考研数学三公式大全

2020-01-12 来源：钮旅网

高等数学公式

导数公式：

(tanx)sec2x(cotx)csc2x(secx)secxtanx(cscx)cscxcotx(ax)axlna(logax)基本积分表：

(arcsinx)11xlna1x21(arccosx)1x21(arctanx)1x21(arccotx)1x2tanxdxlncosxCcotxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtanxCcscxdxlncscxcotxCdx1xarctanCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axa2x22alnaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2seccos2xxdxtanxCdx2cscsin2xxdxcotxCsecxtanxdxsecxCcscxcotxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2nxa222xadxxaln(xx2a2)C22xa22222xadxxalnxx2a2C22xa2x2222axdxaxarcsinC22a22三角函数的有理式积分：

A.积化和差公式： B.和差化积公式：

①sinsin2sin2222③coscos2cos④coscos2sin cossin2222bca1.正弦定理：===2R（R为三角形外接圆半径）

sinAsinBsinCcos②sinsin2cossin

2..余弦定理：

a2=b2+c2-2bccosAb2=a2+c2-2accosBc2=a2+b2-2ab

b2c2a2 cosCcosA2bc1111abc3.S⊿=aha=absinC=bcsinA=acsinB==2R2sinAsinBsinC

22224Ra2sinBsinCb2sinAsinCc2sinAsinB====pr=p(pa)(pb)(pc)

2sinB2sinA2sinC1(其中p(abc),r为三角形内切圆半径)4.诱导公试

2 sin -sin cos tan cot -ctg -ctg +ctg -ctg +ctg cot 三角函数值等于的同名三角函数值，前面加上一个把看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限

- - +cos -tg -tg +tg +sin -cos -sin -sin -cos + 2- 2k+ +cos -tg 5.和差角公式

+sin +cos +tg sin +cos +cos -cos -cos cos +sin -sin -sin +sin tan ①sin()sincoscossin②

cos()coscossinsin +ctg +tg -ctg -tg

+ctg +tg -ctg -tg ③tg()tgtg④tgtgtg()(1tgtg)

1tgtg6.二倍角公式：(含万能公式)

①sin22sincos222tg 21tg221tg2②cos2cossin2cos112sin

1tg2tg21cos22tg1cos222sin③tg2④⑤cos1tg221tg22 7.半角公式：（符号的选择由所在的象限确定）

2①sin21cos1cos1cos②sin2③cos 222221cos⑤1cos2sin2⑥1cos2cos2 222④cos22⑦1sin(cossin)2cossin2222

⑧tg21cossin1cos

1cos1cossin高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz）公式：中值定理与导数应用：多元函数微分法及应用多元函数的极值及其求法：常数项级数：级数审敛法：

绝对收敛与条件收敛：函数展开成幂级数：幂级数：

一些函数展开成幂级数：欧拉公式：

微分方程的相关概念

一阶微分方程：yf(x,y)　或　P(x,y)dxQ(x,y)dy0可分离变量的微分方程：一阶微分方程可以化为g(y)dyf(x)dx的形式，解法：g(y)dyf(x)dx　　得：G(y)齐次方程：一阶微分方程可以写成F(x)C称为隐式通解。dyyf(x,y)(x,y)，即写成的函数，解法：dxxydydududxduy设u，则ux，u(u)，分离变量，积分后将代替u，xdxdxdxx(u)u即得齐次方程通解。

一阶线性微分方程：全微分方程：二阶微分方程：

二阶常系数齐次线性微分方程及其解法： (*)式的通解两个不相等实根(p24q0) 两个相等实根(p24q0) 一对共轭复根(p24q0) 二阶常系数非齐次线性微分方程线性代数公式大全——最新修订 1、行列式

n行列式共有n2个元素，展开后有n!项，可分解为2n行列式；

代数余子式的性质： ①、Aij和aij的大小无关；

②、某行（列）的元素乘以其它行（列）元素的代数余子式为0； ③、某行（列）的元素乘以该行（列）元素的代数余子式为A；代数余子式和余子式的关系：Mjij(1)iAijAij(1)ijMij

设n行列式D：

n(n1)将D上、下翻转或左右翻转，所得行列式为D1，则D1(1)2D； n(n1)将D顺时针或逆时针旋转90，所得行列式为D2，则D2(1)2D；

将D主对角线翻转后（转置），所得行列式为D3，则D3D；

将D主副角线翻转后，所得行列式为D4，则D4D；行列式的重要公式：

①、主对角行列式：主对角元素的乘积；

x②、副对角行列式：副对角元素的乘积(1)n(n1)2；

③、上、下三角行列式（◥◣）：主对角元素的乘积； ④、◤和◢：副对角元素的乘积(1)⑤、拉普拉斯展开式：

n(n1)2；

AOCBACOBAB、

CABOOABC(1)mnAB

⑥、范德蒙行列式：大指标减小指标的连乘积； ⑦、特征值；

对于n阶行列式A，恒有：EAn(1)kSknk，其中Sk为k阶主子式；

k1n证明A0的方法： ①、AA； ②、反证法；

③、构造齐次方程组Ax0，证明其有非零解； ④、利用秩，证明r(A)n； ⑤、证明0是其特征值； 2、矩阵 1.

A是n阶可逆矩阵：

A0（是非奇异矩阵）； r(A)n（是满秩矩阵） A的行（列）向量组线性无关； 齐次方程组Ax0有非零解； bRn，Axb总有唯一解； A与E等价；

A可表示成若干个初等矩阵的乘积； A的特征值全不为0； ATA是正定矩阵；

A的行（列）向量组是Rn的一组基； A是Rn中某两组基的过渡矩阵；

对于n阶矩阵A：AA*A*AAE无条件恒成立；

矩阵是表格，推导符号为波浪号或箭头；行列式是数值，可求代数和；关于分块矩阵的重要结论，其中均A、B可逆：

A1若AA2，则： AsAs；

Ⅰ、AA1A2A111Ⅱ、A11A2； As1O；（主对角分块） B1B1；（副对角分块） OA1CB1；（拉普拉斯） B1O；（拉普拉斯） B1A1AO②、OBOOOA③、1BOAA1AC④、OBO111A1AO⑤、11CBBCA3、矩阵的初等变换与线性方程组 1.

E一个mn矩阵A，总可经过初等变换化为标准形，其标准形是唯一确定的：FrOO； Omn等价类：所有与A等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类；标准形为其形状最简单的矩阵；对于同型矩阵A、B，若r(A)r(B)AB；行最简形矩阵：

①、只能通过初等行变换获得； ②、每行首个非0元素必须为1；

③、每行首个非0元素所在列的其他元素必须为0；

初等行变换的应用：（初等列变换类似，或转置后采用初等行变换）

①、若(A,E)(E,X)，则A可逆，且XA1；

②、对矩阵(A,B)做初等行变化，当A变为E时，B就变成A1B，即：(A,B)(E,A1B)；

③、求解线形方程组：对于n个未知数n个方程Axb，如果(A,b)(E,x)，则A可逆，且xA1b；初等矩阵和对角矩阵的概念：

①、初等矩阵是行变换还是列变换，由其位置决定：左乘为初等行矩阵、右乘为初等列矩阵；

rrc1②、2，左乘矩阵A，乘A的各行元素；右乘，乘A的各列元素；

iin11111③、对调两行或两列，符号E(i,j)，且E(i,j)E(i,j)，例如：1；

11111111④、倍乘某行或某列，符号E(i(k))，且E(i(k))E(i())，例如：kkk11(k0)； 1kk11⑤、倍加某行或某列，符号E(ij(k)),且E(ij(k))1E(ij(k))，如：11(k0)；

11矩阵秩的基本性质：

①、0r(Amn)min(m,n)； ②、r(AT)r(A)； ③、若AB，则r(A)r(B)；

④、若P、Q可逆，则r(A)r(PA)r(AQ)r(PAQ)；（可逆矩阵不影响矩阵的秩） ⑤、max(r(A),r(B))r(A,B)r(A)r(B)；（※） ⑥、r(AB)r(A)r(B)；（※） ⑦、r(AB)min(r(A),r(B))；（※）

⑧、如果A是mn矩阵，B是ns矩阵，且AB0，则：（※）

Ⅰ、B的列向量全部是齐次方程组AX0解（转置运算后的结论）； Ⅱ、r(A)r(B)n

⑨、若A、B均为n阶方阵，则r(AB)r(A)r(B)n；三种特殊矩阵的方幂：

①、秩为1的矩阵：一定可以分解为列矩阵（向量）行矩阵（向量）的形式，再采用结合律；

1ac②、型如01b的矩阵：利用二项展开式；

001

二项展开式：(ab)CaCan0nn1nn11bCamnnmbmCn11n1nabmmnm； CbCnabnnnm0n注：Ⅰ、(ab)n展开后有n1项；

mⅡ、Cnn(n1)(nm1)n!123mm!(nm)!mnnmn0nCnCn1

nⅢ、组合的性质：CCCmn1CCmnm1n Cr0rn2nrr1rCnnCn1；

③、利用特征值和相似对角化：伴随矩阵：

n①、伴随矩阵的秩：r(A*)10②、伴随矩阵的特征值：

r(A)nr(A)n1； r(A)n1A(AXX,A*AA1A*XAX)；

③、A*AA1、A*An1

关于A矩阵秩的描述：

①、r(A)n，A中有n阶子式不为0，n1阶子式全部为0；（两句话） ②、r(A)n，A中有n阶子式全部为0； ③、r(A)n，A中有n阶子式不为0；

线性方程组：Axb，其中A为mn矩阵，则： ①、m与方程的个数相同，即方程组Axb有m个方程； ②、n与方程组得未知数个数相同，方程组Axb为n元方程；线性方程组Axb的求解：

①、对增广矩阵B进行初等行变换（只能使用初等行变换）； ②、齐次解为对应齐次方程组的解； ③、特解：自由变量赋初值后求得；

由n个未知数m个方程的方程组构成n元线性方程：

a11x1a12x2a1nxnb1axaxaxb2222nn2①、211；

am1x1am2x2anmxnbna1nx1b1a11a12aaa21222nx2b2Axb（向量方程，A为mn矩阵，m个方程，n个未知数）②、 aaam2mnxmm1bmx1b1x2b③、a1a2an（全部按列分块，其中2）； xnbn④、a1x1a2x2anxn（线性表出）

⑤、有解的充要条件：r(A)r(A,)n（n为未知数的个数或维数） 4、向量组的线性相关性

1. m个n维列向量所组成的向量组A：1,2,,m构成nm矩阵A(1,2,,m)；

Tm个n维行向量所组成的向量组B：1T,2,1TTT构成mn矩阵B2； ,mTm含有有限个向量的有序向量组与矩阵一一对应； ①、向量组的线性相关、无关

②、向量的线性表出

Ax0有、无非零解；（齐次线性方程组） Axb是否有解；（线性方程组）

③、向量组的相互线性表示 AXB是否有解；（矩阵方程）

矩阵Amn与Bln行向量组等价的充分必要条件是：齐次方程组Ax0和Bx0同解；(P101例14) r(ATA)r(A)；(P101例15) n维向量线性相关的几何意义：

0； ①、线性相关

②、,线性相关 ,坐标成比例或共线（平行）；

③、,,线性相关 ,,共面；

线性相关与无关的两套定理：若1,2,,s线性相关，则1,2,若1,2,,s,s1必线性相关；

,s1必线性无关；（向量的个数加加减减，二者为对偶）

,s线性无关，则1,2,若r维向量组A的每个向量上添上nr个分量，构成n维向量组B：

若A线性无关，则B也线性无关；反之若B线性相关，则A也线性相关；（向量组的维数加加减减）简言之：无关组延长后仍无关，反之，不确定；

向量组A（个数为r）能由向量组B（个数为s）线性表示，且A线性无关，则rs(二版P74定理7)；

向量组A能由向量组B线性表示，则r(A)r(B)；（P86定理3）向量组A能由向量组B线性表示

AXB有解；

r(A)r(A,B)（P85定理2）

向量组A能由向量组B等价r(A)r(B)r(A,B)（P85定理2推论）

方阵A可逆存在有限个初等矩阵P1,P2,r,Pl，使AP1P2Pl；

①、矩阵行等价：A~BPAB（左乘，P可逆）Ax0与Bx0同解 ②、矩阵列等价：A~BAQB（右乘，Q可逆）； ③、矩阵等价：A~BPAQB（P、Q可逆）；对于矩阵Amn与Bln：

①、若A与B行等价，则A与B的行秩相等；

②、若A与B行等价，则Ax0与Bx0同解，且A与B的任何对应的列向量组具有相同的线性相关性；

③、矩阵的初等变换不改变矩阵的秩； ④、矩阵A的行秩等于列秩；若AmsBsnCmn，则：

①、C的列向量组能由A的列向量组线性表示，B为系数矩阵；

②、C的行向量组能由B的行向量组线性表示，AT为系数矩阵；（转置）

齐次方程组Bx0的解一定是ABx0的解，考试中可以直接作为定理使用，而无需证明；

①、ABx0 只有零解Bx0只有零解； ②、Bx0 有非零解ABx0一定存在非零解；设向量组Bnr:b1,b2,c,br可由向量组Ans:a1,a2,(b1,b2,,as线性表示为：（P110题19结论） ,as)K（BAK）

,br)(a1,a2, 其中K为sr，且A线性无关，则B组线性无关r(K)r；（B与K的列向量组具有相同线性

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