一、选择题（本大题共27分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在题后的括号里） 1．计算2x3•x2的结果是（ ） A．2x B．2x5 C．2x6 D．x5
2．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．要使分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1
4．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A．17 B．15 C．13 D．13或17
5．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D 6．若=，则的值为（ ） A．1
B．
C．
D．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（
A．30° B．36° C．40° D．45°
1
）8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A．C．
= =
D．
B．
=
=
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题
10．计算﹣（﹣3a2b3）2的结果是 ． 11．当1＜x＜2，化简
+
的值是 ．
12．如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC请补充一个条件： ，使△ABC≌△FED．
13．x2+kx+9是完全平方式，则k= ． 14．分解因式：9x﹣18x+9x= ．
15．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 ．
3
2
2
16．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 ．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 ．
三、解答题（共69分）
18．（1）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）； （2）解方程：（3x+1）（3x﹣1）﹣（3x+1）=﹣8． 19．（7分）解方程：
．
2
20．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB=DE．
21．先化简，再求值：÷（x﹣2﹣），其中x=3．
22．如图，△ABC中，A点坐标为（2，4），B点坐标为（﹣3，﹣2），C点坐标为（3，1）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的坐标． （2）求△ABC的面积．
3
23．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E、D分别为边AB、AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．
24．今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍． （1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？
4
2015-2016学年湖北省黄冈市区学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共27分，每小题3分．在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的．请将正确选项前的字母填在题后的括号里） 1．计算2x3•x2的结果是（ ） A．2x B．2x C．2x D．x 【考点】同底数幂的乘法．
【分析】根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加解答． 【解答】解：2x•x=2x． 故选B．
【点评】本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．
2．下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
3
2
5
5
6
5
A． B． C． D．
【考点】轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【解答】解：A、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
B、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
C、不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意； D、是轴对称图形，符合题意．
5
故选D．
【点评】掌握轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 3．要使分式
有意义，则x的取值范围是（ ）
A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1 【考点】分式有意义的条件． 【专题】常规题型．
【分析】根据分母不等于0列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，x﹣1≠0， 解得x≠1． 故选：A．
【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念： （1）分式无意义⇔分母为零； （2）分式有意义⇔分母不为零；
（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．
4．一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（ ） A．17 B．15 C．13 D．13或17 【考点】等腰三角形的性质；三角形三边关系． 【专题】分类讨论．
【分析】由于未说明两边哪个是腰哪个是底，故需分：（1）当等腰三角形的腰为3；（三角形的腰为7；两种情况讨论，从而得到其周长．
【解答】解：①当等腰三角形的腰为3，底为7时，3+3＜7不能构成三角形； ②当等腰三角形的腰为7，底为3时，周长为3+7+7=17． 故这个等腰三角形的周长是17． 故选：A．
【点评】本题考查的是等腰三角形的性质，在解答此题时要注意进行分类讨论．
5．如图，下列条件不能证明△ABC≌△DCB的是（ ）
2）当等腰6
A．AB=DC，AC=DB B．AB=DC，∠ABC=∠DCB C．BO=CO，∠A=∠D D．AB=DC，∠A=∠D 【考点】全等三角形的判定．
【分析】全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，根据以上内容逐个判断即可．
【解答】解：A、AB=DC，AC=DB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SSS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
B、AB=DC，∠ABC=∠DCB，BC=BC，符合全等三角形的判定定理“SAS”，即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
C、在△AOB和△DOC中，
，
∴△AOB≌△DOC（AAS）， ∴AB=DC，∠ABO=∠DCO， ∵OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB， ∴∠ABC=∠DCB， 在△ABC和△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS），
即能推出△ABC≌△DCB，故本选项错误；
D、具备条件AB=DC，BC=BC，∠∠A=∠D不能推出△ABC≌△DCB，故本选项正确． 故选D．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，能灵活运用全等三角形的判定定理进行推理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．
7
6．若=，则A．1
B．
的值为（ ） C．
D．
【考点】比例的性质． 【专题】计算题．
【分析】根据合分比性质求解． 【解答】解：∵ =， ∴
=
=．
故选D．
【点评】考查了比例性质：常见比例的性质有内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质．
7．如图，在△ABC中，AB=AC，且D为BC上一点，CD=AD，AB=BD，则∠B的度数为（ ）
A．30° B．36° C．40° D．45° 【考点】等腰三角形的性质．
【分析】求出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C的关系，利用三角形的内角和是180°，求∠B， 【解答】解：∵AB=AC， ∴∠B=∠C， ∵AB=BD， ∴∠BAD=∠BDA， ∵CD=AD， ∴∠C=∠CAD，
∵∠BAD+∠CAD+∠B+∠C=180°， ∴5∠B=180°， ∴∠B=36° 故选：B．
8
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，解题的关键是运用等腰三角形的性质得出∠BAD=2∠CAD=2∠B=2∠C关系．
8．某校为了丰富学生的校园生活，准备购买一批陶笛，已知A型陶笛比B型陶笛的单价低20元，用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，设A型陶笛的单价为x元，依题意，下面所列方程正确的是（ ） A．C．
= =
D．
B．
=
=
【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【专题】销售问题．
【分析】设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元，根据用2700元购买A型陶笛与用4500购买B型陶笛的数量相同，列方程即可．
【解答】解：设A型陶笛的单价为x元，则B型陶笛的单价为（x+20）元， 由题意得，故选：D．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程．
9．如图，在方格纸中，以AB为一边作△ABP，使之与△ABC全等，从P1，P2，P3，P4四个点中找出符合条件的点P，则点P有（ ）
=
．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点】全等三角形的判定．
【分析】根据全等三角形的判定得出点P的位置即可．
9
【解答】解：要使△ABP与△ABC全等，点P到AB的距离应该等于点C到AB的距离，即3个单位长度，故点P的位置可以是P1，P3，P4三个， 故选C
【点评】此题考查全等三角形的判定，关键是利用全等三角形的判定进行判定点P的位置． 二、填空题
10．计算﹣（﹣3a2b3）2的结果是 ﹣9a4b6 ． 【考点】幂的乘方与积的乘方．
【分析】首先利用积的乘方和幂的乘方进行计算，再加上括号前面的负号即可． 【解答】解：原式=﹣9ab， 故答案为：﹣9ab．
【点评】此题主要考查了积的乘方和幂的乘方，关键是掌握积的乘方法则：把每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘．
11．当1＜x＜2，化简【考点】约分．
【分析】根据绝对值的定义，再根据已知条件，化简式子即可得出结果． 【解答】解：因为1＜x＜2， 所以
+
=
，
+
的值是 ﹣2 ．
46
46
故答案为：﹣2
【点评】此题主要考查了绝对值的性质，能够根据已知条件正确地化简式子，比较简单．
12．如图，C、D点在BE上，∠1=∠2，BD=EC请补充一个条件： AC=DF ，使△ABC≌△FED．
【考点】全等三角形的判定．
【分析】条件是AC=DF，求出BC=DE，根据SAS推出即可． 【解答】解：条件是AC=DF，
10
理由是：∵BD=CE， ∴BD﹣CD=CE﹣CD， ∴BC=DE，
在△ABC和△FED中，
，
∴△ABC≌△FED（SAS）， 故答案为：AC=DF．
【点评】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS．此题是一道开放型的题目，答案不唯一．
13．x2+kx+9是完全平方式，则k= ±6 ． 【考点】完全平方式．
【分析】这里首末两项是x和3这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去x和3的积的2倍，故k=±6．
【解答】解：中间一项为加上或减去x和3的积的2倍， 故k=±6．
【点评】本题是完全平方公式的应用，两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
14．分解因式：9x﹣18x+9x= 9x（x﹣1） ． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用．
【分析】首先提取公因式9x，进而利用完全平方公式分解因式得出即可． 【解答】解：9x﹣18x+9x =9x（x2﹣2x+1） =9x（x﹣1）．
故答案为：9x（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，熟练应用完全平方公式是解题关键．
15．如图，∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=4，则PD的长为 2 ．
11
2
3
2
3
2
2
【考点】含30度角的直角三角形． 【专题】计算题．
【分析】过P作PE垂直与OB，由∠AOP=∠BOP，PD垂直于OA，利用角平分线定理得到PE=PD，由PC与OA平行，根据两直线平行得到一对内错角相等，又OP为角平分线得到一对角相等，等量代换可得∠COP=∠CPO，又∠ECP为三角形COP的外角，利用三角形外角的性质求出∠ECP=30°，在直角三角形ECP中，由30°角所对的直角边等于斜边的一半，由斜边PC的长求出PE的长，即为PD的长．
【解答】解：过P作PE⊥OB，交OB与点E，
∵∠AOP=∠BOP，PD⊥OA，PE⊥OB， ∴PD=PE， ∵PC∥OA， ∴∠CPO=∠POD， 又∠AOP=∠BOP=15°， ∴∠CPO=∠BOP=15°， 又∠ECP为△OCP的外角， ∴∠ECP=∠COP+∠CPO=30°，
在直角三角形CEP中，∠ECP=30°，PC=4， ∴PE=PC=2， 则PD=PE=2． 故答案为：2．
【点评】此题考查了含30°角直角三角形的性质，角平分线定理，平行线的性质，以及三角形的外角性质，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．同时注意辅助线的作法．
12
16．如图，在边长为a的正方形中剪去一个边长为b的小正方形（a＞b），把剩下的部分拼成一个梯形，分别计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式 a﹣b=（a+b）（a﹣b） ．
2
2
【考点】平方差公式的几何背景． 【专题】计算题；压轴题．
【分析】左图中阴影部分的面积是a2﹣b2，右图中梯形的面积是（2a+2b）（a﹣b）=（a+b）（a﹣b），根据面积相等即可解答． 【解答】解：a﹣b=（a+b）（a﹣b）．
【点评】此题主要考查的是平方差公式的几何表示，运用不同方法表示阴影部分面积是解题的关键．
17．如图，在△ABC中，AB=AC=11，∠BAC=120°，AD是△ABC的中线，AE是∠BAD的角平分线，DF∥AB交AE的延长线于点F，则DF的长为 5.5 ．
2
2
【考点】等腰三角形的判定与性质；含30度角的直角三角形．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质可得AD⊥BC，∠BAD=∠CAD，再求出∠DAE=∠EAB=30°，然后根据平行线的性质求出∠F=∠BAE=30°，从而得到∠DAE=∠F，再根据等角对等边求出AD=DF，然后求出∠B=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半解答． 【解答】解：∵AB=AC，AD是△ABC的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD=∠CAD=∠BAC=×120°=60°， ∵AE是∠BAD的角平分线，
∴∠DAE=∠EAB=∠BAD=×60°=30°， ∵DF∥AB， ∴∠F=∠BAE=30°， ∴∠DAE=∠F=30°，
13
∴AD=DF，
∵∠B=90°﹣60°=30°， ∴AD=AB=×11=5.5， ∴DF=5.5． 故答案为：5.5．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质，熟记各性质是解题的关键．
三、解答题（共69分）
18．（2015秋•黄冈校级期末）（1）化简：（x+y）（x﹣y）﹣（2x﹣y）（x+3y）； （2）解方程：（3x+1）（3x﹣1）﹣（3x+1）2=﹣8． 【考点】平方差公式；多项式乘多项式；解一元一次方程．
【分析】（1）先根据平方差公式和多项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可求解； （1）先根据平方差公式和完全平方公式计算，再合并同类项得到﹣6x﹣2=﹣8，再解一元一次方程即可求解．
【解答】解：（1）原式=x﹣y﹣（2x+5xy﹣3y） =﹣x2﹣5xy+2y2；
（2）去括号，得9x﹣1﹣（9x+6x+1）=﹣8， 9x﹣1﹣9x﹣6x﹣1=﹣8， 合并，得﹣6x﹣2=﹣8， 解得x=1．
【点评】本题考查了平方差公式，多项式乘多项式，完全平方公式，解一元一次方程，解一元一次方程的一般步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，这仅是解一元一次方程的一般步骤，针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化．
19．解方程：
【考点】解分式方程．
【分析】根据解分式方程的步骤，先去分母化为整式方程，再求出方程的解，最后进行检验即可．
．
2
2
2
2
2
2
2
2
14
【解答】解：2x=x﹣2+1， x=﹣1，
=1+，
经检验x=﹣1是原方程的解， 则原方程的解是x=﹣1．
【点评】此题考查了解分式方程，用到的知识点是解分式方程的步骤：去分母化整式方程，解整式方程，最后要把整式方程的解代入最简公分母进行检验．
20．如图，点B、F、C、E在同一直线上，BF=CE，AB∥ED，AC∥FD．求证：AB=DE．
【考点】全等三角形的判定与性质． 【专题】证明题．
【分析】由于BF=CE，利用等式性质可证BC=EF，而AB∥ED，AC∥FD，利用平行线的性质可得∠B=∠E，∠ACB=∠DFE，从而利用ASA可证△ABC≌△DEF，进而可得AB=DE． 【解答】证明：∵BF=CE， ∴BF+CF=CE+CF， 即BC=EF， ∵AB∥ED， ∴∠B=∠E， ∵AC∥FD， ∴∠ACB=∠DFE， 在△ABC和△DEF中， ∵
，
∴△ABC≌△DEF，
15
∴AB=DE．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是注意先证明ASA所需要的三个条件．
21．先化简，再求值：【考点】分式的化简求值．
【分析】先算括号里面的，再算除法，最后把x=3代入进行计算即可． 【解答】解：原式=
÷
÷（x﹣2﹣
），其中x=3．
===
÷•．
当x=3时，原式=1．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．
22．如图，△ABC中，A点坐标为（2，4），B点坐标为（﹣3，﹣2），C点坐标为（3，1）． （1）在图中画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′（不写画法），并写出点A′，B′，C′的坐标． （2）求△ABC的面积．
【考点】作图-轴对称变换． 【专题】作图题．
【分析】（1）根据网格结构找出点A′、B′、C′的位置，然后顺次连接即可；
16
（2）利用三角形所在的矩形的面积减去四周三个小直角三角形的面积，然后列式计算即可得解． 【解答】解：（1）如图，A′（﹣2，4），B′（3，﹣2），C′（﹣3，1）；
（2）S△ABC=6×6﹣×5×6﹣×6×3﹣×1×3， =36﹣15﹣9﹣1， =10．
【点评】本题考查了利用轴对称变换作图，三角形的面积的求解，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．
23．如图，△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点，点E、D分别为边AB、AC上的点，且满足OE⊥OD，求证：OE=OD．
【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【专题】证明题．
【分析】连接AO，证明△BEO≌△ADO即可． 【解答】证明： 如图，连接AO，
∵∠BAC=90°，AB=AC，O为BC的中点， ∴AO=BO，∠OAD=∠B=45°， ∵AO⊥BO，OE⊥OD，
∴∠AOE+∠BOE=∠AOE+∠AOD=90°，
17
在△AOD和△BOE中
∴△AOD≌△BOE， ∴OE=OD．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键，即SSS、SAS、ASA、AAS和HL．
24．（2015•莱芜）今年我市某公司分两次采购了一批大蒜，第一次花费40万元，第二次花费60万元．已知第一次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格上涨了500元，第二次采购时每吨大蒜的价格比去年的平均价格下降了500元，第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍． （1）试问去年每吨大蒜的平均价格是多少元？
（2）该公司可将大蒜加工成蒜粉或蒜片，若单独加工成蒜粉，每天可加工8吨大蒜，每吨大蒜获利1000元；若单独加工成蒜片，每天可加工12吨大蒜，每吨大蒜获利600元．由于出口需要，所有采购的大蒜必需在30天内加工完毕，且加工蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，为获得最大利润，应将多少吨大蒜加工成蒜粉？最大利润为多少？ 【考点】一元一次不等式组的应用；分式方程的应用．
【分析】（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元，则第一次采购的平均价格为（x+500）元，第二次采购的平均价格为（x﹣500）元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，据此列方程求解；
（2）先求出今年所采购的大蒜数，根据采购的大蒜必需在30天内加工完毕，蒜粉的大蒜数量不少于加工蒜片的大蒜数量的一半，据此列不等式组求解，然后求出最大利润． 【解答】解：（1）设去年每吨大蒜的平均价格是x元， 由题意得，解得：x=3500，
经检验：x=3500是原分式方程的解，且符合题意，
18
×2=，
答：去年每吨大蒜的平均价格是3500元； （2）由（1）得，今年的大蒜数为：
×3=300（吨），
设应将m吨大蒜加工成蒜粉，则应将（300﹣m）吨加工成蒜片，
由题意得，，
解得：100≤m≤120，
总利润为：1000m+600（300﹣m）=400m+180000， 当m=120时，利润最大，为228000元．
答：应将120吨大蒜加工成蒜粉，最大利润为228000元．
【点评】本题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
19
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