上海市闵行区2019-2020学年高三第一学期数学一模考试

数 学 试 卷

考生注意：

1．本场考试时间120分钟，试卷共4页，满分150分，答题纸共2页，

2．作答前，考生在答题纸正面填写学校、姓名、考生号，粘贴考生本人条形码．

3．所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位．在草稿纸、试卷上作答一律不得分．

4．用2B铅笔作答选择题，用黑色笔迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题．

一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分）

考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1．已知集合A3,1,0,1,2，Bxx1，则A2．复数

B___________．

5的共轭复数是___________． i23n2___________． 3．计算：limn13(2n1)4．已知0x1，使得x(1x)取到最大值时，x ___________．

5．在△ABC中，已知ABa，BCb，G为△ABC的重心，用向量a、b表示

向量AG_______． 6．设函数f(x)7．已知x1log2(x1)1log2x1，则方程f(x)1的解为___________．

28a0a1x2a2x4a8x16，则a3______．（结果用数字表示）

8．若首项为正数的等比数列an，公比qlgx，且a100a99a101，则实数x的取值范围是________．

9．如图，在三棱锥DAEF中，A1,B1,C1分别是

D

DA,DE,DF的中点，B,C分别是AE,AF的中点，设

三棱柱ABCA1B1C1的体积为V1，三棱锥DAEF的体积为V2，则V1V2__________．

A1 C A

C1 B1 F B

E

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Q=OAii1,2,3,4,5,610．若O是正六边形A1A2A3A4A5A6的中心，

 ，a,b,cQ，

且a、b、c互不相同，要使得(ab)c0，则有序向量组(a,b,c)的个数为___________．

11．若fxxax3a，且x0,1上的值域为0,f1，则实数a的取值范

围是______________．

12．设函数f(x)Asin(x)(0,A0),x0,2,若f(x)恰有4个零点，

则下述结论中：

①若f(x0)f(x)恒成立，则x0的值有且仅有2个； ②f(x)在0,6上单调递增； 19③存在和x1，使得f(x1)f(x)f(x1)对任意x0,2恒成立； ④“A1”是“方程f(x)21在0,2内恰有五个解”的必要条件． 2所有正确结论的编号是___________．

二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑．

13．已知直线l的斜率为2，则直线l的法向量为 （ ） （A）1,2 （B）2,1 （C）1,2 （D）2,1 14．命题“若xa，则

x10”是真命题，实数a的取值范围是 （ ） x（A）0, （B）,1 （C）1,+ （D）,0 15．在正四面体ABCD中，点P为△BCD所在平面上的动点，若AP与AB所成角为定值，(0,)，则动点P的轨迹是 （ ） 4a（A）圆 （B）椭圆 （C）双曲线 （D）抛物线 16．已知各项为正数的非常数数列an满足an1a1n，有以下两个结论：①若a3a2，则数列an是递增数列；②数列an奇数项是递增数列.则 （ ） （A）①对②错 （B）①错②对 （C）①②均错误 （D）①②均正确

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三、解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．

17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

如图，在一个圆锥内作一个内接圆柱（圆柱的下底面在圆锥的底面上，上底面的圆在圆锥的侧面上），圆锥的母线长为4，AB、CD是底面的两条直径，且AB4，

ABCD，圆柱与圆锥的公共点F恰好为其所在母线PA的中点，点O是底面的圆心． （1）求圆柱的侧面积；

（2）求异面直线OF和PC所成的角的大小．

ACPFDOB

18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

已知函数f(x)2xa. 2x（1）若f(x)为奇函数，求a的值；

（2）若f(x)3在x1,3上恒成立，求实数a的取值范围．

19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

某地实行垃圾分类后，政府决定为A,B,C三个小区建造一座垃圾处理站M，集中处理三个小区的湿垃圾．已知A在B的正西方向，C在B的北偏东30方向，M在

B的北偏西20方向，且在C的北偏西45方向，小区A与B相距2km，B与C相距3km．

（1）求垃圾处理站M与小区C之间的距离；

（2）假设有大、小两种运输车，车在往返各小区、处理站之间都是直线行驶，一辆大车的行车费用为每公里a元，一辆小车的行车费用为每公里a元（其中为满足

100是199内的正整数）．现有两种运输湿垃圾的方案：

方案1：只用一辆大车运输，从M出发，依次经A,B,C再由C返回到M；

方案2：先用两辆小车分别从A、C运送到B，然后并各自返回到A、C，一辆大车从M直接到B再返回到M．试比较哪种方案更合算？请说明理由．

（结果精确到小数点后两位）

M

45º ⌒ C

20º ⌒ A ╮ 30º

B

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20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

2已知抛物线:y8x和圆:xy4x0，抛物线的焦点为F.

22（1）求的圆心到的准线的距离；

（2）若点T(x,y)在抛物线上，且满足x1,4，过点T作圆的两条切线，记切点为A、B，求四边形TAFB的面积的取值范围；

（3）如图，若直线l与抛物线和圆依次交于M、P、

y

Q、N四点，证明：“MPQN是“直线l的方程为x2”.

1PQ”的充要条件 2x

21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）

已知数列an满足a11，a2a（a1），an2an1an1and（d0）

nN*．

（1）当da2时，写出a4所有可能的值；

*（2）当d1时，若a2na2n1且a2na2n1对任意nN恒成立，求数列an的

通项公式；

（3）记数列an的前n项和为Sn，若a2n、a2n1分别构成等差数列，求S2n．

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闵行区2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷

参考答案与评分标准

一、填空题（满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1．3,2； 2．2i； 3．3； 4．7．56； 8．(0,121； 5．ab； 6．x2； 23311)； 9．38； 10．48； 11．0，； 12．①③④． 104

二、选择题（满分20分，每题5分）

13．D； 14．C； 15．B； 16．D．

三、解答题（本大题满分76分）

17．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．

P[解]（1）设圆柱上底面的圆心为O，在△PAO中，F是PA的

中点，FO//AO,OA2，FO1,OO3,…2分

FODS圆柱侧=2rh23 ………………………6分 AOBC（2）F、O分别是PA、AB的中点，FO∥PB

异面直线OF和PC所成的角等于PB和PC的夹角BPC. ……………8分

PBPC4，BC22， ………………………………………………10分

161683cosBPC ………………………………………………12分

24443异面直线OF和PC所成的角为arccos. ………………………………14分

4

18．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分． [解]（1）解法1：

xR，f(x)为奇函数，

f(0)=0，即1a0，a1 ……………………………………4分

当a1,f(x)2x111xxf(x)22f(x)， ，xxx222满足奇函数的条件，a1. ……………………………………6分

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解法2： f(x)2a，xR，f(x)为奇函数，f(x)f(x)， 2xa1af(x)2xxxa2x，f(x)2xx

222x(a1)(22x1)0恒成立， ………………………………………………4分

a1. ………………………………………………6分

ax（2）因为x1,3，f(x)3恒成立.故由2x3得

2a32x22x恒成立. ……………………………………………8分

而y322x2x39(2x)2，又2x2,8， ……………………10分

24所以ymin40 …………………………………………………………12分

a40 ………………………………………………………………14分

19．（本题满分14分）本题共有2个小题, 第1小题满分6分，第2小题满分8分．[解]（1）在△MBC中，MBC50，MCB105，BC3，BMC25，

由正弦定理得：

MC3 ……………4分 sin50sin25M

45º 3sin50MC5.4385.44．

sin25答：垃圾处理站M与小区C间的距离为5.44公里.…6分

20º ⌒ ⌒ C

MB3（2）在△MBC中，由得 sin105sin25MB3sin1056.857，

sin25A ╮ 30º

B

在△MAB中，MBA70，AB2，

MA2AB2MB22ABMBcos70，MA6.452 …………9分

方案一费用：

y1a(MAABBCCM)a(6.452235.438)16.890a

方案二费用： y22aMB2a(ABBC)a(13.71310)………11分 当y1y2时，方案二合算，此时00.32 当y1y2时，方案一合算，此时0.321

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答：当00.31时，方案二合算，当0.321时，方案一合算.…………14分 20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分5分，第3小题满分7分）

222[解]（1）由xy4x0可得x2y4，所以的圆心与的焦点F重合，

2所以的圆心到的准线的距离为4. …………………………………………4分 （2）四边形TAFB的面积为：

12S=22TF4222x22y24 x228x42x24x ……………………………………………7分

所以当x1,4时，四边形TAFB的面积的取值范围为25,82. ………………9分

（3）证明（充分性）若直线l的方程为x2，将x2分别代入y2=8x，x2y24x0

得M2,4、P2,2、Q2,2、N2,4， ……………………………………11分

11MPQN2，PQ=2，MPQNPQ， …………………12分

22（必要性）若MPQN1PQ ，则线段MN与线段PQ的中点重合， 2设l方程为xtym，M(x1,y1)、N(x2,y2)、P(x3,y3)、Q(x4,y4)，

22则y1y2y3y4，将xtym代入y=8x得： y8ty8m0，

y1y28t，64t232m0，2t2m0；

同理可得y3y42t(m2)2t(m2)2(m2)t0或8， 8t，所以即

1t21t21t2即t0或m4t22 ………………………………………………14分 而当m4t22时，将其代入2t2m0得2t220不可能成立；

2当t0时， 由y8m0得y122m,y222m；

将xm代入x2y24x0得y3m24m,y4m24m， 因为MP=11PQ，所以22mm24m2m24m即22m2m24m 22故m22m0m2或m0（舍），所以直线l的方程为x2．

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所以“MNPQ1NP”的充要条件是“直线l的方程为x2” .…………16分 221.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） [解]（1）当da2时，an2an1an1an2，

即an1an是以1为首项、2为公差的等差数列，an1an=2n1……2分 可得：a3a2=3，a4a3=5，a3=5,1，a4=a35，

a410或a40或a4=4或a4=6. ……………………………………4分

（2）当d1时，an2an1an1an1，即an1an是首项为a1、公差为1

的等差数列.|an1an|=a1n1a2n，

|a2n1a2n|a22n，|a2na2n1|a32n,a2na2n1且a2na2n1，a2na2n1a22n，a2na2n1a32n …………………………6分

a2n1a2n11,a2n12n,a2na32n+a2n1a1n………8分

3n,n为奇数2an=na1,n为偶数22k,n2k1或写成an. ………………10分 ka1,n2k（3）由已知得|an1an|=a1(n1)dnN* …………………………………① 若a2n、a2n1分别构成等差数列，则a2na(2n2)dn2…② 2n1=a1a2n1a2n=a1(2n1)dn1， ……………………………③

a2n2a2n1=(a12nd)n1， ……………………………④

由②+③得：a2n1a2n1=a1(2n1)da1(2n2)dn2 因为a2n1是等差数列，a2n1a2n1必为定值

a2n1a2n1=a1(2n1)da1(2n2)d

或a2n1a2n1=a1(2n1)d+a1(2n2)d

即a2n1a2n1dn2或a2n1a2n1dn2 …………………12分 而由①知a3a2a1d，即a3a2a1d，

所以a3a1a1a1d，即a3a1d或a3a12a1d（舍） 故a2n1a2n1d(nN) …………………………………………14分

a2n11(n1)dnN*. 同理，由③+④得：

a2n2a2n=a12nda1(2n1)dn1，a2n2a2n=d

或a2n2a2nd，由上面的分析知a3a2a1d， 而a4a3a12d，故a4a2a1da12d，

即a4a2d或a4a22a22d（舍）a2n2a2n=d ………………16分

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a2na(n1)d， 从而a2k1a2ka2k1a2k2a1（kN*）

S2na1a2

a2n(1a)(1a)(1a)n(1a) ………18分

n个1a2019学年第一学期高三年级质量调研考试数学试卷 第9页共9页