含解析
2019-2020学年九年级（上）月考数学试卷（9月份）
一、选择题：（本大题共有10小题，每小题3分，共30分，请将正确选项前的字母代号填涂在答题纸相应位置上）.
1．一元二次方程3x﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．3，2，1
2
2
B．3，2，1 C．3，﹣2，﹣1 D．﹣3，2，1
2．方程x＝x的两根分别为（ ） A．x1＝﹣1，x2＝0
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝﹣l，x2＝1 D．x1＝1，x2＝1
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB的值为（ ） A．
B．
C．
D．
4．如果△ABC中，sinA＝cosB＝A．△ABC是直角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形
，则下列最确切的结论是（ ）
B．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是锐角三角形
5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x+1＝0
2
B．x+2x+1＝0
2
C．x+2x+3＝0
2
D．x+2x﹣3＝0
2
6．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（ ） A．x﹣4x+4＝0
2
B．x+2x﹣4＝0
2
C．x+4x﹣5＝0
2
D．x+4x+10＝0
2
7．某品牌服装原价为173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．173（1+x%）＝127 C．173（1﹣x%）＝127
22
B．173（1﹣2x%）＝127 D．127（1+x%）＝173
2
2
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（ ）
A．3
B．
C．
D．
9．如图，2条宽为1的带子以α角交叉重叠，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
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A．sinα
B．
C．
D．
10．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为（ ）
A．3
B．2
C．6
D．12
二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案直接填在笞题纸相对应位置上）
11．当k 时，关于x的方程（k﹣2）x+3x+1＝0是一元二次方程． 12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝ ．
13．如图，O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为（4，0），则点B的坐标为 ．
2
14．当k 时，关于x的方程2x﹣4x+k＝0有两个实数根． 15．已知2﹣
是方程x﹣4x+c＝0的一个根，则c＝ ．
2
2
2
2
16．若a为方程x+x﹣5＝0的解，则a+a+1的值为 ．
17．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为 米．（保留根号）
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18．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝则点A′的坐标为 ．
，tan∠BOC＝，
19．已知实数ab满足等式a+3a﹣2＝0，b+3b﹣2＝0，那么求
2
2
的值是 ．
20．如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB＝，BC＝（k+1）BD，CE⊥AD，则tan∠ACE＝ ．（用含k的代数式表示）
三、解答题：本大题共8小题，共70分，把解答过程写在答题纸相对应的位置上.解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明. 21．计算：
sin45°﹣
tan60°+sin30°tan45°
22．解下列方程
（1）（x﹣3）+2x（x﹣3）＝0 （2）（x﹣3）（x﹣5）＝25 23．先化简，再求值：（
÷
，其中a是方程x+3x﹣10＝0的根．
2
2
24．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB3 / 24
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＝．
求：（1）线段DC的长； （2）tan∠EDC的值．
25．已知关于x的一元二次方程x﹣（2k+1）x+k+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若周长为16的等腰△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，求k的值． 26．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由； （2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）
2
2
27．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为已知．
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用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x+x﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x+x﹣2＝0，可得方程x+x﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x+x﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ，x3＝ ； （2）拓展：用“转化”思想求方程
＝x的解；
3
2
3
2
2
2
32
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
28．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．
（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为
，求
AE的长．
（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由． （4）如图2，当△ECD的面积S1＝
时，求AE的长．
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参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
1．一元二次方程3x﹣2x＝1的二次项系数、一次项系数、常数项分别是（ ） A．3，2，1
B．3，2，1
C．3，﹣2，﹣1
D．﹣3，2，1
2
【分析】要确定二次项系数、一次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【解答】解：∵方程3x﹣2x＝1化成一般形式是3x﹣2x﹣1＝0， ∴二次项系数是3，一次项系数为﹣2，常数项为﹣1． 故选：C．
2．方程x＝x的两根分别为（ ） A．x1＝﹣1，x2＝0
B．x1＝1，x2＝0
C．x1＝﹣l，x2＝1 D．x1＝1，x2＝1
2
2
2
【分析】方程移项后分解因式化为积的形式，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 【解答】解：方程变形得：x﹣x＝0， 分解因式得：x（x﹣1）＝0， 可得x＝0或x﹣1＝0， 解得：x1＝1，x2＝0． 故选：B．
3．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3BC，则sinB的值为（ ） A．
B．
C．
D．
2
【分析】设BC为x，根据题意用x表示出AB，根据勾股定理求出BC，运用正弦的定义解答即可．
【解答】解：设BC为x，则AB＝3x， 由勾股定理得，AC＝∴sinB＝故选：D．
＝
＝
＝，
＝2
x，
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4．如果△ABC中，sinA＝cosB＝A．△ABC是直角三角形 C．△ABC是等腰直角三角形
，则下列最确切的结论是（ ）
B．△ABC是等腰三角形 D．△ABC是锐角三角形
【分析】根据特殊角的三角函数值，直接得出∠A，∠B的角度从而得出答案． 【解答】解：∵sinA＝cosB＝∴∠A＝∠B＝45°， ∴△ABC是等腰直角三角形． 故选：C．
5．下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是（ ） A．x+1＝0
2
，
B．x+2x+1＝0
2
C．x+2x+3＝0
2
D．x+2x﹣3＝0
2
【分析】要判断所给方程是有两个不相等的实数根，只要找出方程的判别式，根据判别式的正负情况即可作出判断．有两个不相等的实数根的方程，即判别式的值大于0的一元二次方程．
【解答】解：A、x+1＝0中△＜0，没有实数根；
2
B、x+2x+1＝0中△＝0，有两个相等的实数根； C、x+2x+3＝0中△＜0，没有实数根；
D、x+2x﹣3＝0中△＞0，有两个不相等的实数根．
故选：D．
6．下列一元二次方程中两根之和为﹣4的是（ ） A．x﹣4x+4＝0
222
2
B．x+2x﹣4＝0
2
C．x+4x﹣5＝0
2
D．x+4x+10＝0
2
【分析】利用一元二次方程的根与系数的关系x1+x2＝﹣对以下选项进行一一验证并作出正确的选择．
【解答】解：A、∵x1+x2＝4；故本选项错误；
B、∵x1+x2＝1；故本选项错误；
C、∵△＝16+20＝36＞0，x1+x2＝﹣4；故本选项正确；
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D、∵△＝16﹣40＝﹣24＜0，所以本方程无根；故本选项错误．
故选：C．
7．某品牌服装原价为173元，连续两次降价x%后售价为127元，下面所列方程中正确的是（ ）
A．173（1+x%）＝127 C．173（1﹣x%）＝127
22
B．173（1﹣2x%）＝127 D．127（1+x%）＝173
2
2
【分析】根据降价后的价格＝原价（1﹣降低的百分率），本题可先用173（1﹣x%）表示第一次降价后商品的售价，再根据题意表示第二次降价后的售价，即可列出方程． 【解答】解：当商品第一次降价x%时，其售价为173﹣173x%＝173（1﹣x%）； 当商品第二次降价x%后，其售价为173（1﹣x%）﹣173（1﹣x%）x%＝173（1﹣x%）． ∴173（1﹣x%）＝127． 故选：C．
8．如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为（ ）
2
2
A．3
B．
C．
D．
【分析】由已知条件可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α．在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝
，由此可以求出CE．然后根据勾股定理求出DE，最后在Rt△AED中利
用余弦函数的定义即可求出AD．
【解答】解：由已知可知：AB＝CD＝4，∠ADE＝∠ECD＝α． 在Rt△DEC中，cos∠ECD＝cosα＝即∴CE＝
， ．
＝
．
，
根据勾股定理得DE＝
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在Rt△AED中，cosα＝，
即∴AD＝
， ．
故选：B．
9．如图，2条宽为1的带子以α角交叉重叠，则重叠部分（阴影部分）的面积为（ ）
A．sinα
B．
C．
D．
【分析】根据题意可知：所得图形是菱形，设菱形为ABCD，由已知得∠ABE＝α，重叠部分的面积即阴影部分的面积，过A作AE⊥BC于E，由三角函数求出AB、BC的长度，根据菱形的面积公式即可求出结果．
【解答】解：由题意可知：重叠部分是菱形， 设菱形为ABCD，则∠ABE＝α， 过A作AE⊥BC于E，则AE＝1， ∴BC＝AB＝
，
．
∴重叠部分的面积即阴影部分的面积＝BC•AE＝故选：B．
10．如图，矩形ABCD的顶点A，B在x轴的正半轴上，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点D，交BC于点E．若AB＝4，CE＝2BE，tan∠AOD＝，则k的值为（ ）
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A．3
B．2
C．6
D．12
【分析】由tan∠AOD＝＝可设AD＝3a、OA＝4a，在表示出点D、E的坐标，由反比
例函数经过点D、E列出关于a的方程，解之求得a的值即可得出答案． 【解答】解：∵tan∠AOD＝∴设AD＝3a、OA＝4a，
则BC＝AD＝3a，点D坐标为（4a，3a）， ∵CE＝2BE， ∴BE＝BC＝a， ∵AB＝4，
∴点E（4+4a，a），
∵反比例函数y＝经过点D、E， ∴k＝12a＝（4+4a）a， 解得：a＝或a＝0（舍）， 则k＝12×＝3， 故选：A．
二．填空题（共10小题）
11．当k ≠2 时，关于x的方程（k﹣2）x+3x+1＝0是一元二次方程． 【分析】本题根据一元二次方程的定义解答． 一元二次方程必须满足四个条件： （1）未知数的最高次数是2； （2）二次项系数不为0； （3）是整式方程；
（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．
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2
2
＝，
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【解答】解：关于x的方程（k﹣2）x+3x+1＝0是一元二次方程，得
2
k﹣2≠0，
解得k≠2， 故答案为：k≠2．
12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB＝
．
【分析】根据互余两角的三角函数的关系就可以求解． 【解答】解：∵在△ABC中，∠C＝90°， ∴∠A+∠B＝90°， ∴sinB＝cosA＝． 故答案为：．
13．如图，O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°，且点A的坐标为（4，0），则点B的坐标为 （3，） ．
【分析】首先过点B作BC⊥OA于点C，利用三角函数的知识即可求得点B的坐标．
【解答】解：过点B作BC⊥OA于点C，
∵O为坐标原点，∠AOB＝30°，∠ABO＝90°．且点A的坐标为（4，0）， ∴OA＝4，
∴AB＝OA＝2，OB＝OA•cos30°＝2
，
，
∴OC＝OB•cos30°＝3，BC＝OB•sin30°＝∴点B的坐标为：（3，故答案为：（3，
）．
）；
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14．当k ≤2 时，关于x的方程2x﹣4x+k＝0有两个实数根． 【分析】根据根的判别式即可求出答案． 【解答】解：由△＝16﹣8k≥0， ∴k≤2， 故答案为：k≤2 15．已知2﹣
是方程x﹣4x+c＝0的一个根，则c＝ 2+2
2
．
【分析】根据一元二次方程的解的定义，把x的值代入已知方程中，列出关于c的新方程，通过解新方程可以求得c的值． 【解答】解：∵2﹣∴x＝2﹣∴（2﹣解得c＝2+故答案是：2+
2
是方程x﹣4x+c＝0的一个根，
2
2
满足方程x﹣4x+c＝0， ）﹣4（2﹣． ．
2
2
）+c＝0，
16．若a为方程x+x﹣5＝0的解，则a+a+1的值为 6 ．
【分析】先根据一元二次方程的解的定义得到a+a﹣5＝0，则a+a＝5，然后利用整体代入的方法计算a+a+1的值．
【解答】解：∵a为方程x+x﹣5＝0的解， ∴a+a﹣5＝0， ∴a+a＝5， ∴a+a+1＝5+1＝6． 故答案为6．
17．如图所示，太阳光线与地面成60°角，一棵倾斜的大树与地面成30°角，这时测得大树在地面上的影子约为10米，则大树的高约为 10 米．（保留根号）
222
2
2
2
2
【分析】如图，因为60°的角是△ABC的一个外角，且∠B为30°已知，所以根据三角形外角和可知∠CAB＝30°，即AC＝BC＝10m，从而利用△ABD求出BD的长，即可求出
CD，利用30°角的余弦值，进而求出AB．
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【解答】解：如图，作AD⊥CD于D点．
∵∠B＝30°，∠ACD＝60°，∠ACD＝∠B+∠CAB， ∴∠CAB＝30°． ∴BC＝AC＝10m，
在Rt△ACD中，CD＝AC•cos60°＝10×0.5＝5m， ∴BD＝15． ∴在Rt△ABD中，
AB＝BD÷cos30°＝15÷
故答案为：10
．
＝10m．
18．如图，把矩形纸片OABC放入平面直角坐标系中，使OA、OC分别落在x轴、y轴上，连接OB，将纸片OABC沿OB折叠，使点A落在点A′的位置，若OB＝则点A′的坐标为 （
，） ．
，tan∠BOC＝，
【分析】如图，作辅助线；根据题意首先求出AB、BC的长度；借助面积公式求出A′D、
OD的长度，即可解决问题．
【解答】解：如图，过点A′作A′D⊥x轴与点D； 设A′D＝λ，OD＝μ； ∵四边形ABCO为矩形，
∴∠OAB＝∠OCB＝90°；四边形ABA′D为梯形； 设AB＝OC＝γ，BC＝AO＝ρ；
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∵OB＝，tan∠BOC＝，
∴，
解得：γ＝2，ρ＝1；
由题意得：A′O＝AO＝1；△ABO≌△A′BO； 由勾股定理得：λ+μ＝1①， 由面积公式得：
联立①②并解得：λ＝，μ＝． 故答案为（
，）．
②；
2
2
19．已知实数ab满足等式a+3a﹣2＝0，b+3b﹣2＝0，那么求
2
2
的值是 2或 ．
2
【分析】分类讨论：当a＝b时，易得原式＝2；当a≠b时，可把a、b看作方程x+3x﹣2＝0的两根，根据根与系数的关系得a+b＝﹣3，ab＝﹣2，再把原式变形得到
，然后利用整体代入的方法计算．
【解答】解：当a＝b时，原式＝1+1＝2；
当a≠b时，可把a、b看作方程x+3x﹣2＝0的两根，则a+b＝﹣3，ab＝﹣2， 所以原式＝
＝
＝
＝．
2
故答案为：2或．
20．如图，已知点D是Rt△ABC的斜边BC上的一点，tanB＝，BC＝（k+1）BD，CE⊥AD，则tan∠ACE＝
．（用含k的代数式表示）
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【分析】根据题意结合平行线的性质得出出tan∠ACE＝tan∠DAF＝
＝
＝，进而利用锐角三角函数关系得
，即可得出结果．
【解答】解：过点D作DF⊥AB于点F，如图所示： ∵Rt△ABC的斜边BC， ∴∠CAB＝90°，DF⊥AB， ∴AC∥DF， ∴
＝
，
∵BC＝（k+1）BD， ∴
＝
＝，
∴AF＝k•BF ∵tanB＝， ∴
＝，
∴DF＝FB，
∴＝＝，
∵∠CAE+∠ACE＝90°，∠CAE+∠DAB＝90°， ∴∠ACE＝∠DAF， ∴tan∠ACE＝tan∠DAF＝故答案为：
．
＝
，
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三．解答题（共8小题） 21．计算：
sin45°﹣
tan60°+sin30°tan45°
【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式＝22．解下列方程
（1）（x﹣3）+2x（x﹣3）＝0 （2）（x﹣3）（x﹣5）＝25
【分析】（1）直接利用提取公因式法因式分解进而解方程得出答案即可； （2）利用配方法解方程求出答案即可． 【解答】解：（1）（x﹣3）+2x（x﹣3）＝0， （x﹣3）（3x﹣3）＝0， ∴x﹣3＝0或3x﹣3＝0，
2
2
×﹣×+×1＝1﹣3+＝﹣1．
x1＝3，x2＝1，
（2）（x﹣3）（x﹣5）＝25， 整理得：x﹣8x＝10， ∴（x﹣4）＝26， ∴∴
， ，
．
22
23．先化简，再求值：（÷，其中a是方程x+3x﹣10＝0的根．
2
【分析】根据分式的混合运算法则，化简后代入计算即可． 【解答】解：原式＝[＝（
+
）×
﹣
]×
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＝＝
×
2
＝（a+3a），
∵a是方程x+3x﹣10＝0的根， ∴a+3a＝10， ∴原式＝×10＝5．
24．已知：如图，在△ABC中，AD是边BC上的高，E为边AC的中点，BC＝14，AD＝12，sinB＝．
求：（1）线段DC的长； （2）tan∠EDC的值．
2
2
【分析】（1）在Rt△ABD中，根据已知条件求出边AB的长，再由BC的长，可以求出CD的长；
（2）根据直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，求出∠C＝∠EDC，从而求出∠
C的正切值即求出了tan∠EDC的值．
【解答】解：（1）∵AD是BC边上的高，△ABD和△ACD是Rt△， 在Rt△ABD中， ∵sinB＝，AD＝12， ∴
，
∴AB＝15， ∴BD＝又∵BC＝14， ∴CD＝BC﹣BD＝5；
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，
江苏省苏州市工业园区星海实验中学2019-2020年苏科版九年级（上）第一次月考数学试卷
含解析
（2）在Rt△ACD中， ∵E为斜边AC的中点， ∴ED＝EC＝AC， ∴∠C＝∠EDC， ∴tan∠EDC＝tanC＝
．
2
2
25．已知关于x的一元二次方程x﹣（2k+1）x+k+k＝0． （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若周长为16的等腰△ABC的两边AB，AC的长是方程的两个实数根，求k的值． 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出△＝1＞0，进而即可证出：方程有两个不相等的实数根；
（2）利用分解因式法解方程可求出方程的两个根，再根据等腰三角形的性质结合三角形的周长，即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 【解答】（1）证明：∵△＝[﹣（2k+1）]﹣4（k+k）＝1＞0， ∴方程有两个不相等的实数根；
（2）解：∵x﹣（2k+1）x+k+k＝0，即（x﹣k）（x﹣k﹣1）＝0， 解得：x1＝k，x2＝k+1． ∵等腰△ABC的周长为16， ∴k+k+k+1＝16或k+k+1+k+1＝16， 解得：k＝5或k＝
．
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2
2
2
26．如图，自来水厂A和村庄B在小河l的两侧，现要在A，B间铺设一条输水管道．为了搞好工程预算，需测算出A，B间的距离．一小船在点P处测得A在正北方向，B位于南偏东24.5°方向，前行1200m，到达点Q处，测得A位于北偏西49°方向，B位于南偏西41°方向．
（1）线段BQ与PQ是否相等？请说明理由； （2）求A，B间的距离．（参考数据cos41°≈0.75）
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含解析
【分析】（1）首先由已知求出∠PBQ和∠BPQ的度数进行比较得出线段BQ与PQ是否相等； （2）先由已知求出∠PQA，再由直角三角形PQA求出AQ，由（1）得出BQ＝PQ＝1200，又由已知得∠AQB＝90°，所以根据勾股定理求出A，B间的距离． 【解答】解：（1）线段BQ与PQ相等． 证明：∵∠PQB＝90°﹣41°＝49°， ∠BPQ＝90°﹣24.5°＝65.5°，
∴∠PBQ＝180°﹣49°﹣65.5°＝65.5°， ∴∠BPQ＝∠PBQ， ∴BQ＝PQ；
（2）∠AQB＝180°﹣49°﹣41°＝90°， ∠PQA＝90°﹣49°＝41°， ∴AQ＝
＝
＝1600，
BQ＝PQ＝1200，
∴AB＝AQ+BQ＝1600+1200， ∴AB＝2000，
答：A、B的距离为2000m． 27．阅读材料：各类方程的解法
求解一元一次方程，根据等式的基本性质，把方程转化为x＝a的形式．求解二元一次方程组，把它转化为一元一次方程来解；类似的，求解三元一次方程组，把它转化为解二元一次方程组．求解一元二次方程，把它转化为两个一元一次方程来解．求解分式方程，把它转化为整式方程来解，由于“去分母”可能产生增根，所以解分式方程必须检验．各类方程的解法不尽相同，但是它们有一个共同的基本数学思想﹣﹣转化，把未知转化为
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含解析
已知．
用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程．例如，一元三次方程x+x﹣2x＝0，可以通过因式分解把它转化为x（x+x﹣2）＝0，解方程x＝0和x+x﹣2＝0，可得方程x+x﹣2x＝0的解．
（1）问题：方程x+x﹣2x＝0的解是x1＝0，x2＝ ﹣2 ，x3＝ 1 ； （2）拓展：用“转化”思想求方程
＝x的解；
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3
2
（3）应用：如图，已知矩形草坪ABCD的长AD＝8m，宽AB＝3m，小华把一根长为10m的绳子的一端固定在点B，沿草坪边沿BA，AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C．求AP的长．
【分析】（1）因式分解多项式，然后得结论；
（2）两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解，注意验根；
（3）设AP的长为xm，根据勾股定理和BP+CP＝10，可列出方程，由于方程含有根号，两边平方，把无理方程转化为整式方程，求解， 【解答】解：（1）x+x﹣2x＝0，
3
2
x（x+x﹣2）＝0， x（x+2）（x﹣1）＝0
所以x＝0或x+2＝0或x﹣1＝0 ∴x1＝0，x2＝﹣2，x3＝1； 故答案为：﹣2，1； （2）
＝x，
2
2
方程的两边平方，得2x+3＝x 即x﹣2x﹣3＝0 （x﹣3）（x+1）＝0 ∴x﹣3＝0或x+1＝0
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∴x1＝3，x2＝﹣1， 当x＝﹣1时，
＝
＝1≠﹣1，
所以﹣1不是原方程的解． 所以方程
＝x的解是x＝3；
（3）因为四边形ABCD是矩形， 所以∠A＝∠D＝90°，AB＝CD＝3m 设AP＝xm，则PD＝（8﹣x）m 因为BP+CP＝10，
BP＝
∴∴
+
，CP＝
＝10
＝10﹣
2
+9+x
2
两边平方，得（8﹣x）+9＝100﹣20整理，得5
＝4x+9
2
两边平方并整理，得x﹣8x+16＝0 即（x﹣4）＝0 所以x＝4．
经检验，x＝4是方程的解． 答：AP的长为4m．
28．在数学兴趣小组活动中，小亮进行数学探究活动．△ABC是边长为2的等边三角形，E是AC上一点，小亮以BE为边向BE的右侧作等边三角形BEF，连接CF．
2
（1）如图1，当点E在线段AC上时，EF、BC相交于点D，小亮发现有两个三角形全等，请你找出来，并证明．
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（2）当点E在线段AC上运动时，点F也随着运动，若四边形ABFC的面积为，求
AE的长．
（3）如图2，当点E在AC的延长线上运动时，CF、BE相交于点D，请你探求△ECD的面积S1与△DBF的面积S2之间的数量关系．并说明理由． （4）如图2，当△ECD的面积S1＝
时，求AE的长．
【分析】（1）结论：△ABE≌△CBF．理由等边三角形的性质，根据SAS即可证明； （2）由△ABE≌△CBF，推出S△ABE＝S△BCF，推出S四边形BECF＝S△BEC+s△BCF＝S△BCE+S△ABE＝S△ABC＝
，由S四边形ABCF＝
，推出S△ABE＝
，再利用三角形的面积公式求出AE即可；
（3）结论：S2﹣S1＝．利用全等三角形的性质即可证明；
，可得DF＝，
（4）首先求出△BDF的面积，由CF∥AB，则△BDF的DF边上的高为
设CE＝x，则2+x＝CD+DF＝CD+，推出CD＝x﹣，由CD∥AB，可得＝
，求出x即可；
＝，即
【解答】解：（1）结论：△ABE≌△CBF． 理由：如图1中，
∴∵△ABC，△BEF都是等边三角形， ∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△CBF．
（2）如图1中，∵△ABE≌△CBF， ∴S△ABE＝S△BCF，
∴S四边形BCEF＝S△BEC+s△BCF＝S△BCE+S△ABE＝S△ABC＝
，
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∵S四边形ABCF＝∴S△ABE＝
，
，
∴•AE•AB•sin60°＝∴AE＝．
（3）结论：S2﹣S1＝理由：如图2中，
．
，
∵∵△ABC，△BEF都是等边三角形， ∴BA＝BC，BE＝BF，∠ABC＝∠EBF， ∴∠ABE＝∠CBF， ∴△ABE≌△CBF， ∴S△ABE＝S△BCF， ∵S△BCF﹣S△BCE＝S2﹣S1， ∴S2﹣S1＝S△ABE﹣S△BCE＝S△ABC＝
（4）由（3）可知：S△BDF﹣S△ECD＝∴S△BDF＝
，
，∵S△ECD＝
，
．
∵△ABE≌△CBF，
∴AE＝CF，∠BAE＝∠BCF＝60°， ∴∠ABC＝∠DCB，
∴CF∥AB，则△BDF的DF边上的高为∴CD＝x﹣，
，可得DF＝，设CE＝x，则2+x＝CD+DF＝CD+，
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∵CD∥AB，
∴＝，即
2
＝，
化简得：3x﹣x﹣2＝0， 解得x＝1或﹣（舍弃）， ∴CE＝1，AE＝3．
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