数 学
注意事项：
1．全卷共120分， 考试时间120分钟。
2．考生必须将姓名、准考证号、考场号、座位号等个人信息填(涂)写在答题卡上， 3．考生务必将答案直接填(涂)写在答题卡的相应位置上。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的） 1．计算：√4=（ ）
A．±2
B．2
C．±√2
D．√2 2．如图，直线a∥b，直线c与直线a，b分别相交于点A，B，AC⊥b，垂足为C． 若∠1＝52°，则∠2＝ A．52°
B．45°
C．38°
D．26°
3．下列分别是2022年北京冬奥会、1998年长野冬奥会、1992年阿尔贝维尔冬奥会、1984
年萨拉热窝冬奥会会徽上的图案，其中是轴对称图形的是
A B C D
4．计算：（x+2y）2＝
A．x2+4xy+4y2 C．x2+4xy+2y2
B．x2+2xy+4y2 D．x2+4y2
数学试题 第1页（共19页）
5．如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，∠ACD＝40°，则∠B＝
A．70°
B．60°
C．50°
D．40°
6．若一次函数y＝2x+1的图象经过点（﹣3，y1），（4，y2），则y1与y2的大小关系是
A．y1＜y2
B．y1＞y2
C．y1≤y2
D．y1≥y2
7．关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则k＝
A．﹣2
B．﹣1
𝐴𝐵
1
C．0 D．1
8．已知△ABC∽△DEF，𝐷𝐸=2，若BC＝2，则EF＝
A．4
B．6
C．8
D．16
9．无色酚酞溶液是一种常用酸碱指示剂，广泛应用于检验溶液酸碱性，通常情况下酚酞溶
液遇酸溶液不变色，遇中性溶液也不变色，遇碱溶液变红色．现有5瓶缺失标签的无色 液体：蒸馏水、白醋溶液、食用碱溶液、柠檬水溶液、火碱溶液，将酚酞试剂滴入任意 一瓶液体后呈现红色的概率是 A．5
1
B．5 2
C．5 3
D．5 4
10．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E为AD的中点，连接OE，
∠ABC＝60°，BD＝4√3，则OE＝ A．4
B．2√3
C．2
D．√3
11．已知二次函数y＝2x2﹣4x+5，当函数值y随x值的增大而增大时，x的取值范围是
A．x＜1
B．x＞1
C．x＜2
D．x＞2
12．如图1是一块弘扬“社会主义核心价值观”的扇面宣传展板，该展板的部分示意图如
图2所示，它是以O为圆心，OA，OB长分别为半径，圆心角∠O＝120°形成的扇面， 若OA＝3m，OB＝1.5m，则阴影部分的面积为 A．4.25πm2
B．3.25πm2
C．3πm2
D．2.25πm2
数学试题 第2页（共19页）
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13．因式分解：a2﹣16＝ ．
14．如图，小刚在兰州市平面地图的部分区域建立了平面直角坐标系，如果白塔山公园的坐
标是（2，2），中山桥的坐标是（3，0），那么黄河母亲像的坐标是 ． 15．如图，在矩形纸片ABCD中，点E在BC边上，将△CDE沿DE翻折得到△FDE，点F
落在AE上．若CE＝3cm，AF＝2EF，则AB＝ cm．
16．2022年3月12日是我国第44个植树节，某林业部门为了考察某种幼树在一定条件下的
移植成活率，在同等条件下，对这种幼树进行大量移植，并统计成活情况，下表是这种 幼树移植过程中的一组统计数据：
幼树移植数（棵） 幼树移植成活数（棵） 幼树移植成活的频率
100 87 0.870
1000 893 0.893
5000 4485 0.897
8000 7224 0.903
10000 8983 0.898
15000 13443 0.896
20000 18044 0.902
估计该种幼树在此条件下移植成活的概率是 .（结果精确到0.1）
三、解答题（本大题共12小题，共72分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（4分）解不等式：2（x﹣3）＜8． 18．（4分）计算：（1+𝑥）÷
1
(𝑥2+𝑥)𝑥
．
19．（4分）如图1是小军制作的燕子风筝，燕子风筝的骨架图如图2所示，AB＝AE，
AC＝AD，∠BAD＝∠EAC，∠C＝50°， 求∠D的大小．
数学试题 第3页（共19页）
20．（6分）如图，小睿为测量公园的一凉亭AB的高度，他先在水平地面点E处用高1.5m的
测角仪DE测得∠ADC＝31°，然后沿EB方向向前走3m到达点G处，在点G处用高 1.5m的测角仪FG测得∠AFC＝42°．求凉亭AB的高度．（A，C，B三点共线， AB⊥BE，AC⊥CD，CD＝BE，BC＝DE．结果精确到0.1m）
（参考数据：sin31°≈0.52，cos31°≈0.86，tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）
21．（6分）人口问题是“国之大者”，中国高度重视人口问题，准确把握人口发展形势，有
利于推动社会持续健康发展，为开启全面建设社会主义现代化国家新征程、向第二个百 年奋斗目标进军创造良好的条件．某综合与实践研究小组根据我国第七次人口普查数据 进行整理、描述和分析，给出部分数据信息：
信息一：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的频数分布直方图如下： （数据分成6组：0≤x＜20，20≤x＜40，40≤x＜60，60≤x＜80，80≤x＜100，100≤x≤120） 信息二：普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数（百万人）在40≤x＜60
这一组的数据是：58，47，45，40，43，42，50；
信息三：2010﹣2021年全国大陆人口数及自然增长率；
数学试题 第4页（共19页）
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）普查登记的全国大陆31个省、自治区、直辖市人口数的中位数为 百万人． （2）下列结论正确的是 ．（只填序号）
①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100(百万人)的有2个地区； ②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢； ③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率持续降低．
（3）请写出2016﹣2021年全国大陆人口数、全国大陆人口自然增长率的变化趋势，结合
变化趋势谈谈自己的看法．
22．（6分）
综合与实践
问题情境：我国东周到汉代一些出土实物上反映出一此几何作图方法，如侯马铸铜遗址 出土车軎（wèi）范、芯组成的铸型（如图1），它的端面是圆形．如图2是用“矩”（带 直角的角尺）确定端面圆心的方法：将“矩”的直角尖端A沿圆周移动，直到AB＝AC， 在圆上标记A，B，C三点；将“矩”向右旋转，使它左侧边落在A，B点上，“矩”的另 一条边与的交点标记为D点，这样就用“矩”确定了圆上等距离的A，B，C，D四点， 连接AD，BC相交于点O，即O为圆心．
数学试题 第5页（共19页）
问题解决：（1）请你根据“问题情境”中提供的方法，用三角板还原我国古代几何作图确定圆心O．如图3，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，且AB＝AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
类比迁移：（2）小梅受此问题的启发，在研究了用“矩”（带直角的角尺）确定端面圆心的方法后发现，如果AB和AC不相等，用三角板也可以确定圆心O．如图4，点A，B，C在⊙O上，AB⊥AC，请作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）
拓展探究：（3）小梅进一步研究，发现古代由“矩”度量确定圆上等距离点时存在误差，用平时学的尺规作图的方法确定圆心可以减少误差．如图5，点A，B，C是⊙O上任意三点，请用不带刻度的直尺和圆规作出圆心O．（保留作图痕迹，不写作法）请写出你确定圆心的理由： ．
23．（6分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，M为AB边上一动
点，BN⊥CM，垂足为N．设A，M两点间的距离为xcm（0≤x≤5），B，N两点间的距 离为ycm（当点M和B点重合时，B，N两点间的距离为0）． 小明根据学习函数的经验，对因变量y随自变量x的变化而变化 的规律进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整．
（1）列表：下表的已知数据是根据A，M两点间的距离x进行取
点、画图、测量，分别得到了y与x的几组对应值： x/cm y/cm
0 4
0.5
1
1.5
1.8 a
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5 0
3.96 3.79 3.47 2.99 2.40 1.79 1.23 0.74 0.33
请你通过计算，补全表格：a＝ ；
（2）描点、连线：在平面直角坐标系中，描出表中各组数值所对应的点（x，y），并画出
函数y关于x的图象；
数学试题 第6页（共19页）
（3）探究性质：随着自变量x的不断增大，函数y的变化趋势： ；
（4）解决问题：当BN＝2AM时，AM的长度大约是 cm．（结果保留两位小数） 24．（6分）掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图1是一名女生投
实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的函 数关系如图2所示，掷出时起点处高度为m，当水平距离为3m时，实心球行进至最高
35
点3m处．
（1）求y关于x的函数表达式；
（2）根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准（女生），投掷过程中，实心球从起
点到落地点的水平距离大于等于6.70m，此项考试得分为满分10分．该女生在此项 考试中是否得满分，请说明理由．
图1来源：《2022年兰州市高中阶段学校招生体育考试规则与测试要求》
25．（6分）如图，点A在反比例函数y=𝑥（x＞0）的图象上，AB⊥x轴，垂足为B（3，0），
过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=2x+b的图象于D点，交反比例函数 的图象于E点，S△AOB＝3．
（1）求反比例函数y=𝑥（x＞0）和一次函数y=2x+b的表达式； （2）求DE的长．
数学试题 第7页（共19页）
𝑘
3
3
𝑘
26．（7分）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是直径，OD⊥OC，连接AD，
∠ADO＝∠BOC，AC与OD相交于点E． （1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若tan∠OAC=2，AD=2，求⊙O的半径．
27．（8分）在平面直角坐标系中，P（a，b）是第一象限内一点，给出如下定义：k1=𝑏和k2=𝑎
两个值中的最大值叫做点P的“倾斜系数”k． （1）求点P（6，2）的“倾斜系数”k的值；
（2）①若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，请写出a和b的数量关系，并说明理由；
②若点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2，且a+b＝3，求OP的长；
（3）如图，边长为2的正方形ABCD沿直线AC：y＝x运动，P（a，b）是正方形ABCD
上任意一点，且点P的“倾斜系数”k＜√3，请直接写出a的取值范围．
𝑎
𝑏
1
3
数学试题 第8页（共19页）
28．（9分）综合与实践 【问题情境】
数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，AE⊥EP，EP与正方形的外角∠DCG的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； 【思考尝试】
（1）同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． 【实践探究】
（2）希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接CP，可以求出∠DCP的大小，请你思考并解答这个问题． 【拓展迁移】
（3）突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），△AEP是等腰直角三角形，∠AEP＝90°，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出△ADP周长的最小值．当AB＝4时，请你求出△ADP周长的最小值．
数学试题 第9页（共19页）
2022年兰州市初中学业水平考试
数学试题参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）
1．B 2．C 3．D 4．A 5．C 7．B
8．A
9．B
10．C
11．B
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（a﹣4）（a+4）
14．（﹣4，1）
15．3√5
三、解答题（本大题共12小题，共72分） 17．（4分）
解：去括号，得：2x﹣6＜8， 移项，得：2x＜8+6， 合并同类项，得：2x＜14， 两边同乘以1
2，得：x＜7． 故原不等式的解集是x＜7． 18．（4分） 解：原式=𝑥+1𝑥×𝑥
𝑥2+𝑥
=
𝑥+1𝑥×
𝑥
𝑥(𝑥+1)
=1
𝑥． 19．（4分）
解：∵∠BAD＝∠EAC，
∴∠BAD+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，即∠BAC＝∠EAD， 在△BAC与△EAD中， {𝐴𝐵=𝐴𝐸
∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐸𝐴𝐷， 𝐴𝐶=𝐴𝐷
∴△BAC≌△EAD（SAS）， ∴∠D＝∠C＝50°．
数学试题 第10页（共19页）
6．A 12．D
16．0.9
20．（6分） 解：由题意得：
BC＝FG＝DE＝1.5m，DF＝GE＝3m，∠ACF＝90°， 设CF＝xm，
∴CD＝CF+DF＝（x+3）m， 在Rt△ACF中，∠AFC＝42°， ∴AC＝CF•tan42°≈0.9x（m）， 在Rt△ACD中，∠ADC＝31°， ∴tan31°=𝐶𝐷=𝑥+3≈0.6， ∴x＝6，
经检验：x＝6是原方程的根， ∴AB＝AC+BC＝0.9x+1.5＝6.9（m）， ∴凉亭AB的高约为6.9m． 21．（6分）
解：（1）将这31个省、自治区、直辖市人口数从小到大排列处在中间位置的数是40百万人，因此中位数是40百万人， 故答案为：40；
（2）①全国大陆31个省、自治区、直辖市中人口数大于等于100（百万人）的有2个地区，故原结论正确，符合题意；
②相对于2020年，2021年全国大陆人口自然增长率降低，全国大陆人口增长缓慢，故原结论正确，符合题意；
③2010﹣2021年全国大陆人口自然增长率的情况是：2010﹣2012，2013﹣2014，2015﹣2016年增长率持续上升；2012﹣2013，2014﹣2015，2016﹣2021年增长率持续降低， 故原结论错误，不符合题意． 所以结论正确的是①②． 故答案为：①②；
（3）2016﹣2021年全国大陆人口数增长缓慢，全国大陆人口自然增长率持续降低． 看法：放开计划生育，鼓励多生优生，以免人口自然增长率为负（答案不唯一）．
数学试题 第11页（共19页）
𝐴𝐶
0.9𝑥
22．（6分） 解：问题解决： （1）如图：
O即为圆心； 类比迁移： （2）如图：
O即为所求作的圆心； 拓展探究： （3）如图：
O即为所求作的圆心，理由是垂直平分弦的直线经过圆心， 故答案为：垂直平分弦的直线经过圆心． 23．（6分） 解：（1）如图，
数学试题 第12页（共19页）
在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，根据勾股定理得，AC＝5， 过点C作CM'⊥AB于M， ∴S△ABC=2AC•BC=2AB•CM'， ∴CM'=
1251
1
，
在Rt△ACM'中，根据勾股定理得，AM'=√𝐴𝐶2−𝐶𝑀′2=1.8， 当x＝1.8时，点M与点M'重合， ∴CM⊥AB， ∵BN⊥CM， ∴点M，N重合，
∴a＝BN＝BM＝AB﹣AM＝3.2， 故答案为：3.2； （2）如图所示，
（3）由图象知，y随x的增大而减小， 故答案为：y随x的增大而减小；
数学试题 第13页（共19页）
（3）借助表格和图象得，当BN＝2AM时，AM的长度大约是1.67cm， 故答案为：1.67． 24．（6分）
解：（1）根据题意设y关于x的函数表达式为y＝a（x﹣3）2+3， 把（0，3）代入解析式得：3=a（0﹣3）2+3， 解得：a=−27，
∴y关于x的函数表达式为y=−27（x﹣3）2+3； （2）该女生在此项考试中是得满分，理由： 令y＝0，则−27（x﹣3）2+3＝0， 解得：x1＝7.5，x2＝﹣1.5（舍去）， ∵7.5＞6.70，
∴该女生在此项考试中是得满分． 25．（6分）
解：（1）∵点A在反比例函数y=𝑥（x＞0）的图象上，AB⊥x轴， ∴S△AOB=2|k|＝3， ∴k＝6，
∴反比例函数为y=𝑥，
∵一次函数y=2x+b的图象过点B（3，0）， ∴2×3+b＝0，解得b=−2， ∴一次函数为y=2x−2；
（2）∵过C（5，0）作CD⊥x轴，交过B点的一次函数y=x+b的图象于D点，
23
3
9
3
9
3
6
1
𝑘
4
4
4
5
5
∴当x＝5时y==；y=x−=3，
𝑥
5
2
2
6639
∴E（5，5），D（5，3）， ∴DE＝3−5=5．
数学试题 第14页（共19页）
6
9
6
26．（7分）
（1）证明：∵OD⊥OC， ∴∠COD＝90°，
∴∠BOC+∠AOD＝180°﹣90°＝90°， 又∵∠ADO＝∠BOC， ∴∠ADO+∠AOD＝90°， ∴∠OAD＝180°﹣90°＝90°， 即OA⊥AD， ∵OA是半径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵OA＝OC， ∴∠OAC＝∠OCA，
∴tan∠OAC=2=tan∠OCA=𝑂𝐶， ∵AB是直径，
∴∠ACB＝90°＝∠OAD，即∠OCB+∠OCA＝90°＝∠OAC+∠DAE， ∴∠DAE＝∠OCB， 又∵∠ADO＝∠BOC， ∴∠DEA＝∠B， ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB， ∴∠DAE＝∠DEA， ∴AD＝DE=2，
设半径为r，则OE=2r，OD=2r+2， 在Rt△AOD中，由勾股定理得， AD2+OA2＝OD2， 即（2）2+r2＝（2r+2）2， 解得r＝2或r＝0（舍去）， 即半径为2．
3
1
31
1
3
31
𝑂𝐸
数学试题 第15页（共19页）
27．（8分）
解：（1）由题意知，k=2=3，
即点P（6，2）的“倾斜系数”k的值为3； （2）①∵点P（a，b）的“倾斜系数”k＝2， ∴𝑏=2或𝑎=2， 即a＝2b或b＝2a，
∴a和b的数量关系为a＝2b或b＝2a； ②由①知，a＝2b或b＝2a ∵a+b＝3， 𝑎=1𝑎=2∴{或{， 𝑏=2𝑏=1∴OP=√12+22=√5；
（3）由题意知，当P点与D点重合时，且k=√3时，a有最小临界值，如下图： 连接OD，延长DA交x轴于E，
𝑎
𝑏
6
数学试题 第16页（共19页）
此时𝑎=√3， 则
𝑎+2𝑎
𝑏
=√3，
解得a=√3+1；
当P点与B点重合时，且k=√3时，a有最大临界值，如下图： 连接OB，延长CB交x轴于F，
此时𝑏=√3， 则
𝑎𝑎−2𝑎
=√3，
解得a＝3+√3，
综上所述，若点P的“倾斜系数”k＜√3，则√3+1＜a＜3+√3． 28．（9分）
解：（1）AE＝EP，
理由如下：取AB的中点F，连接EF，
∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE，
数学试题 第17页（共19页）
∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP；
（2）在AB上取AF＝EC，连接EF，
由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE，
∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°，
（3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，
数学试题 第18页（共19页）
由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°，
∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8，
由勾股定理得AG＝4√5，
∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝4+4√5．
数学试题 第19页（共19页）
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