2021年北京市中考数学总复习考点26：菱形
一．选择题（共4小题） 1．菱形不具备的性质是（ ） A．四条边都相等 B．对角线一定相等 C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 【分析】根据菱形的性质即可判断；
【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等， 故选：B．
2．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（ ）
A． B．2 C．5 D．10
【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD==∴AO=3，
在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB=故选：C．
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，
==5，
3．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8，则这个菱形的周长是（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．
【解答】解：由菱形对角线性质知，AO=AC=3，BO=BD=4，且AO⊥BO，
则AB==5，
故这个菱形的周长L=4AB=20． 故选：A．
4．如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF=3，那么菱形ABCD的周长为（ ）
A．24 B．18 C．12 D．9
【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长=4BC问题得解． 【解答】解：∵E是AC中点， ∵EF∥BC，交AB于点F，
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∴EF是△ABC的中位线， ∴EF=BC， ∴BC=6，
∴菱形ABCD的周长是4×6=24． 故选：A．
二．填空题（共6小题）
5．已知边长为5的菱形ABCD中，对角线AC长为6，点E在对角线BD上且tan∠EAC=，则BE的长为 3或5 ．
【分析】根据菱形的性质和分两种情况进行解答即可． 【解答】解：当点E在对角线交点左侧时，如图1所示：
∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6， ∴AC⊥BD，BO=∵tan∠EAC==解得：OE=1，
∴BE=BO﹣OE=4﹣1=3，
当点E在对角线交点左侧时，如图2所示： ∵菱形ABCD中，边长为5，对角线AC长为6， ∴AC⊥BD，BO=
，
，
，
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∵tan∠EAC==解得：OE=1，
，
∴BE=BO﹣OE=4+1=5， 故答案为：3或5；
6．如图，已知菱形ABCD，对角线AC，BD相交于点O．若tan∠BAC=，AC=6，则BD的长是 2 ．
OA=AC=3，BD=2OB．【分析】根据菱形的对角线互相垂直平分可得AC⊥BD，再解Rt△OAB，根据tan∠BAC=
=，求出OB=1，那么BD=2．
【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD，OA=AC=3，BD=2OB． 在Rt△OAB中，∵∠AOD=90°， ∴tan∠BAC=∴OB=1， ∴BD=2． 故答案为2．
7．如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为
．
=，
【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股
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定理构建方程求出x即可解决问题．
【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．
∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=BC=AD=2，AD∥CH， ∴∠ADM=∠H，
∵AM=BM，∠AMD=∠HMB， ∴△ADM≌△BHM， ∴AD=HB=2， ∵EM⊥DH， ∴EH=ED，设BE=x， ∵AE⊥BC， ∴AE⊥AD， ∴∠AEB=∠EAD=90°
∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2， ∴22﹣x2=（2+x）2﹣22， ∴x=
﹣1或﹣
﹣1（舍弃）， ∴cosB==
， 故答案为．
8．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣在y轴上，则点C的坐标是 （﹣5，4） ．
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2，0），点D
【分析】利用菱形的性质以及勾股定理得出DO的长，进而求出C点坐标． 【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上， ∴AB=5， ∴AD=5，
∴由勾股定理知：OD=
∴点C的坐标是：（﹣5，4）． 故答案为：（﹣5，4）．
=
=4，
9．如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的边长为2，点A在第一象限，点C在x轴正半轴上，∠AOC=60°，若将菱形OABC绕点O顺时针旋转75°，得到四边形OA′B′C′，则点B的对应点B′的坐标为 （
，﹣
） ．
【分析】作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，根据菱形的性质得到∠AOB=30°，再根据旋转的性质得∠BOB′=75°，OB′=OB=2
，则∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°，
，
所以△OBH为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形性质可计算得OH=B′H=然后根据第四象限内点的坐标特征写出B′点的坐标． 【解答】解：作B′H⊥x轴于H点，连结OB，OB′，如图， ∵四边形OABC为菱形，
∴∠AOC=180°﹣∠C=60°，OB平分∠AOC， ∴∠AOB=30°，
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∵菱形OABC绕原点O顺时针旋转75°至第四象限OA′B′C′的位置， ∴∠BOB′=75°，OB′=OB=2
，
∴∠AOB′=∠BOB′﹣∠AOB=45°， ∴△OBH为等腰直角三角形， ∴OH=B′H=
OB′=
， ，﹣
）．
∴点B′的坐标为（故答案为：（
，﹣
）．
10．如图，在平行四边形ABCD中，添加一个条件 AB=BC或AC⊥BD 使平行四边形ABCD是菱形．
【分析】根据菱形的判定方法即可判断．
【解答】解：当AB=BC或AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形． 故答案为AB=BC或AC⊥BD．
三．解答题（共10小题）
11．如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC，BD相交于点O，且AB=2． （1）求菱形ABCD的周长； （2）若AC=2，求BD的长．
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【分析】（1）由菱形的四边相等即可求出其周长； （2）利用勾股定理可求出BO的长，进而解答即可． 【解答】解：（1）∵四边形ABCD是菱形，AB=2， ∴菱形ABCD的周长=2×4=8；
（2）∵四边形ABCD是菱形，AC=2，AB=2 ∴AC⊥BD，AO=1， ∴BO=∴BD=2
12．如图，在▱ABCD中，E，F分别是AD，BC上的点，且DE=BF，AC⊥EF．求证：四边形AECF是菱形．
，
【分析】根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可证明； 【解答】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵DE=BF，
∴AE=CF，∵AE∥CF，
∴四边形AECF是平行四边形， ∵AC⊥EF，
∴四边形AECF是菱形．
13．如图，在▱ABCD中，作对角线BD的垂直平分线EF，垂足为O，分别交AD，BC于E，F，连接BE，DF．求证：四边形BFDE是菱形．
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【分析】根据平行四边形的性质以及全等三角形的判定方法证明出△DOE≌△BOF，得到OE=OF，利用对角线互相平分的四边形是平行四边形得出四边形EBFD是平行四边形，进而利用对角线互相垂直的平行四边形是菱形得出四边形BFDE为菱形．
【解答】证明：∵在▱ABCD中，O为对角线BD的中点， ∴BO=DO，∠EDB=∠FBO， 在△EOD和△FOB中，
，
∴△DOE≌△BOF（ASA）； ∴OE=OF， 又∵OB=OD，
∴四边形EBFD是平行四边形， ∵EF⊥BD，
∴四边形BFDE为菱形．
14．如图，在四边形ABCD中，BC=CD，∠C=2∠BAD．O是四边形ABCD内一点，且OA=OB=OD．求证： （1）∠BOD=∠C；
（2）四边形OBCD是菱形．
【分析】（1）延长AO到E，利用等边对等角和角之间关系解答即可； （2）连接OC，根据全等三角形的判定和性质以及菱形的判定解答即可．
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【解答】证明：（1）
延长OA到E， ∵OA=OB， ∴∠ABO=∠BAO， 又∠BOE=∠ABO+∠BAO， ∴∠BOE=2∠BAO， 同理∠DOE=2∠DAO，
∴∠BOE+∠DOE=2∠BAO+2∠DAO=2（∠BAO+∠DAO） 即∠BOD=2∠BAD， 又∠C=2∠BAD， ∴∠BOD=∠C； （2）连接OC，
∵OB=OD，CB=CD，OC=OC， ∴△OBC≌△ODC，
∴∠BOC=∠DOC，∠BCO=∠DCO，
∵∠BOD=∠BOC+∠DOC，∠BCD=∠BCO+∠DCO， ∴∠BOC=∠BOD，∠BCO=∠BCD， 又∠BOD=∠BCD， ∴∠BOC=∠BCO， ∴BO=BC，
又OB=OD，BC=CD， ∴OB=BC=CD=DO， ∴四边形OBCD是菱形．
15．如图，已知A、F、C、D四点在同一条直线上，AF=CD，AB∥DE，且AB=DE．
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（1）求证：△ABC≌△DEF；
（2）若EF=3，DE=4，∠DEF=90°，请直接写出使四边形EFBC为菱形时AF的长度．
【分析】（1）根据SAS即可证明．
（2）解直角三角形求出DF、OE、OF即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵AB∥DE， ∴∠A=∠D， ∵AF=CD， ∴AF+FC=CD+FC， 即AC=DF， ∵AB=DE， ∴△ABC≌△DEF．
（2）如图，连接AB交AD于O．
在Rt△EFD中，∵∠DEF=90°，EF=3，DE=4， ∴DF=
=5，
∵四边形EFBC是菱形， ∴BE⊥CF，'∴EO=∴OF=OC=∴CF=
，
==，
，
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∴AF=CD=DF﹣FC=5﹣
=．
16．F分别是AB，BC上的点，AE=CF，如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点E，并且∠AED=∠CFD．
求证：（1）△AED≌△CFD； （2）四边形ABCD是菱形．
【分析】（1）由全等三角形的判定定理ASA证得结论； （2）由“邻边相等的平行四边形为菱形”证得结论． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠A=∠C．
在△AED与△CFD中，
∴△AED≌△CFD（ASA）；
（2）由（1）知，△AED≌△CFD，则AD=CD． 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴四边形ABCD是菱形．
17．如图，△ABC中，D是AB上一点，DE⊥AC于点E，F是AD的中点，FG⊥BC于点G，与DE交于点H，若FG=AF，AG平分∠CAB，连接GE，CD． （1）求证：△ECG≌△GHD；
（2）小亮同学经过探究发现：AD=AC+EC．请你帮助小亮同学证明这一结论． （3）若∠B=30°，判定四边形AEGF是否为菱形，并说明理由．
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【分析】（1）依据条件得出∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，依据F是AD的中点，FG∥AE，即可得到FG是线段ED的垂直平分线，进而得到GE=GD，∠CGE=∠GDE，利用AAS即可判定△ECG≌△GHD；
（2）过点G作GP⊥AB于P，判定△CAG≌△PAG，可得AC=AP，由（1）可得
EG=DG，即可得到Rt△ECG≌Rt△GPD，依据EC=PD，即可得出AD=AP+PD=AC+EC；
（3）依据∠B=30°，可得∠ADE=30°，进而得到AE=AD，故AE=AF=FG，再根据四边形AECF是平行四边形，即可得到四边形AEGF是菱形． 【解答】解：（1）∵AF=FG， ∴∠FAG=∠FGA， ∵AG平分∠CAB， ∴∠CAG=∠FGA， ∴∠CAG=∠FGA， ∴AC∥FG， ∵DE⊥AC， ∴FG⊥DE， ∵FG⊥BC， ∴DE∥BC， ∴AC⊥BC，
∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED， ∵F是AD的中点，FG∥AE， ∴H是ED的中点，
∴FG是线段ED的垂直平分线， ∴GE=GD，∠GDE=∠GED， ∴∠CGE=∠GDE，
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∴△ECG≌△GHD；
（2）证明：过点G作GP⊥AB于P， ∴GC=GP，而AG=AG， ∴△CAG≌△PAG， ∴AC=AP，
由（1）可得EG=DG， ∴Rt△ECG≌Rt△GPD， ∴EC=PD，
∴AD=AP+PD=AC+EC； （3）四边形AEGF是菱形， 证明：∵∠B=30°， ∴∠ADE=30°， ∴AE=AD， ∴AE=AF=FG， 由（1）得AE∥FG，
∴四边形AECF是平行四边形， ∴四边形AEGF是菱形．
18．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE=DF． （1）求证：▱ABCD是菱形；
（2）若AB=5，AC=6，求▱ABCD的面积．
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【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB=AD即可解决问题； （2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠B=∠D，
∵AE⊥BC，AF⊥CD， ∴∠AEB=∠AFD=90°， ∵BE=DF， ∴△AEB≌△AFD ∴AB=AD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
（2）连接BD交AC于O． ∵四边形ABCD是菱形，AC=6， ∴AC⊥BD，
AO=OC=AC=×6=3， ∵AB=5，AO=3， ∴BO=∴BD=2BO=8，
∴S平行四边形ABCD=×AC×BD=24．
=
=4，
19．如图，在平行四边形ABCD中，DB=DA，点F是AB的中点，连接DF并延长，交CB的延长线于点E，连接AE． （1）求证：四边形AEBD是菱形； （2）若DC=
，tan∠DCB=3，求菱形AEBD的面积．
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【分析】（1）由△AFD≌△BFE，推出AD=BE，可知四边形AEBD是平行四边形，再根据BD=AD可得结论；
（2）解直角三角形求出EF的长即可解决问题； 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥CE， ∴∠DAF=∠EBF，
∵∠AFD=∠EFB，AF=FB， ∴△AFD≌△BFE， ∴AD=EB，∵AD∥EB，
∴四边形AEBD是平行四边形， ∵BD=AD，
∴四边形AEBD是菱形．
（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴CD=AB=
，AB∥CD，
∴∠ABE=∠DCB，
∴tan∠ABE=tan∠DCB=3， ∵四边形AEBD是菱形， ∴AB⊥DE，AF=FB，EF=DF， ∴tan∠ABE=∵BF=∴EF=∴DE=3
， ， ，
•3
=15．
=3，
∴S菱形AEBD=•AB•DE=
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20．如图，在四边形ABCD中，∠BAC=90°，E是BC的中点，AD∥BC，AE∥DC，EF⊥CD于点F．
（1）求证：四边形AECD是菱形； （2）若AB=6，BC=10，求EF的长．
【分析】（1）根据平行四边形和菱形的判定证明即可；（2）根据菱形的性质和三角形的面积公式解答即可． 【解答】证明：（1）∵AD∥BC，AE∥DC， ∴四边形AECD是平行四边形， ∵∠BAC=90°，E是BC的中点， ∴AE=CE=BC，
∴四边形AECD是菱形；
（2）过A作AH⊥BC于点H，∵∠BAC=90°，AB=6，BC=10， ∴AC=，
∵
，
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∴AH=，
∵点E是BC的中点，BC=10，四边形AECD是菱形， ∴CD=CE=5，
∵S▱AECD=CE•AH=CD•EF， ∴EF=AH=
．
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