问题转化为函数模型问题，从而利用函数的概念及性质解决实际问题．

3．函数与方程的思想是本章的特点之一

【典型热点考题】

[题型发散]

例1 选择题 把正确答案的代号填入题中括号内．

如图6-19，OA、BA分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图象，图中S和t分别表示运动路程和时间，根据图象判断快者的速度比慢者的速度每秒快( )

(A)2.5米 (B)2米 (C)1.5米 (D)1米

(重庆市中考试题)

解 由图6-19得：将(8，64)分别代入S1v1t、S2v2t12得v18米/秒，v26.5米/秒，故本题应选(C)．

例2 填空题

已知y与x+1成正比例，当x=5时，y=12，则y关于x的函数解析式是________．

(温州市中考试题)

解 设所求的函数解析式为y=k(x+1) ①

将x=5，y=12代入①，得 12=k(5+1)，所以k=2．

故本题应填“y=2x+2”．

[综合发散]

例3 旅客乘车按规定可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票．设行李票y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，如图6-20所示，求

(1)y与x之间的函数关系式；

(2)旅客最多可免费携带行李的重量．

(甘肃省中考试题)

分析 本题是以行李的重量为x轴，行李票价为y轴，由题意y是x的一次函数，通

过对图形的观察知点(60，5)、(90，10)在此图象上，并且此图象与x轴的正半轴交于一点，故应用待定系数法求解.

解 (1)设一次函数的关系式为y=kx+b.因为点(60，5)和(90，10)在此函数的图象上，因此，得 60k+b=5,

90k+b=10.

分别整理得：

b=5-60k. b=10-90k. 比较(1)、(2)，得

5-60k=10-90k，

1即30k=5，

k

6.

得 b=-5.

1所以

y6x5

(2)

(1)

1x506因为x>0，y≥0，所以.所以x≥30.

1x5y60故此函数的解析式为

(x30)(0x30)

(2)由(1)知0例4 某商场计划投入一笔资金采购一批紧俏商品，经过市调查发现，如果月初出售，可获利15%，并可用本和利再投资其他商品，到月末又可获利10%；如果月末出售可获利30%，但要付出仓储费用700元，请问根据商场的资金状况如何购销获利较多？

(山西省中考试题)

解 设商场投资x元，在月初出售，到月末可获利y1元；在月末出售，可获利y2元.根据题意，得y115%x10%(x15%x)0.265x；y230%x7000.3x700.

(1)当y1y2时，0.265x=0.3x-700，x=20000；

(2)当y1y2时，0.265x<0.3x-700，x>20000；

(3)当y1y2时，0.265x>0.3x-700，x<20000.

答：当商场投资20000元时，两种销售方式获利相同；当商场投资超过20000元时，第二种销售方式获利较多；当商场投资不足20000元时，第一种销售方式获利较多.

[点拨] 本例为决策性问题，一般先列出算式或建立函数关系式，通过算式大小的比较或函数最值的确定作出相应的决策.

[开放性发散]

例5 为了保护学生的视力，课桌椅的高度都是按一定的关系配套设计的.研究表明:假设课桌的高度为ycm ，椅子的高度(不含靠背)为xcm，则y应是x的一次函数.下表列出两套符合条件的课桌椅的高度；

(1)请确定y与x的函数关系式(不要求写出x的取值范围)；

(2)现有一把高42.0cm的椅子和一张高78.2cm的课桌，它们是否配套？请通过计算说明理由.

(吉林省中考试题)

解 (1)设y=kx+b，则有

75.0=40.0k+b. (1)

70.2=37.0k+b. (2)

由(1)，得b=75.0-40.0k (3)

由(2)，得b=70.2-37.0k (4)

比较(3)、(4)，得

75.0-40.0k=70.2-37.0k，

即k=1.6，

将k=1.6代入(3)，得b=11.

所以y=1.6x+11.

(2)当x=42.0时，y=1.6×42.0+11=78.2.

所以这套桌椅是配套的.